14.7: Проблеми
- Page ID
- 29421
14.1. Три часто обговорювані трансформації дискретної симетрії:
Час розвороту\(t \rightarrow \tilde{t} = (−1)^{\mathfrak{n}} t\) для цілого числа\(\mathfrak{n}\)
Парність\(y \rightarrow \tilde{y} = (−1)^{\mathfrak{n}} y\) для цілого числа\(\mathfrak{n}\)
відмінювання заряду\(y \rightarrow \tilde{y} = y^*\)
Переконайтеся, що хвильове\(\ddot{y} + \omega_0^2y = 0\) рівняння є інваріантним для кожного з цих дискретних перетворень.
14.2. Повторіть наведену вище задачу для рівняння\(\ddot{y} + y^{-3} = 0\).
14.3. Рівняння Томаса Фермі дано за допомогою\(\ddot{y} = y^{3/2}t^{-1/2}\).
(a) Переконайтеся, що він не є інваріантним при дискретному перетворенні симетрії часу,
\(t \rightarrow \tilde{t} = (−1)^{\mathfrak{n}} t\)для цілого числа\(\mathfrak{n}\).
(b) Переконайтеся, що він не є інваріантним при дискретному перетворенні симетрії парності,
\(y \rightarrow \tilde{y} = (−1)^{\mathfrak{n}} y\)для цілого числа\(\mathfrak{n}\).
(c) Переконайтеся, що він є інваріантним при перетворенні дискретної симетрії
\(t \rightarrow \tilde{t} = (−1)^{\mathfrak{n}} t \quad \text{and} \quad y \rightarrow \tilde{y} = (−1)^{\mathfrak{n}} y\).
14.4. Знайти пролонгацію нескінченно малого генератора
\[U = \xi \partial_t + \eta \partial_y \nonumber \]
діючи на Лагранжа
\[\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{y}^2 + \frac{1}{3}ty^{2}. \nonumber \]
Напишіть свою відповідь з точки зору\(\xi\) і\(\eta\), але ні\(\eta^t\) або\(\eta^{tt}\).
14.5. Знайти нескінченно малі генератори для рівняння,\(\ddot{y} + y^{-3} = 0\). (Ця проблема обговорюється в [190].)
Відповідь:
\[U_1 = \partial_t \nonumber \]
\[U_2 = 2t\partial_t + y\partial_y \nonumber \]
\[U_3 = t^2\partial_t + ty\partial_y \nonumber \]
14.6. Рівняння\(\ddot{y} + y^{-3} = 0\) має три нескінченно малі генератори, перераховані в задачі вище. Ці нескінченно малі генератори утворюють групу. Комутатор був визначений в Розділі 14.3.3, а комутатор будь-якої пари цих нескінченно малих генераторів можна обчислити за
\[[U_a, U_b] = U_aU_b - U_bU_a. \nonumber \]
Використовуючи рівняння вище, показати, що комутатор для кожної з трьох пар нескінченно малих генераторів призводить до іншого елемента групи.
14.7. Вивести нескінченно малі генератори для хвильового рівняння,\(\ddot{y} + \omega_0^2y = 0\). (Ця проблема обговорюється в [191].)
Відповідь:
\[U_1 = \partial_t \nonumber \]
\[U_2 = y\partial_y \nonumber \]
\[U_3 = \sin (\omega_0t)\partial_y \nonumber \]
\[U_4 = \cos (\omega_0t)\partial_y \nonumber \]
\[U_5 = \sin (2\omega_0t)\partial_t + \omega_0y \cos (2\omega_0t) \partial_y \nonumber \]
\[U_6 = \cos (2\omega_0t) \partial_t − \omega_0y \sin (2\omega_0t) \partial_y \nonumber \]
\[U_7 = y \cos (\omega_0t) \partial_t − \omega_0y 2 \sin (\omega_0t) \partial_y \nonumber \]
\[U_8 = y \sin (\omega_0t) \partial_t + \omega_0y 2 \cos (\omega_0t) \partial_y \nonumber \]
14.8. Хвильове рівняння\(\ddot{y} + \omega_0^2y = 0\) має вісім нескінченно малих генераторів, перерахованих у наведеній вище задачі. Відповідний лагранж - це
\[\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{y}^2 + \frac{1}{2}\omega_0^2y^{2}. \nonumber \]
Знайдіть інваріанти, що відповідають наступним нескінченно малим генераторам.
(а)\(U_1 = \partial_t \)
(б)\(U_3 = \sin (\omega_0t)\partial_y \)
(c)\(U_5 = \sin (2\omega_0t)\partial_t + \omega_0y \cos (2\omega_0t) \partial_y\)
14.9. У задачі 11.8 ми зустріли рівняння, задане\(\ddot{y} = g \sin y\) для константи\(g\).
(а) Показати, що\(U = \partial_t \) є нескінченно малим генератором цього рівняння.
(б) Показати, що\(U = y\partial_y \) це не нескінченно малий генератор цього рівняння.
14.10. Лагранж
\[\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{y}^2 + \frac{1}{2}y^{-2} \nonumber \]
відповідає рівнянню руху\(\ddot{y} + y^{-3} = 0\). Це рівняння руху має три нескінченно малі генератори:
\[U_1 = \partial_t \nonumber \]
\[U_2 = 2t\partial_t + y\partial_y \nonumber \]
\[U_3 = t^2\partial_t + ty\partial_y \nonumber \]
Використовуйте теорему Нетер, щоб знайти інваріанти, які відповідають кожному з цих нескінченно малих генераторів. (Ми зіткнулися з цим Лагранж в проблемі 11.3.)