3.4: Конститутивні відносини
Вступ
Модулі з кінематики (Модуль 8), рівноваги (Модуль 9) та тензорних перетворень (Модуль 10) містять поняття життєво важливі для механіки матеріалів, але вони не дають уявлення про роль самого матеріалу. Кінематичні рівняння пов'язують деформації з градієнтами переміщення, а рівняння рівноваги пов'язують напругу з застосованими тягами на навантажених границях, а також регулюють відносини між градієнтами напружень всередині матеріалу. У трьох вимірах є шість кінематичних рівнянь і три рівняння рівняння рівняння рівняння, загалом дев'ять. Однак існує п'ятнадцять змінних: три зміщення, шість деформацій і шість напружень. Нам потрібно ще шість рівнянь, і вони забезпечуються конститутивними відносинами матеріалу: шістьма виразами, що стосуються напружень до деформацій. Це свого роду механічне рівняння стану, і описують, як матеріал складається механічно.
За допомогою цих конститутивних відносин підтверджується життєва роль матеріалу: пружні константи, що з'являються в цьому модулі, є властивостями матеріалу, підлягають контролю шляхом обробки та мікроструктурної модифікації, як зазначено в Модулі 2. Це важливий інструмент для інженера, і вказує на необхідність розгляду дизайну матеріалу, а також матеріалу.
Ізотропні еластичні матеріали
У загальному випадку лінійного співвідношення між компонентами тензорів деформації та напружень можна запропонувати твердження виду
ϵij=Sijklσkl
деSijkl є тензор четвертого рангу. Це являє собою послідовність з дев'яти рівнянь, так як кожен компонентϵij являє собою лінійну комбінацію всіх складовихσij. Наприклад:
ϵ23=S2311σ11+S2312σ12+⋯+S2333ϵ33
Виходячи з кожного з індексівSijkl прийняття значень від 1 до 3, ми могли б очікувати в цілому 81 незалежних компонентів вS. Однак обидваϵij іσij симетричні, з шістьма, а не дев'ятьма незалежними компонентами кожен. Це зменшує кількістьS компонентів до 36, як видно з лінійного співвідношення між псевдовекторними формами деформації і напруження:
{ϵxϵyϵzγyzγxzγxy}=[S11S12⋯S16S21S22⋯S26⋯⋯⋯⋯S61S62⋯S66]{σxσyσzτyzτxzτxy}
Можна показати (Г.М. Мазе, Схеми теорії та проблем механіки суцільних середовищ Шаума, McGraw-Hill, 1970.), щоS матриця в такому вигляді також симетрична. Тому він містить лише 21 незалежний елемент, що видно, підраховуючи елементи у верхньому прямокутному трикутнику матриці, включаючи діагональні елементи (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21).
Якщо матеріал проявляє симетрію в своїй пружній реакції, кількість незалежних елементів вS матриці може бути зменшено ще далі. У найпростішому випадку ізотропного матеріалу, жорсткості якого однакові у всіх напрямках, незалежними є тільки два елементи. Раніше було показано, що в двох вимірах співвідношення між деформаціями і напруженнями в ізотропних матеріалах можна записати як
ϵx=1E(σx−νσy)ϵy=1E(σy−νσx)γxy=1Gτxy
разом із співвідношенням
G=E2(1+ν)
Розширюючи це до трьох вимірів, псевдовекторно-матрична форма рівняння 3.4.1 для ізотропних мат-ріалів становить
{ϵxϵyϵzγyzγxzγxy}=[1E−νE−νE000−νE1E−νE000−νE−νE1E0000001G0000001G0000001G]{σxσyσzτyzτxzτxy}
Величина в дужках називається матрицею відповідності матеріалу, позначаєтьсяS абоSij. Важливо зрозуміти фізичну значимість різних його термінів. Безпосередньо з правил множення матриці елемент вith рядку іjth стовпціSij - це внесокjth напруги вith деформацію. Наприклад, компонент у положенні 1,2 є внеском напруги -напрямку до деформаціїy -напрямку:σy множення на1/E дає деформаціюx -direction, породженуσy, а потім множення цього на−ν дає деформацію Пуассонаy індукований вx напрямку. Нульові елементи показують відсутність зчеплення між нормальними та зсувними компонентами.
