Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.1: Кінематика

Вступ

Кінематичні або деформаційні рівняння зміщення описують, як деформації - розтягнення та спотворення - всередині навантаженого тіла відносяться до переміщень тіла. Компоненти зміщення вx, y, іz напрямки позначаються векторомu \equiv u_i \equiv (u,v,w), і є функціями положення всередині тіла:u = u(x, y, z). Якщо всі точки всередині матеріалу відчувають однакове зміщення (u = постійна), конструкція рухається як тверде тіло, але не розтягується і не деформується всередині. Щоб розтягування відбулося, точки всередині тіла повинні відчувати різні зміщення.

Нескінченно малий штам

Малюнок 1: Інкрементна деформація.

Розглянемо дві точкиA іB розділені спочатку невеликоюdx відстанню, як показано на малюнку 1, і відчуваємо рух уx напрямку. Якщо зміщення в точціA єu_A, зміщення вB може бути виражено розширенням серії Тейлораu(x) навколо точкиx = A:

u_B = u_A + du = u_A + \dfrac{\partial u}{\partial x} dx

де тут розширення було скорочено після другого терміну. Диференціальний рух\delta між двома точками

У нашій концепції розтягування як диференціального зміщення на одиницю довжини, тоx компонент деформації

\epsilon_x = \dfrac{\delta}{dx} = \dfrac{\partial u}{\partial x}

Звідси деформація - це градієнт зсуву. Застосовуючи подібні міркування до диференціального руху вy напрямку,y -складовою деформації є градієнт вертикальногоv зміщення щодоy:

\epsilon_y = \dfrac{\partial v}{\partial y}


Малюнок 2: Спотворення зсуву.

Спотворення матеріалу, яке можна охарактеризувати як зміна спочатку прямих кутів, - це сума нахилів, наданих вертикальним і горизонтальним лініям. Як показано на малюнку 2, нахил спочатку вертикальної лінії - це відносне горизонтальне зміщення двох сусідніх точок уздовж лінії:

Зміна кута - це

\gamma_1 \approx \tan \gamma_1 = \dfrac{\delta}{dy} = \dfrac{\partial u}{\partial y}

Аналогічно (див. Рис. 3) нахил\gamma_2 початкової горизонтальної лінії єv градієнтом щодоx. Потім деформація зсуву вxy площині

\gamma_{xy} = \gamma_1 + \gamma_2 = \dfrac{\partial v}{\partial x} + \dfrac{\partial u}{\partial y}

Це позначення, яке використовується\epsilon для нормальної деформації та\gamma для деформації зсуву, іноді називають «класичним» описом штаму.

Формулювання матриці

«Індикальне позначення», описане в Модулі матричних та індексних позначень, забезпечує стислий метод запису всіх складових тривимірних станів деформації:

\epsilon_{ij} = \dfrac{1}{2} \left ( \dfrac{\partial u_i}{\partial x_j} + \dfrac{\partial u_j}{\partial x_i} \right ) = \dfrac{1}{2} (u_{i,j} + u_{j, i})

Малюнок 3: Штам зсуву.

де кома позначає диференціювання щодо наступної просторової змінної. Це двоіндексне позначення індексу призводить природно до матричного розташування деформаційних компонентів, в якомуi-j компонент деформації стає елементом матриці вi^{th} рядку іj^{th} стовпці:

\epsilon_{ij} = \begin{bmatrix} \tfrac{\partial u}{\partial x} & \tfrac{1}{2} (\tfrac{\partial u}{\partial y} + \tfrac{\partial v}{\partial x}) & \tfrac{1}{2} (\tfrac{\partial u}{\partial z}+ \tfrac{\partial w}{\partial x}) \\ \tfrac{1}{2} (\tfrac{\partial u}{\partial y} + \tfrac{\partial v}{\partial x}) & \tfrac{\partial v}{\partial y} & \tfrac{1}{2} (\tfrac{\partial v}{\partial z} + \tfrac{\partial w}{\partial y}) \\ \tfrac{1}{2} (\tfrac{\partial w}{\partial x} + \tfrac{\partial u}{\partial z}) & \tfrac{1}{2} (\tfrac{\partial v}{\partial z} + \tfrac{\partial w}{\partial y}) & \tfrac{\partial w}{\partial z} \end{bmatrix}

Зверніть увагу, що матриця деформацій симетрична, т\epsilon_{ij} = \epsilon_{ji}. Ця симетрія означає, що існує шість, а не дев'ять незалежних штамів, як можна було очікувати в матриці\times 3 3. Також зверніть увагу, що індикальний опис штаму дає той же результат для нормальних компонентів, що і в класичному описі:\epsilon_{11} = \epsilon_x. Однак індикальними складовими деформації зсуву є половина їх класичних побратимів:\epsilon_{12} = \gamma_{xy}/2.

