1.2: Розширення до 3-D корпусу

Рівняння (1.1.7) можна переписати в альтернативному вигляді

$$d u = \epsilon d x$$

Розглянемо евклідієвий простір і позначити$\boldsymbol{x} = \{x_1, x_2, x_3\}$ або$x_i$ вектор, що представляє положення родової точки тіла. У загальному тривимірному випадку зміщення матеріальної точки також є вектором з компонентами$\boldsymbol{u} = \{u_1, u_2, u_3\}$ або$u_i$ де$i = 1, 2, 3$. Нагадаємо, що приріст функції трьох змінних є сумою трьох складових.

$$d u_1(x_1, x_2, x_3) = \frac{\partial u_1}{ \partial x_1} d x_1 + \frac{\partial u_1}{ \partial x_2} dx_2 + \frac{\partial u_1}{ \partial x_3} d x_3$$

Загалом, складовими вектора приросту зміщення є

$$du_i(x_i) = \frac{\partial u_i}{ \partial x_1} d x_1 + \frac{\partial u_i}{ \partial x_2} d x_2 + \frac{\partial u_i}{ \partial x_3} d x_3 = \sum_{j=1}^3 \frac{\partial u_i}{ \partial x_j} d x_j$$

де$j$ повторюється - так званий індекс «пустушки». Градієнт зміщення

$$\boldsymbol{F} = \frac{\partial u_i}{ \partial x_j}$$

не є симетричним тензором. Він також містить терміни обертання жорсткого тіла. Це можна показати, переписавши вираз for$\boldsymbol{F}$ в еквівалентній формі

$$\frac{\partial u_i}{ \partial x_j} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{ \partial x_j} + \frac{\partial u_j}{ \partial x_i}\right) + \left(\frac{1}{2}\frac{\partial u_i}{ \partial x_j} - \frac{\partial u_j}{ \partial x_i}\right) \label{1.2.5}$$

Тензор деформації$\epsilon_{ij}$ визначається як «симетрична» частина градієнта зсуву, який є першим членом у Equation\ ref {1.2.5}.

$$\epsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{ \partial x_j} + \frac{\partial u_j}{ \partial x_i}\right) \label{1.2.6}$$

Тепер міняємо (транспонуємо) індекси$i$ і$j$ в Equation\ ref {1.2.6}:

$$\epsilon_{ji} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_j}{ \partial x_i} - \frac{\partial u_i}{ \partial x_j}\right) \label{1.2.7}$$

Перший член у Equation\ ref {1.2.7} такий самий, як і другий член у Equation\ ref {1.2.6}. І другий член у Equation\ ref {1.2.7} ідентичний першому члену в Equation\ ref {1.2.6}. Тому тензор деформації симетричний.

$$\epsilon_{ij} = \epsilon_{ji}$$

Причина введення властивостей симетрії тензора деформації буде пояснена далі в цьому розділі. Другі члени в Equation\ ref {1.2.5} називають тензором спіна$\omega_{ij}$

$$\omega_{ij} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{ \partial x_j} + \frac{\partial u_j}{ \partial x_i}\right)$$

Використовуючи подібні аргументи, як і раніше, легко побачити, що тензор спина антисиметричний.

$$w_{ij} = -w_{ji} \label{1.2.10}$$

З визначення випливає, що діагональні долі тензора спіна дорівнюють нулю, наприклад$w_{11} = −w_{11} = 0$. Компонентами тензора деформації є:

• $i = 1, j = 1$ $$\epsilon_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_1}{ \partial x_1} + \frac{\partial u_1}{ \partial x_1}\right) = \frac{\partial u_1}{ \partial x_1} \label{1.2.11}$$
• $i = 2, j = 2$ $$\epsilon_{22} = \frac{\partial u_2}{ \partial x_2}$$
• $i = 3, j = 3$ $$\epsilon_{33} = \frac{\partial u_3}{ \partial x_3}$$
• $i = 1, j = 2$ $$\epsilon_{12} = \epsilon_{21} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_1}{ \partial x_2} + \frac{\partial u_2}{ \partial x_1}\right)$$
• $i = 2, j = 3$ $$\epsilon_{23} = \epsilon_{32} = -\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_2}{ \partial x_3} + \frac{\partial u_3}{ \partial x_2}\right)$$
• $i = 3, j = 1$ $$\epsilon_{31} = \epsilon_{13} = -\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_3}{ \partial x_1} + \frac{\partial u_1}{ \partial x_3}\right)$$

