3.4: Випадкові величини

Last updated
Save as PDF

Page ID: 31677

Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Тепер ми присвоюємо кожній події$A_i$ в просторі вибірки задане значення: кожне$A_i$ відповідає a$x_i$. Наприклад, кидок монети, що призводить до голів, може бути прирівняний до винагороди в $1, і кожен хвост може спричинити втрату в розмірі 1 долара. Цифри долара можуть бути призначені кожному з граней плашки. Звідси ми бачимо, що якщо кожна подія$A_i$ має ймовірність, то так будуть і числові значення$x_i$.

Середнє значення$x_i$ може бути наближено, звичайно, шляхом вибірки$N$ часу простору, підсумовуючи$x$ всі, і діливши на$N$. У міру того, як$N$ стає більше, цей розрахунок дасть все більш точний результат. З точки зору ймовірностей формула очікуваного значення дорівнює

\[ \bar{x} = E(x) = \sum_{i=1}^{n} p(A_i) x_i. \]

Еквівалентність цього очікуваного значення з числовим середнім показником розглядається наступним чином: якщо простір відібраний$N$ раз, а кількість результатів$[A_i, x_i]$ -$k_i$ то$ p(A_i) \simeq k_i / N $.

Суперпозиція є важливою властивістю оператора очікування:

\[ E(x+y) = E(x) + E(y). \]

Середнє значення функції визначено з$x$ використанням ймовірностей випадкової величини$x$:

\[ E[f(x(\xi))] = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) p_i . \]

Ще однією важливою властивістю випадкової величини є дисперсія - міра того, наскільки$x$ змінюється від власного середнього значення:

\ begin {вирівняти}\ сигма ^2 &= E\ лівий [(x -\ бар {x}) ^2\ праворуч]\\ [4pt] &= E (x^2) -\ бар {x} ^2. \ end {вирівняти}

Друга лінія очевидна тому, що$E(−2x \bar{x}) = −2 \bar{x}^2$. Зверніть увагу, що ми використовуємо символ$ \sigma ^2 $ для дисперсії; стандартне відхилення$\sigma$ - це лише квадратний корінь і має ті ж одиниці, що і випадкова величина$x$.