Ізотропний конститутивний закон також може бути записаний, використовуючи індексні позначення як (див. Вправа3.4.1)
ϵij=1+νEσij−νEδijσkk
де тут використовується індиціальна форма деформації іG була усунена за допомогоюG=E/2(1+ν) Символуδij є дельта Кроенеккера, описана в модулі матриці та позначеннях індексу.
Якщо ми хочемо записати напруження через деформації, Eqn 3.4.3 можна інвертувати. У випадках плоского напруження (σz=τxz=τyz=0) це дає
{σxσyτxy}=E1−ν2[1ν0ν1000(1−ν)/2]{ϵxϵyγxy}
де зновуG був заміненийE/2(1+ν). Або, в скороченому позначенні:
σ=Dϵ
деD=S−1 - матриця жорсткості.
Гідростатичні та спотворювальні компоненти

Стан гідростатичного стиснення, зображене на малюнку 1, - це таке, при якому не існує напружень зсуву і де всі нормальні напруги рівні гідростатичному тиску:
σx=σy=σz=−p
де знак мінус вказує на те, що стиснення умовно позитивне для тиску, а негативне для стресу. Для цього стресового стану очевидно, що
13(σx+σy+σz)=13σkk=−p
так що гідростатичний тиск є негативним середнім нормальним напруженням. Ця величина становить лише третину інваріанта напругиI1, що є відображенням гідростатичного тиску, однакового у всіх напрямках, не змінюючись при обертанні осі.
У багатьох випадках, крім прямого гідростатичного стиснення, все ж зручно «дисоціювати» гідростатичний (або «дилатаційний») компонент від тензора напружень:
σij=13σkkδij+∑ij
∑ijОсь що залишилосяσij після віднімання гідростатичної складової. ∑ijТензор може бути показаний як стан чистого зсуву, тобто існує перетворення осі таким чином, що всі нормальні напруги зникають (див. Вправа3.4.5). The∑ij називається спотвореної, або девіаторичної, складовою напруги. Отже, всі стресові стани можна вважати двома складовими, як показано на малюнку 2, один суто розширювальний і один чисто спотворений. Ця концепція зручна тим, що матеріал реагує на ці компоненти напруги дуже по-різному. Наприклад, пластичний і в'язкий потік переважають спотвореними компонентами, при цьому гідростатична складова викликає лише пружні деформації.

Приклад3.4.1
Розглянемо стресовий стан
σ=[567689792], GPa
Середнє нормальне напруження єσkk/3=(5+8+2)/3=5, тому напруження розкладання є
σ=13σkkδij+∑ij=[500050005]+[06763979−3]
Неочевидно, що девіаторна складова, наведена у другій матриці, являє собою чистий зсув, оскільки на її діагоналі є ненульові складові. Однак перетворення напруги за допомогою кутів Ейлераψ=ϕ=0,θ=−9.22∘ дає напружений стан
∑′=[0.004.807.874.800.009.497.879.490.00]
Гідростатична складова напружень пов'язана з об'ємною деформацією через модуль стисливості (−p=KΔV/V), тому
13σkk=Kϵkk
Подібно до стресу, штам також може бути дисоційований як
ϵij=13ϵkkδij+eij
деeij - девіаторний компонент штаму. Девіаторні компоненти напруги та деформації пов'язані модулем зсуву матеріалу:
∑ij=2Geij
де необхідний коефіцієнт 2, оскільки тензорні описи штаму - це половина класичних штамів, для якихG були табличні значення. Написання складових рівнянь у вигляді Eqns. 3.4.8 і 3.4.9 дає просту форму без зв'язкових термінів в умовномуE−ν вигляді.
