14.7: Проблеми

14.1. Три часто обговорювані трансформації дискретної симетрії:

Час розвороту$t \rightarrow \tilde{t} = (−1)^{\mathfrak{n}} t$ для цілого числа$\mathfrak{n}$

Парність$y \rightarrow \tilde{y} = (−1)^{\mathfrak{n}} y$ для цілого числа$\mathfrak{n}$

відмінювання заряду$y \rightarrow \tilde{y} = y^*$

Переконайтеся, що хвильове$\ddot{y} + \omega_0^2y = 0$ рівняння є інваріантним для кожного з цих дискретних перетворень.

14.2. Повторіть наведену вище задачу для рівняння$\ddot{y} + y^{-3} = 0$.

14.3. Рівняння Томаса Фермі дано за допомогою$\ddot{y} = y^{3/2}t^{-1/2}$.

(a) Переконайтеся, що він не є інваріантним при дискретному перетворенні симетрії часу,

$t \rightarrow \tilde{t} = (−1)^{\mathfrak{n}} t$для цілого числа$\mathfrak{n}$.

(b) Переконайтеся, що він не є інваріантним при дискретному перетворенні симетрії парності,

$y \rightarrow \tilde{y} = (−1)^{\mathfrak{n}} y$для цілого числа$\mathfrak{n}$.

(c) Переконайтеся, що він є інваріантним при перетворенні дискретної симетрії

$t \rightarrow \tilde{t} = (−1)^{\mathfrak{n}} t \quad \text{and} \quad y \rightarrow \tilde{y} = (−1)^{\mathfrak{n}} y$.

14.4. Знайти пролонгацію нескінченно малого генератора

$$U = \xi \partial_t + \eta \partial_y \nonumber$$

діючи на Лагранжа

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{y}^2 + \frac{1}{3}ty^{2}. \nonumber$$

Напишіть свою відповідь з точки зору$\xi$ і$\eta$, але ні$\eta^t$ або$\eta^{tt}$.

14.5. Знайти нескінченно малі генератори для рівняння,$\ddot{y} + y^{-3} = 0$. (Ця проблема обговорюється в [190].)

Відповідь:

$$U_1 = \partial_t \nonumber$$

$$U_2 = 2t\partial_t + y\partial_y \nonumber$$

$$U_3 = t^2\partial_t + ty\partial_y \nonumber$$

14.6. Рівняння$\ddot{y} + y^{-3} = 0$ має три нескінченно малі генератори, перераховані в задачі вище. Ці нескінченно малі генератори утворюють групу. Комутатор був визначений в Розділі 14.3.3, а комутатор будь-якої пари цих нескінченно малих генераторів можна обчислити за

$$[U_a, U_b] = U_aU_b - U_bU_a. \nonumber$$

Використовуючи рівняння вище, показати, що комутатор для кожної з трьох пар нескінченно малих генераторів призводить до іншого елемента групи.

14.7. Вивести нескінченно малі генератори для хвильового рівняння,$\ddot{y} + \omega_0^2y = 0$. (Ця проблема обговорюється в [191].)

Відповідь:

$$U_1 = \partial_t \nonumber$$

$$U_2 = y\partial_y \nonumber$$

$$U_3 = \sin (\omega_0t)\partial_y \nonumber$$

$$U_4 = \cos (\omega_0t)\partial_y \nonumber$$

$$U_5 = \sin (2\omega_0t)\partial_t + \omega_0y \cos (2\omega_0t) \partial_y \nonumber$$

$$U_6 = \cos (2\omega_0t) \partial_t − \omega_0y \sin (2\omega_0t) \partial_y \nonumber$$

$$U_7 = y \cos (\omega_0t) \partial_t − \omega_0y 2 \sin (\omega_0t) \partial_y \nonumber$$

$$U_8 = y \sin (\omega_0t) \partial_t + \omega_0y 2 \cos (\omega_0t) \partial_y \nonumber$$

14.8. Хвильове рівняння$\ddot{y} + \omega_0^2y = 0$ має вісім нескінченно малих генераторів, перерахованих у наведеній вище задачі. Відповідний лагранж - це

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{y}^2 + \frac{1}{2}\omega_0^2y^{2}. \nonumber$$

Знайдіть інваріанти, що відповідають наступним нескінченно малим генераторам.

(а)$U_1 = \partial_t$

(б)$U_3 = \sin (\omega_0t)\partial_y$

(c)$U_5 = \sin (2\omega_0t)\partial_t + \omega_0y \cos (2\omega_0t) \partial_y$

14.9. У задачі 11.8 ми зустріли рівняння, задане$\ddot{y} = g \sin y$ для константи$g$.

(а) Показати, що$U = \partial_t$ є нескінченно малим генератором цього рівняння.

(б) Показати, що$U = y\partial_y$ це не нескінченно малий генератор цього рівняння.

14.10. Лагранж

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{y}^2 + \frac{1}{2}y^{-2} \nonumber$$

відповідає рівнянню руху$\ddot{y} + y^{-3} = 0$. Це рівняння руху має три нескінченно малі генератори:

$$U_1 = \partial_t \nonumber$$

$$U_2 = 2t\partial_t + y\partial_y \nonumber$$

$$U_3 = t^2\partial_t + ty\partial_y \nonumber$$

Використовуйте теорему Нетер, щоб знайти інваріанти, які відповідають кожному з цих нескінченно малих генераторів. (Ми зіткнулися з цим Лагранж в проблемі 11.3.)