1.1: Одновимірна деформація

Розглянемо призматичну, рівномірну по товщині стрижень або балку початкової довжини\(l_o\). Стрижень фіксується на одному кінці і піддається зусиллям розтягування (рис. (\(\PageIndex{1}\))) на іншому кінці. Струм, деформована довжина позначається\(l\). Питання в тому, чи є результуюче поле деформації однорідним чи ні. Поняття однорідності в механіці означає незалежність рішення від системи просторових координат, осі стрижня в даному випадку. Можна показати, що якщо крива напруження-деформація матеріалу опукла або лінійна, стрижень деформується рівномірно і всередині стрижня розвивається однорідний стан деформацій і напружень. Це означає, що місцеві та середні штами однакові, і деформацію можна визначити, враховуючи загальну довжину. Зсув на нерухомому\(x = 0\) кінці стрижня дорівнює нулю,\(u(x = 0)\) а зміщення кінця дорівнює

\[u(x = l) = l − l_o \label{1.1.1}\]

Деформація визначається як відносне зміщення. Відносно чого? Початкова, поточна довжина або щось інше? Визначення штаму просте, але в той же час неунікальне.

\[\epsilon \buildrel \rm {def} \over{=} \frac{l − l_o}{l_o} \text{ Engineering Strain} \label{1.1.2}\]

\[\epsilon \buildrel \rm {def} \over{=} \frac{1}{2} \frac{l^2 − l_o^2}{l^2} \text{ Cauchy Strain} \label{1.1.3}\]

\[\epsilon \buildrel \rm {def} \over{=} \ln \frac{l}{l_o} \text{ Logarithmic Strain} \label{1.1.4}\]

Кожне з вищезазначених трьох визначень задовольняє основну вимогу, що деформація зникає, коли\(l = l_o\) або\(u = 0\) що деформація в зростаючій функції переміщення\(u\).

Розглянемо граничний випадок рівняння\ ref {1.1.1} для малих переміщень\(\frac{u}{l_o} \ll 1\), для яких\(l_o+l \approx 2l_o\) у Equation\ ref {1.1.3}. Потім штам Коші стає

\[\epsilon = \frac{l − l_o}{l_o} \frac{l + l_o}{2l_o} \cong \frac{l − l_o}{l_o} \frac{2l}{2l_o} \cong \frac{l − l_o}{l_o} \label{1.1.5}\]

Таким чином, при малих деформаціях штам Коші зводиться до інженерної деформації. Аналогічно, розширюючи вираз для логарифмічної деформації, Equation\ ref {1.1.4} у рядах Тейлора навколо\(l − l_o \cong 0\),

\[\left. \ln \frac{l}{l_o} \right|_{l/l_o=1} \cong \frac{l − l_o}{l_o} - \frac{1}{2} \left( \frac{l + l_o}{l_o} \right)^2 + \ldots \approx \frac{l − l_o}{l_o}\]

видно, що логарифмічна деформація зводиться до інженерної деформації.

Графіки\(\epsilon\) проти\(\frac{l}{l_o}\) відповідно до Рівняння\ ref {1.1.2} -\ ref {1.1.4} показані на рисунку (\(\PageIndex{1}\)).

Рисунок\(\PageIndex{1}\): Порівняння трьох визначень одновісної деформації.

Неоднорідне поле деформації

Деформація повинна бути визначена локально, а не для всієї конструкції. Розглянемо нескінченно малий елемент\(dx\) в несформованої конфігурації, рис\(\PageIndex{2}\). Після деформації стає довжина вихідного матеріалу елемента\(dx + du\). Потім інженерна деформація

\[\epsilon_{\text{eng}} = \frac{(dx + du) − dx}{dx} = \frac{du}{dx} \label{1.1.7}\]

Просторова похідна поля зміщення називається градієнтом зміщення\(\boldsymbol{F} = \frac{du}{dx}\). Для одновісного стану деформація - це просто градієнт зсуву. Це не вірно для загального 3-D випадку.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Неформований і деформований елемент в однорідному і неоднорідному полі деформації в штанзі.

Місцевий штам Коші отримують шляхом прийняття відносних значень різниці квадрата довжин. Як показано в Equation\ ref {1.1.5}, для того, щоб деформація Коші зменшилася до інженерної деформації, в визначення необхідно ввести коефіцієнт 2. Таким чином

\[\epsilon_c = \frac{1}{2} \frac{(dx + du)^2 − dx^2}{dx^2} = \frac{du}{dx} + \frac{1}{2} \left( \frac{du}{dx} \right)^2\]

або\(\epsilon_c = \boldsymbol{F} + \frac{1}{2} \boldsymbol{F}^2\). Для малих градієнтів зміщення,

\[\epsilon_c = \epsilon_{\text{eng}}\]