3.1: Кінематика
Вступ
Кінематичні або деформаційні рівняння зміщення описують, як деформації - розтягнення та спотворення - всередині навантаженого тіла відносяться до переміщень тіла. Компоненти зміщення вx,y, іz напрямки позначаються векторомu≡ui≡(u,v,w), і є функціями положення всередині тіла:u=u(x,y,z). Якщо всі точки всередині матеріалу відчувають однакове зміщення (u = постійна), конструкція рухається як тверде тіло, але не розтягується і не деформується всередині. Щоб розтягування відбулося, точки всередині тіла повинні відчувати різні зміщення.
Нескінченно малий штам

Розглянемо дві точкиA іB розділені спочатку невеликоюdx відстанню, як показано на малюнку 1, і відчуваємо рух уx напрямку. Якщо зміщення в точціA єuA, зміщення вB може бути виражено розширенням серії Тейлораu(x) навколо точкиx=A:
uB=uA+du=uA+∂u∂xdx
де тут розширення було скорочено після другого терміну. Диференціальний рухδ між двома точками
У нашій концепції розтягування як диференціального зміщення на одиницю довжини, тоx компонент деформації
ϵx=δdx=∂u∂x
Звідси деформація - це градієнт зсуву. Застосовуючи подібні міркування до диференціального руху вy напрямку,y -складовою деформації є градієнт вертикальногоv зміщення щодоy:
ϵy=∂v∂y
Малюнок 2: Спотворення зсуву.
Спотворення матеріалу, яке можна охарактеризувати як зміна спочатку прямих кутів, - це сума нахилів, наданих вертикальним і горизонтальним лініям. Як показано на малюнку 2, нахил спочатку вертикальної лінії - це відносне горизонтальне зміщення двох сусідніх точок уздовж лінії:
Зміна кута - це
γ1≈tanγ1=δdy=∂u∂y
Аналогічно (див. Рис. 3) нахилγ2 початкової горизонтальної лінії єv градієнтом щодоx. Потім деформація зсуву вxy площині
γxy=γ1+γ2=∂v∂x+∂u∂y
Це позначення, яке використовуєтьсяϵ для нормальної деформації таγ для деформації зсуву, іноді називають «класичним» описом штаму.
Формулювання матриці
«Індикальне позначення», описане в Модулі матричних та індексних позначень, забезпечує стислий метод запису всіх складових тривимірних станів деформації:
ϵij=12(∂ui∂xj+∂uj∂xi)=12(ui,j+uj,i)

де кома позначає диференціювання щодо наступної просторової змінної. Це двоіндексне позначення індексу призводить природно до матричного розташування деформаційних компонентів, в якомуi−j компонент деформації стає елементом матриці вith рядку іjth стовпці:
ϵij=[∂u∂x12(∂u∂y+∂v∂x)12(∂u∂z+∂w∂x)12(∂u∂y+∂v∂x)∂v∂y12(∂v∂z+∂w∂y)12(∂w∂x+∂u∂z)12(∂v∂z+∂w∂y)∂w∂z]
Зверніть увагу, що матриця деформацій симетрична, тϵij=ϵji. Ця симетрія означає, що існує шість, а не дев'ять незалежних штамів, як можна було очікувати в матриці× 3 3. Також зверніть увагу, що індикальний опис штаму дає той же результат для нормальних компонентів, що і в класичному описі:ϵ11=ϵx. Однак індикальними складовими деформації зсуву є половина їх класичних побратимів:ϵ12=γxy/2.
У ще одній корисній нотаційній схемі класичні рівняння деформації-зміщення можуть бути виписані у вертикальний список, аналогічний вектору:
{ϵxϵyϵzγyzγxzγxy}={∂u/∂x∂v/∂y∂w/∂z∂v/∂z+∂w/∂y∂u/∂z+∂w/∂x∂u/∂y+∂v/∂x}
Це векторне розташування компонентів деформації тільки для зручності, і іноді його називають псевдовектором. Деформація насправді є тензором другого рангу, як напруга або момент інерції, і має математичні властивості, дуже різні, ніж у векторів. Порядок елементів у формі псевдовектора є довільним, але зазвичай перераховувати їх, як ми маємо тут, рухаючись вниз по діагоналі матриці деформації рівняння 5 зверху ліворуч вниз праворуч, потім перемістіть вгору третій стовпець і, нарешті, перемістіть один стовпець вліво на першому рядку; це дає замовлення 1,1; 2,2; 3,3; 2,3; 1,3; 1,2.