Приклад3.4.2
Використовуючи напружений стан попереднього прикладу разом з пружними константами для сталі (E=207ГПа,K=E/3(1−2ν)=173 ГПаν=0.3,G=E/2(1+ν)=79.6 ГПа), дилатаційні та спотворення складові деформації наведено
δijϵkk=δijσkk3K=[0.02890000.02890000.0289]
eij=∑ij2G=[00.03780.04410.03780.01890.05670.04410.0567−0.0189]
Загальна деформація тоді
ϵij=13ϵkkδij+eij=[0.009600.03780.04410.03780.02850.05670.04410.0567−0.00930]
Якщо оцінити загальну деформацію за допомогою рівняння 3.4.4, ми маємо
\ (\ epsilon_ {ij} =\ drac {1 +\ nu} {E}\ sigma_ij -\ drac {\ nu} {E}\ delta_ {ij}\ сигма_ {кк} =\ почати {bmatrix} 0,00965 & 0.0377 & 0.0440\ 0.0377 & 0.0285 & 0.0565\ 0.0440 & 0,0377 & -0.00915\ кінець {bmatrix}\ nonumber\]
Ці результати однакові, відрізняються лише похибкою округлення.
Модель скінченного деформації
Коли деформації стають великими, можуть виникнути геометричні, а також матеріальні нелінійності, які важливі для багатьох практичних завдань. У цих випадках аналітик повинен використовувати не тільки іншу міру деформації, наприклад, деформацію Лагранжа, описану в Модулі 8, але й різні заходи напруги («Другий стрес Піола-Кіршофа» замінює стрес Коші, коли використовується деформація Лагранжа) та різні складові закони стрес-деформації. Обробка цих формулювань виходить за рамки цих модулів, але тут буде викладена проста нелінійна модель напружено-деформованих матеріалів для гумових матеріалів, щоб проілюструвати деякі аспекти аналізу скінченних деформацій. Текст від Bath (К.-Дж. Bathe, Процедури скінченних елементів в інженерному аналізі, Prentice-Hall, 1982.) забезпечує більш широке обговорення цієї області, включаючи реалізацію кінцевих елементів.
У разі невеликих переміщень деформаціяϵx задається виразом:
ϵx=1E[σx−ν(σy+σz)]
Для випадку еластомерів зν=0.5, це може бути переписано з точки зору середнього напруженняσm=(σx+σy+σz)/3 як:
2ϵx=3E(σx−σm)
Для великодеформованого випадку запропоновано наступне аналогічне співвідношення напруження-деформація:
λ2x=1+2ϵx=3E(σx−σ∗m)
де тутϵx знаходиться штам Лагранжа іσ∗m є параметром, необов'язково рівнимσm. σ∗mПараметр можна знайти для випадку одновісного натягу, розглянувши поперечні скороченняλy=λz:
λ2y=3E(σy−σ∗m)
Так як для гумиλxλyλz=1,λ2y=1/λx. Здійснення цієї заміни та вирішення дляσ∗m:
σ∗m=−Eλ2y3=−E3λx
Підставляючи це назад у рівняння 3.4.10,
λ2x=E3(σx−E3λx)
Рішення дляσx,
σx=E3(λ2x−1λx)
Тут напругаσx=F/A - це «справжнє» напруження, засноване на фактичній (скороченій) площі поперечного перерізу. «Інженерне» напруження,σe=F/A0 засноване на вихідній площіA0=Aλx, становить:
σe=σxλx=G(λx−1λ2x)
деG=E/2(1+ν)=E/3 дляν=1/2. Цей результат такий же, як і отриманий у модулі 2, враховуючи силу, що виникає внаслідок зниженої ентропії, оскільки молекулярні сегменти, що охоплюють ділянки зшивання, розширюються. Це з'являється тут з простої гіпотези стрес-деформованої реакції, використовуючи відповідну міру скінченної деформації.
