3.3: Правило Байєса

Розглянемо складену подію$M$ і просту подію$A_i$. Ми знаємо з умовної ймовірності з попереднього розділу, що

\ почати {вирівнювати*} р (a_i|м) =\ dfrac {p (a_i\ cap M)} {p (M)}\\ [4pt] p (m|a_i) =\ dfrac {p (a_i\ cap M)} {p (a_i)},\ кінець {вирівнювати*}

і якщо ми усунемо знаменник з правого боку, ми виявимо, що

\ почати {вирівнювати*} р (m|a_i) =\ dfrac {р (a_i|м)\, р (М)} {p (a_i)}\\ [4pt] p (a_i|м) =\ dfrac {p (m|a_i)\, p (a_i)} {р (М)}. \ end {вирівнювати*}

Другий з них найбільш цікавий - він дає ймовірність простої події, обумовленої на складеній події, в терміні складеного події, обумовленого на простому! Згадуючи нашу вищевказану формулу для$p(M)$, ми таким чином виведемо правило Байєса:

$$p(A_i|M) = \dfrac{p(M|A_i) \, p(A_i)}{p(M|A_1) \, p(A_1) \, + \, . \, . \, . + \, p(M|A_n) \, p(A_n)}.$$

Наведемо приклад його використання.

Приклад$\PageIndex{1}$

Розглянемо медичний тест, який є точним на 99% - він дає негативний результат для людей, які не мають захворювання 99% випадків, і він дає позитивний результат для людей, які дійсно мають захворювання 99% випадків. Лише один відсоток населення хворіє цим захворюванням. Джо щойно отримав позитивний результат тесту: Яка ймовірність того, що у нього захворювання?

Рішення

Складова подія$M$ полягає в тому, що у нього є хвороба, а прості події полягають у тому, що він випробував позитивний$(+)$ або негативний результат$(-)$. Застосовуємо

\ почати {вирівнювати*} р (М | +) &=\ dfrac {р (+|М)\, р (М)} {p (+)}\\ [4pt] &=\ dfrac {p (+|М)\, p (M)\, p (M) + p (+|\ бар {M})\, p\ бар {M})}\\ [4pt] &=\ dfrac {0,99\ раз 0,01} {0,99\ раз 0,01\ раз 0,99}\\ [4pt] &= 1/2. \ end {вирівнювати*}

Цей приклад не дуже цінується багатьма споживачами охорони здоров'я!

Ось ще один приклад, без такої кількості симетрій.

Приклад$\PageIndex{2}$

Коробка А має дев'ять червоних подушок в ній і одну білу. Коробка В має шість червоних подушок в ній і дев'ять білих. Вибір ящика навмання і витягування подушки навмання дає результат червоної подушки. Яка ймовірність того, що вона прийшла з Box A?

Рішення

$M$це складова подія, що вона прийшла з Box A; проста подія полягає в тому, що була зібрана червона подушка$(R)$. У нас є

\ почати {вирівнювати*} р (M|R) &=\ dfrac {p (R|М)\, р (М)} {p (R)}\\ [4pt] &=\ dfrac {p (R|М)\, p (М)\, p (M) + p (R |\ бар {М})\, p\ бар {M})}\\ [4pt] &=\ dfrac {0,9\ раз 0,5} {0,9\ раз 0,5 + 0,4\ раз 0,5}\\ [4pt] &= 0.692. \ end {вирівнювати*}