1.8: Розширена форма співвідношення деформації-зміщення

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Виведши геометричні відносини в тензоріальних позначення, рівняння (1.7.10) і (1.7.11) будуть перезаписані в систему координат (x, y) і фізична інтерпретація буде дана кожному семестру. Розглянемо спочатку (1.7.11)

$\alpha = 1, \beta = 1 \; x_1 = x, \; \epsilon_{xx}^{\circ} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_{x}^{\circ}}{\partial x} + \frac{\partial u_{x}^{\circ}}{\partial x} \right) = \frac{\partial u_{x}^{\circ}}{\partial x}$

$\alpha = 2, \beta = 2 \; x_2 = y, \; \epsilon_{xx}^{\circ} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_{y}^{\circ}}{\partial y} + \frac{\partial u_{y}^{\circ}}{\partial y} \right) = \frac{\partial u_{y}^{\circ}}{\partial y}$

$\alpha = 1, \beta = 2 \; x_1 = x, x_2 = y, \; \epsilon_{xy}^{\circ} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_{x}^{\circ}}{\partial y} + \frac{\partial u_{y}^{\circ}}{\partial x} \right)$

$\epsilon_{yy}^{\circ}$ Компоненти $\epsilon_{xx}^{\circ}$ і позначають штами середньої поверхні пластини в $y$ напрямках $x$ і, шанобливо. Мембранні деформації обумовлені накладеними зміщеннями або силами мембрани, прикладеної до країв. У теорії малого прогину пластин навантаження поперечного тиску не призведе до деформацій мембрани. Навпаки, мембранні деформації дійсно розвиваються в теорії помірно великого прогину пластин внаслідок поперечного навантаження. Ця тема буде розглянута пізніше в розділі 6.

Третім компонентом тензора деформації є деформація зсуву в площині $\epsilon_{xy}^{\circ}$ . Вона являє собою зміну кутів в площині плити за рахунок навантаження на зсув по краях. Геометрична інтерпретація тензора деформації мембрани подібна до тієї, що наведена для тензора загальної деформації на малюнках (1.2.2) та (1.2.3).

Тензор кривизни $\kappa_{\alpha \beta}$ вимагає ретельного пояснення. Розглянемо нескінченно малий відрізок ds кривої і вписуємо в нього коло миттєвого радіуса ρ, Рисунок ( $\PageIndex{1}$ ). Тоді

$ds = \rho d\theta$

1.8.1.png — Малюнок $\PageIndex{1}$ : Зміна нахилу прямої між двома точками

Математично кривизна будь-якої лінії $\kappa$ - це зміна нахилу при русі по кривій

$\kappa \buildrel \rm {def} \over{=} \frac{d\theta }{ds} \label{1.8.5}$

Порівнюючи рівняння\ ref {1.8.5} з рівнянням (1.7.2), кривизна в $[ \frac{1}{m} ]$ є взаємністю радіуса кривизни $\kappa = \frac{1}{\rho}$ . Першою складовою тензора кривизни, визначеного рівнянням (1.7.10), є

$\alpha = 1, \beta = 1 \; x_1 = x \; \kappa_{xx} = -\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} = -\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial w}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial x} ( - \theta_{x})$

Це буде єдиною складовою тензора кривизни, якщо пластина піддається так званому циліндричному вигину.

1.8.2.png — Малюнок $\PageIndex{2}$ : (а) циліндричний вигин пластини, і (б) згинання з закруткою.

Інтерпретація $\kappa_{yy}$ складових тензора кривизни

$\alpha = 2, \beta = 2 \; x_2 = y \; \kappa_{yy} = -\frac{\partial^2 w}{\partial y^2} = -\frac{\partial}{\partial y} ( - \theta_{y})$

схоже, як і раніше. Більш цікавим є змішаний компонент тензора кривизни

$\alpha = 1, \beta = 2 \; x_1 = x, x_2 = y \; \kappa_{xy} = -\frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} = -\frac{\partial}{\partial y} ( - \theta_{x})$

Для виявлення $\kappa_{xy}$ потрібно перевірити, чи нахил в одному напрямку, скажімо, $\theta_x$ змінюється вздовж другого $y$ -напрямку. Це не для циліндричного вигину, рис. (1.4.2 (а)). Але якщо це відбувається, то пластина скручується, як показано на малюнку (1.4.2 (b)). Тому компонент $\kappa_{xy}$ називається твіст.

Важливим параметром, що відрізняє ці класи деформованої форми пластини, є гаусова кривизна, $\kappa_{G}$ . Гаусова кривизна визначається як добуток двох основних викривлень

$\kappa_{G} = \kappa_I\kappa_{II}$

Кривизна є тензором, тому її компоненти змінюються, обертаючи систему координат на кут $\psi$ до нового напрямку (x\ prime, y\ prime). Є один такий кут, $\psi_p$ при якому скручуються компоненти зникають. Решта діагональні складові називаються основною кривизною. Повне охоплення формул перетворення векторів і тензорів представлено в Recitation 2. Використовуючи ці результати, гауссова кривизна може бути виражена через складові тензора кривизни

$\kappa_{G} = \kappa_{xx} \kappa_{yy} − \kappa_{xy}^2$

Для циліндричного згинання скручування ρxy, а також одна з основних кривизн зникає так, що гаусова кривизна дорівнює нулю. Ознакою гауссовой кривизни розрізняють три види деформованої пластини: чаша, циліндр і сідло, рис. ( $\PageIndex{3}$ ).

1.8.3.png — Малюнок $\PageIndex{3}$ : Деформована пластина з трьома різними класами форм.

Розгляд гаусової кривизни вносить важливі спрощення у формулюванні та застосуванні енергетичного методу в будівельній механіці. Окрема лекція буде присвячена цій темі.