анізотропні матеріали

Якщо матеріал має текстуру, таку як дерево або однонаправлено армовані волокнисті композити, як показано на малюнку 3, модуль пружностіE1 у напрямку волокна, як правило, буде більшим, ніж у поперечних напрямках (E2іE3). КолиE1≠E2≠E3, матеріал, як кажуть, ортотропний. Однак загальним є те, що властивості в площині, поперечній до напрямку волокна, щоб бути ізотропними до хорошого наближення(E2=E3); такий матеріал називається поперечно-ізотропним. Пружні конститутивні закони повинні бути змінені з урахуванням цієї анізотропії, а наступна форма є продовженням рівняння 3.4.3 для поперечно-ізотропних матеріалів:
{ϵ1ϵ2γ12}=[1/E1−ν21/E20−ν12/E11/E20001/G12]{σ1σ2τ12}
Параметрν12 є основним коефіцієнтом Пуассона; це відношення деформації, індукованої у напрямку 2 деформацією, застосованою в 1-напрямку. Цей параметр не обмежується значеннями менше 0,5, як в ізотропних матеріалах. І навпаки,ν21 дає деформацію, індуковану в 1-напрямку деформацією, застосованою у напрямку 2. Оскільки 2-напрямок (поперечний до волокон) зазвичай має набагато меншу жорсткість, ніж 1-напрямок, повинно бути зрозуміло, що дана деформація в напрямку 1 зазвичай розвиває набагато більшу деформацію в напрямку 2, ніж буде така ж деформація в напрямку 2 індукує деформацію в напрямку 1. Отже, ми зазвичай матимемоν12>ν21. У наведеному вище рівнянні (E1,E2,ν12,ν21іG12) є п'ять констант. Однак тільки чотири з них незалежні; так якS матриця симетрична,ν21/E2=ν12/E1.
Таблицю пружних констант та інших властивостей для широко використовуваних анізотропних матеріалів можна знайти в Модулі властивостей композитного шару.
Проста форма Рівняння 3.4.11, з нулями в термінами, що представляють зв'язок між нормальною і зсувною складовими, виходить тільки тоді, коли осі вирівняні по основним напрямкам матеріалу; тобто уздовж і поперечно до осей волокон. Якщо осі орієнтовані по якомусь іншому напрямку, всі терміни матриці відповідності будуть заповнені, і симетрія матеріалу не буде кидатися в очі. Якщо, наприклад, напрямок волокна знаходиться поза віссю від напрямку завантаження, матеріал буде розвивати деформацію зсуву, коли волокна намагаються зорієнтуватися вздовж напрямку навантаження, як показано на малюнку 4. Тому буде зв'язок між нормальним напруженням і деформацією зсуву, яка ніколи не відбувається в ізотропному матеріалі.

Закон трансформації для відповідності може бути розроблений з законів трансформації деформацій і напружень, використовуючи процедури, описані в Модулі 10 (Трансформації). Послідовними перетвореннями псевдовекторна форма для деформації вx−y довільному напрямку, показана на малюнку 5, пов'язана з деформацією в 1-2 (основний матеріал) напрямках, потім з напруженнями в 1-2 напрямках і, нарешті, до напружень вx−y напрямках. Остаточною групуванням матриць перетворення, що стосуютьсяx−y деформацій доx−y напружень, є перетворена матриця відповідності вx−y напрямку:

{ϵxϵyγxy}=R{ϵxϵy12γxy}=RA−1{ϵ1ϵ212γ12}=RA−1R−1{ϵ1ϵ2γ12}
=RA−1R−1S{σ1σ2τ12}=RA−1RSA{σxσyσxy}=ˉS{σxσyσxy}
деˉS - перетворена матриця відповідності щодоx−y осей. AОсь матриця перетворення, іR матриця Рейтера, визначена в Модулі тензорних перетворень. Зворотний відˉS isˉD, матриця жорсткості щодоx−y осей:
ˉS=RA−1SA, ˉD=ˉS−1
Приклад3.4.1
Розглянемо шар кевлар-епоксидного композиту з жорсткістюE1=82,E2=4,G12=2.8 (всі ГПа) іν12=0.25. Матриця відповідностіS в напрямку 1-2 (матеріал) становить:
S=[1/E1−ν21/E20−ν12/E11/E20001/G12]=[.1220×10−10−.3050×10−110−.3050×10−11.2500×10−9000.3571×10−9]
Якщо шар орієнтований на напрямок волокна (напрямок «1")θ=30∘ відx−y осей, відповідна матриця перетворення
A=[c2s22scs2c2−2sc−scscc2−s2]=[.7500.2500.8660.2500.7500−.8600−.4330.4330.5000]
Матриця відповідності щодоx−y осей тоді
ˉS=RA−1R−1SA=[.8830×10−10−.1970×10−10−1.222×10−9−.1971×10−10.2072×10−9−.8371×10−101.222×10−9−.8369×10−10−2905×10−9]
Зауважте, що ця матриця є симетричною (до числової помилки округлення), але існують ненульові значення зв'язку. Користувач, який не знає про внутрішній склад матеріалу, вважав би його повністю анізотропним.
