Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.3: Правило Байєса

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    31684

    • Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
    • Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Розглянемо складену подію\(M\) і просту подію\(A_i\). Ми знаємо з умовної ймовірності з попереднього розділу, що

    \ почати {вирівнювати*} р (a_i|м) =\ dfrac {p (a_i\ cap M)} {p (M)}\\ [4pt] p (m|a_i) =\ dfrac {p (a_i\ cap M)} {p (a_i)},\ кінець {вирівнювати*}

    і якщо ми усунемо знаменник з правого боку, ми виявимо, що

    \ почати {вирівнювати*} р (m|a_i) =\ dfrac {р (a_i|м)\, р (М)} {p (a_i)}\\ [4pt] p (a_i|м) =\ dfrac {p (m|a_i)\, p (a_i)} {р (М)}. \ end {вирівнювати*}

    Другий з них найбільш цікавий - він дає ймовірність простої події, обумовленої на складеній події, в терміні складеного події, обумовленого на простому! Згадуючи нашу вищевказану формулу для\(p(M)\), ми таким чином виведемо правило Байєса:

    \[ p(A_i|M) = \dfrac{p(M|A_i) \, p(A_i)}{p(M|A_1) \, p(A_1) \, + \, . \, . \, . + \, p(M|A_n) \, p(A_n)}. \]

    Наведемо приклад його використання.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Розглянемо медичний тест, який є точним на 99% - він дає негативний результат для людей, які не мають захворювання 99% випадків, і він дає позитивний результат для людей, які дійсно мають захворювання 99% випадків. Лише один відсоток населення хворіє цим захворюванням. Джо щойно отримав позитивний результат тесту: Яка ймовірність того, що у нього захворювання?

    Рішення

    Складова подія\(M\) полягає в тому, що у нього є хвороба, а прості події полягають у тому, що він випробував позитивний\((+)\) або негативний результат\((-)\). Застосовуємо

    \ почати {вирівнювати*} р (М | +) &=\ dfrac {р (+|М)\, р (М)} {p (+)}\\ [4pt] &=\ dfrac {p (+|М)\, p (M)\, p (M) + p (+|\ бар {M})\, p\ бар {M})}\\ [4pt] &=\ dfrac {0,99\ раз 0,01} {0,99\ раз 0,01\ раз 0,99}\\ [4pt] &= 1/2. \ end {вирівнювати*}

    Цей приклад не дуже цінується багатьма споживачами охорони здоров'я!

    Ось ще один приклад, без такої кількості симетрій.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Коробка А має дев'ять червоних подушок в ній і одну білу. Коробка В має шість червоних подушок в ній і дев'ять білих. Вибір ящика навмання і витягування подушки навмання дає результат червоної подушки. Яка ймовірність того, що вона прийшла з Box A?

    Рішення

    \(M\)це складова подія, що вона прийшла з Box A; проста подія полягає в тому, що була зібрана червона подушка\((R)\). У нас є

    \ почати {вирівнювати*} р (M|R) &=\ dfrac {p (R|М)\, р (М)} {p (R)}\\ [4pt] &=\ dfrac {p (R|М)\, p (М)\, p (M) + p (R |\ бар {М})\, p\ бар {M})}\\ [4pt] &=\ dfrac {0,9\ раз 0,5} {0,9\ раз 0,5 + 0,4\ раз 0,5}\\ [4pt] &= 0.692. \ end {вирівнювати*}