Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.2: Умовна ймовірність

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    31692

    • Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
    • Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Якщо\(M\) відомо, що відбулася складова подія, виникає питання про ймовірність того, що сталося одне зі складових простих подій Ай. Це пишеться як\(P(A_j |M)\), читається як «ймовірність\(A_j\), дана»\(M\), і це умовна ймовірність. Ключова концепція тут полягає в тому, що\(M\) замінює\(S\) як простір подій, так що\(p(M) = 1\). Це матиме природний ефект завищення ймовірностей подій, які є частиною події\(M\), і фактично

    \[p(A_j | M) = \dfrac{p(A_j \cap M)}{p(M)}. \]

    Посилаючись на наш приклад померти вище, якщо\(M\) це подія рівного результату, то ми маємо

    \ почати {вирівнювати*} М = A_2\ чашка A_4\ чашка A_6\\ [4pt] p (М\ кришка A_2) = p (A_2) = 1/6\\ [4pt] p (M) = 1/2\ довгого стрілки\\ [4pt] p (A_2 | M) =\ dfrac {1/6} {1/2} = 1/3. \ end {вирівнювати*}

    Враховуючи, що спостерігався результат події (складова подія\(M\)), ймовірність того, що двійка була прокотилася, дорівнює 1/3. Тепер якщо всі\(A_j\) є незалежними (простими) подіями і\(M\) є складовою подією, то можна написати протилежне правило:

    \[ p(M) = p(M|A_1) \, p(A_1) \, + \, . \, . \, . + \, p(M|A_n) \, p(A_n). \]

    Це відношення збирає умовні ймовірності\(M\) даної кожної окремої події\(A_i\). Його логіку легко побачити на графіку. Ось приклад того, як його використовувати в практичній задачі. Коробка А має 2000 предметів, з яких 5% є дефектними; коробка B має 500 предметів з 40% дефектними; коробки C і D кожен містить 1000 предметів з 10% дефектом. Якщо коробка вибрана навмання, а з цієї коробки береться один предмет, яка ймовірність того, що вона несправна? \(M\)це складова подія дефектного елемента, тому ми після\(p(M)\). Застосовуємо формулу вище, щоб знайти

    \[ p(M) = 0.05 \times 0.25 + 0.40 \times 0.25 + 0.10 \times 0.25 + 0.10 \times 0.25 = 0.1625. \nonumber \]