Очевидні інженерні константи, які спостерігалися б, якби шар був випробуваний в,x−y а не в 1-2 напрямках, можна знайти безпосередньо з перетвореноїˉS матриці. Наприклад, видимий модуль пружності вx напрямку дорівнюєEx=1/ˉS1,1=1/(.8830×10−10=11.33 ГПа.
Вправа3.4.1
Розгорніть індиціальні форми керівних рівнянь твердої пружності в трьох вимірах:
equilibrium: σij,j=0
kinematric: ϵij=(ui,j+uj,i)/2
constitutive: ϵij=1+νEσij−νEδijσkk+αδijΔT
деα - коефіцієнт лінійного теплового розширення іΔT - зміна температури.
Вправа3.4.2
(a) Випишіть матрицю відповідностіS рівняння 3.4.3 для полікарбонату, використовуючи дані в Модулі властивостей матеріалу.
(b) Використовуйте інверсію матриці для отримання матриці жорсткостіD.
(c) Використовуйте множення матриці для отримання напружень, необхідних для індукування деформацій
ϵ={ϵxϵyϵzγyzγxzγxy}={0.020.00.030.010.0250.0}
Вправа3.4.3
(а) Випишіть матрицюS відповідності рівняння 3.4.3 для алюмінієвого сплаву, використовуючи дані в Модулі властивостей матеріалу.
(b) Використовуйте інверсію матриці для отримання матриці жорсткостіD.
(c) Використовуйте множення матриці для отримання напружень, необхідних для індукування деформацій
ϵ={ϵxϵyϵzγyzγxzγxy}={0.010.020.00.00.150.0}
Вправа3.4.4
З огляду на тензор напруги
σij=[123245357] (MPa)
(а) дисоціюватиσij на девіаторну та дилатаційну частини∑ij і(1/3)σkkδij.
(b) За данимиG=357 МПа іK=1.67 ГПа, отримати тензори девіаторних і дилатаційних деформаційeij і(1/3)ϵkkδij.
(c) Додайте девіаторні та дилатаційні деформаційні компоненти, отримані вище, щоб отримати загальний тензор деформаціїϵij.
(d) Обчислити тензор деформації,ϵij використовуючи альтернативну форму пружного конституційного закону для ізотропних пружних твердих тіл:
ϵij=1+νEσij−νEδijσkk
Порівняйте результат з отриманим в (c).
Вправа3.4.5
Надайте аргумент, що будь-яка матриця напружень, що має нульовий слід, може бути перетворена на ту, що має лише нулі по діагоналі; тобто тензор девіаторних напружень∑ij представляє стан чистого зсуву.
Вправа3.4.6
Випишітьx−y двовимірну матрицю відповідностіˉS і матрицю жорсткостіˉD (Рівняння 3.4.12) для одного шару графіту/епоксидного композиту з вирівняними поx осях волокнами.
Вправа3.4.7
Випишітьx−y двовимірну матрицю відповідностіˉS та матрицю жорсткостіˉD (Рівняння 3.4.12) для одного шару графіту/епоксидного композиту з вирівняними волокнами 30∘ відx осі.