Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

14.7: Проблеми

  • Page ID
    29421
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    14.1. Три часто обговорювані трансформації дискретної симетрії:

    Час розвороту\(t \rightarrow \tilde{t} = (−1)^{\mathfrak{n}} t\) для цілого числа\(\mathfrak{n}\)

    Парність\(y \rightarrow \tilde{y} = (−1)^{\mathfrak{n}} y\) для цілого числа\(\mathfrak{n}\)

    відмінювання заряду\(y \rightarrow \tilde{y} = y^*\)

    Переконайтеся, що хвильове\(\ddot{y} + \omega_0^2y = 0\) рівняння є інваріантним для кожного з цих дискретних перетворень.

    14.2. Повторіть наведену вище задачу для рівняння\(\ddot{y} + y^{-3} = 0\).

    14.3. Рівняння Томаса Фермі дано за допомогою\(\ddot{y} = y^{3/2}t^{-1/2}\).

    (a) Переконайтеся, що він не є інваріантним при дискретному перетворенні симетрії часу,

    \(t \rightarrow \tilde{t} = (−1)^{\mathfrak{n}} t\)для цілого числа\(\mathfrak{n}\).

    (b) Переконайтеся, що він не є інваріантним при дискретному перетворенні симетрії парності,

    \(y \rightarrow \tilde{y} = (−1)^{\mathfrak{n}} y\)для цілого числа\(\mathfrak{n}\).

    (c) Переконайтеся, що він є інваріантним при перетворенні дискретної симетрії

    \(t \rightarrow \tilde{t} = (−1)^{\mathfrak{n}} t \quad \text{and} \quad y \rightarrow \tilde{y} = (−1)^{\mathfrak{n}} y\).

    14.4. Знайти пролонгацію нескінченно малого генератора

    \[U = \xi \partial_t + \eta \partial_y \nonumber \]

    діючи на Лагранжа

    \[\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{y}^2 + \frac{1}{3}ty^{2}. \nonumber \]

    Напишіть свою відповідь з точки зору\(\xi\) і\(\eta\), але ні\(\eta^t\) або\(\eta^{tt}\).

    14.5. Знайти нескінченно малі генератори для рівняння,\(\ddot{y} + y^{-3} = 0\). (Ця проблема обговорюється в [190].)

    Відповідь:

    \[U_1 = \partial_t \nonumber \]

    \[U_2 = 2t\partial_t + y\partial_y \nonumber \]

    \[U_3 = t^2\partial_t + ty\partial_y \nonumber \]

    14.6. Рівняння\(\ddot{y} + y^{-3} = 0\) має три нескінченно малі генератори, перераховані в задачі вище. Ці нескінченно малі генератори утворюють групу. Комутатор був визначений в Розділі 14.3.3, а комутатор будь-якої пари цих нескінченно малих генераторів можна обчислити за

    \[[U_a, U_b] = U_aU_b - U_bU_a. \nonumber \]

    Використовуючи рівняння вище, показати, що комутатор для кожної з трьох пар нескінченно малих генераторів призводить до іншого елемента групи.

    14.7. Вивести нескінченно малі генератори для хвильового рівняння,\(\ddot{y} + \omega_0^2y = 0\). (Ця проблема обговорюється в [191].)

    Відповідь:

    \[U_1 = \partial_t \nonumber \]

    \[U_2 = y\partial_y \nonumber \]

    \[U_3 = \sin (\omega_0t)\partial_y \nonumber \]

    \[U_4 = \cos (\omega_0t)\partial_y \nonumber \]

    \[U_5 = \sin (2\omega_0t)\partial_t + \omega_0y \cos (2\omega_0t) \partial_y \nonumber \]

    \[U_6 = \cos (2\omega_0t) \partial_t − \omega_0y \sin (2\omega_0t) \partial_y \nonumber \]

    \[U_7 = y \cos (\omega_0t) \partial_t − \omega_0y 2 \sin (\omega_0t) \partial_y \nonumber \]

    \[U_8 = y \sin (\omega_0t) \partial_t + \omega_0y 2 \cos (\omega_0t) \partial_y \nonumber \]

    14.8. Хвильове рівняння\(\ddot{y} + \omega_0^2y = 0\) має вісім нескінченно малих генераторів, перерахованих у наведеній вище задачі. Відповідний лагранж - це

    \[\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{y}^2 + \frac{1}{2}\omega_0^2y^{2}. \nonumber \]

    Знайдіть інваріанти, що відповідають наступним нескінченно малим генераторам.

    (а)\(U_1 = \partial_t \)

    (б)\(U_3 = \sin (\omega_0t)\partial_y \)

    (c)\(U_5 = \sin (2\omega_0t)\partial_t + \omega_0y \cos (2\omega_0t) \partial_y\)

    14.9. У задачі 11.8 ми зустріли рівняння, задане\(\ddot{y} = g \sin y\) для константи\(g\).

    (а) Показати, що\(U = \partial_t \) є нескінченно малим генератором цього рівняння.

    (б) Показати, що\(U = y\partial_y \) це не нескінченно малий генератор цього рівняння.

    14.10. Лагранж

    \[\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{y}^2 + \frac{1}{2}y^{-2} \nonumber \]

    відповідає рівнянню руху\(\ddot{y} + y^{-3} = 0\). Це рівняння руху має три нескінченно малі генератори:

    \[U_1 = \partial_t \nonumber \]

    \[U_2 = 2t\partial_t + y\partial_y \nonumber \]

    \[U_3 = t^2\partial_t + ty\partial_y \nonumber \]

    Використовуйте теорему Нетер, щоб знайти інваріанти, які відповідають кожному з цих нескінченно малих генераторів. (Ми зіткнулися з цим Лагранж в проблемі 11.3.)