3.2: Умовна ймовірність

Якщо$M$ відомо, що відбулася складова подія, виникає питання про ймовірність того, що сталося одне зі складових простих подій Ай. Це пишеться як$P(A_j |M)$, читається як «ймовірність$A_j$, дана»$M$, і це умовна ймовірність. Ключова концепція тут полягає в тому, що$M$ замінює$S$ як простір подій, так що$p(M) = 1$. Це матиме природний ефект завищення ймовірностей подій, які є частиною події$M$, і фактично

$$p(A_j | M) = \dfrac{p(A_j \cap M)}{p(M)}.$$

Посилаючись на наш приклад померти вище, якщо$M$ це подія рівного результату, то ми маємо

\ почати {вирівнювати*} М = A_2\ чашка A_4\ чашка A_6\\ [4pt] p (М\ кришка A_2) = p (A_2) = 1/6\\ [4pt] p (M) = 1/2\ довгого стрілки\\ [4pt] p (A_2 | M) =\ dfrac {1/6} {1/2} = 1/3. \ end {вирівнювати*}

Враховуючи, що спостерігався результат події (складова подія$M$), ймовірність того, що двійка була прокотилася, дорівнює 1/3. Тепер якщо всі$A_j$ є незалежними (простими) подіями і$M$ є складовою подією, то можна написати протилежне правило:

$$p(M) = p(M|A_1) \, p(A_1) \, + \, . \, . \, . + \, p(M|A_n) \, p(A_n).$$

Це відношення збирає умовні ймовірності$M$ даної кожної окремої події$A_i$. Його логіку легко побачити на графіку. Ось приклад того, як його використовувати в практичній задачі. Коробка А має 2000 предметів, з яких 5% є дефектними; коробка B має 500 предметів з 40% дефектними; коробки C і D кожен містить 1000 предметів з 10% дефектом. Якщо коробка вибрана навмання, а з цієї коробки береться один предмет, яка ймовірність того, що вона несправна? $M$це складова подія дефектного елемента, тому ми після$p(M)$. Застосовуємо формулу вище, щоб знайти

$$p(M) = 0.05 \times 0.25 + 0.40 \times 0.25 + 0.10 \times 0.25 + 0.10 \times 0.25 = 0.1625. \nonumber$$