1.6: Відношення деформації тонких пластин

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Нинішній курс 2.080 є обов'язковою умовою для більш просунутого курсу 2.081 з пластин і оболонок. Повний набір конспектів лекцій для 2.081 доступний на OpenCourseWare. Зацікавлений читач знайде там повне виклад теорії помірно великого прогину пластин, що випливає з перших принципів. Тут наведено лише короткий зміст.

Позначення

У лекціях про тарілках і оболонках будуть використані два позначення. Формулювання та деякі похідні будуть простішими (і більш елегантними), викликаючи тензорські позначення. Тут студенти повинні коротко перегорнути до декламації 1, де пояснюються вищезазначені математичні маніпуляції. З метою вирішення пластинчастих задач будуть використані розширені позначення.

Точки на середній поверхні пластини описуються вектором $\{x_1, x_2\}$ або $x_{\alpha}$ , $\alpha = 1, 2$ в тензорних позначеннях або $\{x, y\}$ в розширених позначеннях.

Аналогічним чином позначаються внутрішньоплоскі складові вектора зміщення $\{u, v\}$ . Вертикальна складова вектора зміщення в $z$ -напрямку позначається значенням $w$ .

Теорія плити проти променя

Теорія пластин вимагає менше припущень і є більш самоузгодженою, ніж теорія променя. З одного боку, немає ніяких ускладнень, що виникають з поняття центроїдальної осі для призматичних пучків довільної форми. $z$ -координата вимірюється від середньої площини, яка є самопояснювальною. Нарешті, згинальна/крутильна реакція несиметричних і/або тонкостінних поперечних балок в плитах відсутня. Складність формулювання плити походить від двовимірності задачі. Звичайні похідні рівняння в пучках тепер стають рівняннями з частинними похідними