Дотримуючись правил множення матриці, псевдовектор деформації також може бути записаний через вектор зміщення як
{ϵxϵyϵzγyzγxzγxy}=[∂/∂x000∂/∂y000∂/∂z0∂/∂z∂/∂y∂/∂z0∂/∂x∂/∂y∂/∂x0]{uvw}
Матриця в дужках вище, елементами якої є диференціальні оператори, може бути скорочена такL:
L=[∂/∂x000∂/∂y000∂/∂z0∂/∂z∂/∂y∂/∂z0∂/∂x∂/∂y∂/∂x0]
Рівняння деформації-зміщення потім можуть бути записані в стислому вигляді «псевдовектор-матриця»:
ϵ=Lu
Такі рівняння повинні використовуватися у чітко визначеному контексті, оскільки вони застосовуються лише тоді, коли використовується дещо довільний псевдовекторний перелік компонентів деформації.
Об'ємна деформація
Оскільки нормальна деформація - це лише зміна довжини на одиницю початкової довжини, нова довжинаL′ після напруження виявляється як
ϵ=L′−L0L0⇒L′=(1+ϵ)L0
Якщо кубічний об'ємний елемент, спочатку розмірностіabc, піддається нормальним деформаціям у всіх трьох напрямках, зміна об'єму елемента дорівнює
ΔVV=a′b′c′−abcabc=a(1+ϵx)b(1+ϵy)c(1+ϵz)−abcabc=(1+ϵx)(1+ϵy)(1+ϵz)−1≈ϵx+ϵy+ϵz
де продуктами штамів нехтують в порівнянні з окремими значеннями. Тому об'ємна деформація - це сума нормальних деформацій, тобто сума діагональних елементів у деформаційній матриці (це також називається слідом матриці, абоTr[ϵ]). У позначеннях індексу це можна записати просто
ΔVV=ϵkk
Це відомо як об'ємний, або «дилатаційний» компонент деформації.
Приклад3.1.1
Щоб проілюструвати, як розраховується об'ємна деформація, розглянемо тонкий лист сталі, що піддається деформаціям в його площиніϵx=3,ϵy=−4, заданої, іγxy=6 (все вμ в/в). Лист не знаходиться в плоскому деформації, так як він може піддаватися деформації Пуассона вz напрямку, заданомуϵz=−ν(ϵx+ϵy)=−0.3(3−4)=0.3. Таким чином, загальний стан деформації може бути записаний як матриця
де дужки на[ϵ] символі підкреслюють, що використовується матрична, а не псевдовекторна форма деформації. Об'ємна деформація буває:
Інженери часто посилаються на «мікродюйми» деформації; вони дійсно означають мікродюйми на дюйм. У разі об'ємного деформації відповідною (але незручною) одиницею буде мікро-кубічні дюйми на кубічний дюйм.
скінченний штам
У переважній більшості механічних аналізів використовуються нескінченно малі співвідношення деформації-зміщення, задані Eqns. 3.1.1—3.1.3, але вони не описують розтягування точно, коли градієнти зміщення стають великими. Це часто відбувається при розгляді полімерів (особливо еластомерів). Великі деформації також виникають під час операцій деформаційної обробки, таких як штампування сталевих автомобільних панелей кузова. Кінематика великого зміщення або деформації може бути складною і тонкою, але в наступному розділі буде викладено простий опис кінцевого деформації Лагранжа, щоб проілюструвати деякі з задіяних понять.