У ще одній корисній нотаційній схемі класичні рівняння деформації-зміщення можуть бути виписані у вертикальний список, аналогічний вектору:

\left \{ \begin{array} {c} \epsilon_x \\ \epsilon_y \\ \epsilon_z \\ \gamma_{yz} \\ \gamma_{xz} \\ \gamma_{xy} \end{array} \right \} = \left \{ \begin{array} {c} {\partial u/\partial x} \\ {\partial v/\partial y} \\ {\partial w/\partial z} \\ {\partial v/\partial z + \partial w/\partial y} \\ {\partial u/\partial z + \partial w/\partial x} \\ {\partial u/\partial y + \partial v/\partial x} \end{array} \right \}

Це векторне розташування компонентів деформації тільки для зручності, і іноді його називають псевдовектором. Деформація насправді є тензором другого рангу, як напруга або момент інерції, і має математичні властивості, дуже різні, ніж у векторів. Порядок елементів у формі псевдовектора є довільним, але зазвичай перераховувати їх, як ми маємо тут, рухаючись вниз по діагоналі матриці деформації рівняння 5 зверху ліворуч вниз праворуч, потім перемістіть вгору третій стовпець і, нарешті, перемістіть один стовпець вліво на першому рядку; це дає замовлення 1,1; 2,2; 3,3; 2,3; 1,3; 1,2.

Дотримуючись правил множення матриці, псевдовектор деформації також може бути записаний через вектор зміщення як

\left \{ \begin{array} {c} \epsilon_x \\ \epsilon_y \\ \epsilon_z \\ \gamma_{yz} \\ \gamma_{xz} \\ \gamma_{xy} \end{array} \right \} = \begin{bmatrix} \partial/\partial x & 0 & 0 \\ 0 & \partial/\partial y & 0 \\ 0 & 0 & \partial/\partial z \\ 0 & \partial /\partial z & \partial /\partial y \\ \partial /\partial z & 0 & \partial/\partial x \\ \partial/\partial y & \partial/\partial x & 0 \end{bmatrix} \left \{ \begin{array} {c} u \\ v \\ w \end{array} \right \}

Матриця в дужках вище, елементами якої є диференціальні оператори, може бути скорочена такL:

L = \begin{bmatrix} \partial/\partial x & 0 & 0 \\ 0 & \partial/\partial y & 0 \\ 0 & 0 & \partial/\partial z \\ 0 & \partial /\partial z & \partial /\partial y \\ \partial /\partial z & 0 & \partial/\partial x \\ \partial/\partial y & \partial/\partial x & 0 \end{bmatrix}

Рівняння деформації-зміщення потім можуть бути записані в стислому вигляді «псевдовектор-матриця»:

\epsilon = Lu

Такі рівняння повинні використовуватися у чітко визначеному контексті, оскільки вони застосовуються лише тоді, коли використовується дещо довільний псевдовекторний перелік компонентів деформації.

Об'ємна деформація

Оскільки нормальна деформація - це лише зміна довжини на одиницю початкової довжини, нова довжинаL' після напруження виявляється як

\epsilon = \dfrac{L' - L_0}{L_0} \Rightarrow L' = (1 + \epsilon) L_0

Якщо кубічний об'ємний елемент, спочатку розмірностіabc, піддається нормальним деформаціям у всіх трьох напрямках, зміна об'єму елемента дорівнює

\begin{array} {rcl} {\dfrac{\Delta V}{V}} & = & {\dfrac{a'b'c' - abc}{abc} = \dfrac{a(1 + \epsilon_x) b(1 + \epsilon_y) c(1+\epsilon_z) - abc}{abc}} \\ {} & = & {(1 + \epsilon_x)(1 + \epsilon_y)(1 +\epsilon_z) - 1 \approx \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z} \end{array}

де продуктами штамів нехтують в порівнянні з окремими значеннями. Тому об'ємна деформація - це сума нормальних деформацій, тобто сума діагональних елементів у деформаційній матриці (це також називається слідом матриці, абоTr[\epsilon]). У позначеннях індексу це можна записати просто

\dfrac{\Delta V}{V} = \epsilon_{kk}

Це відомо як об'ємний, або «дилатаційний» компонент деформації.