Для геометричної інтерпретації тензора деформації та спінового тензора розглянемо нескінченно малий квадратний елемент, який$(dx_1, dx_2)$ піддається декільком простим випадкам деформації. Часткові похідні замінюються скінченними відмінностями, наприклад

$$\frac{\partial u_1}{ \partial x_1} = \frac{\Delta u_1}{\Delta x_1} = \frac{u_1(x_1) - u_1(x_1 +h)}{h}$$

Переклад жорсткого тіла

Уздовж$x_1$ осі:

$$u_1(x_1) = u_1(x_1 + h)$$

$$u_2 = u_3 = 0$$

Рисунок$\PageIndex{1}$: Перенесення жорсткого тіла нескінченно маленького квадратного елемента.

З\ ref {1.2.11} випливає, що відповідний компонент деформації зникає,$\epsilon_{11} = 0$. Перша складова тензора спіна дорівнює нулю з визначення,$\omega_{11} = 0$.

Розширення вздовж$x_1$ осі

За адресою$x_1$:$u_1 = 0$.

За адресою$x_1 + h$:$u_1 = u_o$.

Відповідний штам є$\epsilon_{11} = \frac{u_o}{h}$.

Чистий зсув на$x_1x_2$ площині

При$x_1 = 0$ і$x_2 = 0$:$u_1 = u_2 = 0$

При$x_1 = h$ і$x_2 = 0$:$u_1 = 0$ і$u_2 = u_o$

При$x_1 = 0$ і$x_2 = h$:$u_1 = u_o$ і$u_2 = 0$

Малюнок$\PageIndex{2}$: Квадратний елемент розтягується в одному напрямку.

Рисунок$\PageIndex{3}$: Накладення постійних деформативних градієнтів.

З Рівняння\ ref {1.2.10} і Рівняння\ ref {1.2.6} випливає, що:

$$\epsilon_{12} = \frac{1}{2} \left( \frac{u_o}{h} +\frac{u_o}{h}\right) = \frac{u_o} {h}$$

$$\omega_{12} = \frac{1}{2} \left( \frac{u_o}{h} − \frac{u_o}{h}\right) = 0$$

Отримана деформація являє собою зміну кутів початкового прямолінійного елемента.

Жорстке обертання тіла

При$x_1 = 0$ і$x_2 = 0$:$u_1 = u_2 = 0$

При$x_1 = h$ і$x_2 = 0$:$u_1 = 0$ і$u_2 = u_o$

При$x_1 = 0$ і$x_2 = h$:$u_1 = -u_o$ і$u_2 = 0$

Малюнок$\PageIndex{4}$: Нескінченно малий квадратний елемент, що піддається обертанню жорсткого тіла.

Зміна знака$u_1$ at$x_1 = 0$ і from to$-u_o$ призводить$x_2 = h$$u_o$ до ненульового спина, але нульової деформації

$$\epsilon_{12} = \frac{1}{2} \left( \frac{u_o}{h} + \left(− \frac{u_o}{h}\right)\right) = 0$$

$$\omega_{12} = \frac{1}{2} \left( \frac{u_o}{h} + \left(− \frac{u_o}{h}\right)\right) = \frac{u_o} {h}$$

Останній приклад дає пояснення, чому тензор деформації був визначений як симетрична частина градієнта зміщення. Фізика диктує, що трансляція і обертання твердого тіла не повинні викликати будь-які деформації в матеріальний елемент. При обертанні жорсткого тіла градієнти переміщення не дорівнюють нулю. Тензор деформації, що визначається як симетрична частина градієнта зміщення, усуває ефект обертання в стані деформації в тілі. Іншими словами, деформація описувала зміну довжини і кутів при віджиманні, обертанні елемента.