Розглянемо дві ортогональні лініїOB іO А як показано на малюнку 4, спочатку довжини dx і dy, уздовжx−y осей, де для зручності ставимоdx=dy=1. Після деформації кінцеві точки цих ліній переміщуються на нові позиції,A1O1B1 як показано на малюнку. Ми опишемо ці нові позиції, використовуючи схему координат вихіднихx−y осей, хоча ми також могли б дозволити новим позиціям визначити новий набір осей. Слідуючи за рухом ліній щодо вихідних позицій, ми використовуємо так звану точку зору Лагранжа. Ми могли б поперемінно використовувати кінцеві позиції як наш орієнтир; це погляд Ейлера, який часто використовується в механіці рідини.
Після напруження відстаньdx стає
(dx)′=(1+∂u∂xdx
Використовуючи наше попереднє «маленьке» мислення,x напруга -direction буде просто∂u/∂x. Але коли штами стають більше, ми також повинні враховувати, що висхідний рух точкиB1 щодоO1∂v/∂x, тобто також допомагає розтягнути лініюOB. Враховуючи обидва ці ефекти, теорема Піфагора дає нову довжинуO1B1 як
O1B1=√(1+∂u∂x)2+(∂v∂x)2
Тепер ми визначаємо наш штам Лагранжа як

\ [4pt] &=\ sqrt {1 + 2\ dfrac {\ частковий u} {\ частковий х} +\ лівий (\ dfrac {\ частковий u} {\ частковий х}\ праворуч) ^2 +\ ліворуч (\ dfrac {\ частковий v} {\ частковий х}\ правий) ^2} - 1\ кінець {вирівня*}\] </p lt-445356 ">
Використовуючи розширення серії√1+x≈1+x/2+x2/8+⋯ та нехтування термінами поза першим порядком, це стає
Точно так само ми можемо показати
ϵy=∂v∂y+12[(∂v∂y)2(∂u∂y)2]
γxy=∂u∂y+∂v∂x+∂u∂y∂u∂x+∂v∂y∂v∂x
Коли деформації досить малі, щоб квадратичні члени були незначними порівняно з лінійними, вони зводяться до нескінченно малодеформаційних виразів, показаних раніше.
Приклад3.1.2
Функція переміщенняu(x) для розтяжного зразка рівномірного перерізу та довжиниL, закріпленого на одному кінці та підданого зміщеннюδ на іншому, є лише лінійним співвідношенням
u(x)=(xL)δ
Потім деформація Лагранжа задається рівнянням 3.1.11 як
ϵx=δL+12(δL)2
Перший термін - це знайоме дрібнодеформаційний вираз, при цьому другий нелінійний термін стає все більш важливим, оскількиδ стає більшим. Колиδ=L, тобто звичайний штам 100%, існує 50% різниця між звичайними та лагранжевими мірами деформації.
Компоненти штаму Лагранжа можна узагальнити за допомогою індексних позначень як
ϵij=12(ui,j+uj,i+ur,iur,j).
Псевдовекторна форма також зручна зрідка:
{ϵxϵyγxy}={u,xv,yu,y+v,x}+12[u,xv,x0000u,yv,yu,yv,yu,xv,x]{u,xv,xu,yv,y}=([∂/∂x00∂/∂y∂/∂y∂/∂x]+12[u,xv,x0000u,yv,yu,yv,yu,xv,x][∂/∂x00∂/∂x∂/∂y00∂/∂y]){uv}
які можуть бути скорочені
ϵ=[L+A(u)]u
МатрицяA(u) містить нелінійний ефект великої деформації і стає незначною, коли деформації малі.
Вправа3.1.1
Випишіть скорочене рівняння деформації-зміщенняϵ=Lu (Рівняння 3.1.8) для двох вимірів.
Вправа3.1.2
Випишіть компоненти тензора деформації Лагранжа в трьох вимірах:
ϵij=12(ui,j+uj,i+ur,iur,j)
Вправа3.1.3
Показати, що для малих деформацій дробова зміна об'єму є слідом тензора нескінченно малих деформацій:
DeltaVV≡ϵkk=ϵx+ϵy+ϵz
Вправа3.1.4
Коли матеріал нестисливий, покажіть коефіцієнти розширення пов'язані
λxλyλz=1
Вправа3.1.5
Показати, що кінематичні відносини (деформація-зміщення) для полярних координат можуть бути записані
ϵr=∂ur∂r
ϵθ=1r∂uθ∂θ+urr