Приклад\PageIndex{1}

Щоб проілюструвати, як розраховується об'ємна деформація, розглянемо тонкий лист сталі, що піддається деформаціям в його площині\epsilon_x = 3, \epsilon_y = -4, заданої, і\gamma_{xy} = 6 (все в\mu в/в). Лист не знаходиться в плоскому деформації, так як він може піддаватися деформації Пуассона вz напрямку, заданому\epsilon_z = -\nu (\epsilon_x + \epsilon_y) = -0.3(3 - 4) = 0.3. Таким чином, загальний стан деформації може бути записаний як матриця

де дужки на[\epsilon] символі підкреслюють, що використовується матрична, а не псевдовекторна форма деформації. Об'ємна деформація буває:

Інженери часто посилаються на «мікродюйми» деформації; вони дійсно означають мікродюйми на дюйм. У разі об'ємного деформації відповідною (але незручною) одиницею буде мікро-кубічні дюйми на кубічний дюйм.

скінченний штам

У переважній більшості механічних аналізів використовуються нескінченно малі співвідношення деформації-зміщення, задані Eqns. 3.1.1—3.1.3, але вони не описують розтягування точно, коли градієнти зміщення стають великими. Це часто відбувається при розгляді полімерів (особливо еластомерів). Великі деформації також виникають під час операцій деформаційної обробки, таких як штампування сталевих автомобільних панелей кузова. Кінематика великого зміщення або деформації може бути складною і тонкою, але в наступному розділі буде викладено простий опис кінцевого деформації Лагранжа, щоб проілюструвати деякі з задіяних понять.

Розглянемо дві ортогональні лініїOB іO А як показано на малюнку 4, спочатку довжини dx і dy, уздовжx-y осей, де для зручності ставимоdx = dy = 1. Після деформації кінцеві точки цих ліній переміщуються на нові позиції,A_1O_1B_1 як показано на малюнку. Ми опишемо ці нові позиції, використовуючи схему координат вихіднихx-y осей, хоча ми також могли б дозволити новим позиціям визначити новий набір осей. Слідуючи за рухом ліній щодо вихідних позицій, ми використовуємо так звану точку зору Лагранжа. Ми могли б поперемінно використовувати кінцеві позиції як наш орієнтир; це погляд Ейлера, який часто використовується в механіці рідини.

Після напруження відстаньdx стає

(dx)' = (1 + \dfrac{\partial u}{\partial x} dx

Використовуючи наше попереднє «маленьке» мислення,x напруга -direction буде просто\partial u /\partial x. Але коли штами стають більше, ми також повинні враховувати, що висхідний рух точкиB_1 щодоO_1\partial v /\partial x, тобто також допомагає розтягнути лініюOB. Враховуючи обидва ці ефекти, теорема Піфагора дає нову довжинуO_1B_1 як

O_1 B_1 = \sqrt{(1 + \dfrac{\partial u}{\partial x})^2 + (\dfrac{\partial v}{\partial x})^2}

Тепер ми визначаємо наш штам Лагранжа як

Малюнок 4: Кінцеві зсуви.

\ [4pt] &=\ sqrt {1 + 2\ dfrac {\ частковий u} {\ частковий х} +\ лівий (\ dfrac {\ частковий u} {\ частковий х}\ праворуч) ^2 +\ ліворуч (\ dfrac {\ частковий v} {\ частковий х}\ правий) ^2} - 1\ кінець {вирівня*}\] </p lt-445356 ">

Використовуючи розширення серії\sqrt{1 + x} \approx 1 + x/2 + x^2/8 + \cdots та нехтування термінами поза першим порядком, це стає

Точно так само ми можемо показати

\epsilon_y = \dfrac{\partial v}{\partial y} + \dfrac{1}{2} \left [\left ( \dfrac{\partial v}{\partial y} \right )^2 \left ( \dfrac{\partial u}{\partial y} \right )^2 \right ]

\gamma_{xy} = \dfrac{\partial u}{\partial y} + \dfrac{\partial v}{\partial x} + \dfrac{\partial u}{\partial y} \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial v}{\partial y} \dfrac{\partial v}{\partial x}

Коли деформації досить малі, щоб квадратичні члени були незначними порівняно з лінійними, вони зводяться до нескінченно малодеформаційних виразів, показаних раніше.

Приклад\PageIndex{2}

Функція переміщенняu(x) для розтяжного зразка рівномірного перерізу та довжиниL, закріпленого на одному кінці та підданого зміщенню\delta на іншому, є лише лінійним співвідношенням

u(x) = \left ( \dfrac{x}{L} \right ) \delta

Потім деформація Лагранжа задається рівнянням 3.1.11 як

\epsilon_x = \dfrac{\delta}{L} + \dfrac{1}{2} \left ( \dfrac{\delta}{L} \right )^2

Перший термін - це знайоме дрібнодеформаційний вираз, при цьому другий нелінійний термін стає все більш важливим, оскільки\delta стає більшим. Коли\delta = L, тобто звичайний штам 100%, існує 50% різниця між звичайними та лагранжевими мірами деформації.

Компоненти штаму Лагранжа можна узагальнити за допомогою індексних позначень як

\epsilon_{ij} = \dfrac{1}{2} (u_{i,j} + u_{j, i} + u_{r, i} u_{r, j}).

Псевдовекторна форма також зручна зрідка:

\begin{align*} \left \{ \begin{array} {c} {\epsilon_x} \\ {\epsilon_y} \\ {\gamma_{xy}} \end{array} \right \} &= \left \{ \begin{array} {c} {u_{,x}} \\ {v_{,y}} \\ {u_{,y} + v_{,x}} \end{array} \right \} + \dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} u_{,x} & v_{,x} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & u_{,y} & v_{,y} \\ u_{,y} & v_{,y} & u_{,x} & v_{,x} \end{bmatrix} \left \{ \begin{array} {c} {u_{,x}} \\ {v_{,x}} \\ {u_{,y}} \\ {v_{,y}} \end{array} \right \} \\[4pt] &= \left (\begin{bmatrix} \partial /\partial x & 0 \\ 0 & \partial /\partial y \\ \partial /\partial y & \partial /\partial x \end{bmatrix} + \dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} u_{,x} & v_{,x} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & u_{,y} & v_{,y} \\ u_{,y} & v_{,y} & u_{,x} & v_{,x} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \partial /\partial x & 0 \\ 0 & \partial /\partial x \\ \partial /\partial y & 0 \\ 0 & \partial /\partial y \end{bmatrix}\right ) \left \{ \begin{array} {c} {u} \\ {v} \end{array} \right \} \end{align*}

які можуть бути скорочені

\epsilon = [L + A(u)]u

МатрицяA(u) містить нелінійний ефект великої деформації і стає незначною, коли деформації малі.

Вправа\PageIndex{1}

Випишіть скорочене рівняння деформації-зміщення\epsilon = Lu (Рівняння 3.1.8) для двох вимірів.

Вправа\PageIndex{2}

Випишіть компоненти тензора деформації Лагранжа в трьох вимірах:

\epsilon_{ij} = \dfrac{1}{2} (u_{i,j} + u_{j, i} + u_{r, i} u_{r, j})

Вправа\PageIndex{3}

Показати, що для малих деформацій дробова зміна об'єму є слідом тензора нескінченно малих деформацій:

\dfrac{Delta V}{V} \equiv \epsilon_{kk} = \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z

Вправа\PageIndex{4}

Коли матеріал нестисливий, покажіть коефіцієнти розширення пов'язані

\lambda_x \lambda_y \lambda_z = 1

Вправа\PageIndex{5}

Показати, що кінематичні відносини (деформація-зміщення) для полярних координат можуть бути записані

\epsilon_r = \dfrac{\partial u_r}{\partial r}

\epsilon_{\theta} = \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} +\dfrac{u_r}{r}