14.1: Прелюдія до аналізу брехні

У главі 11 ідеї обчислення варіацій були застосовані до процесів перетворення енергії. Ми почали з двох форм енергії і вивчали, як ці форми енергії змінювалися з варіацією в якомусь узагальненому шляху і деякому узагальненому потенціалі. Результатом стало рівняння руху, яке описувало варіацію узагальненого шляху. Рівняння руху мало форму збереження узагальненого потенціалу. У главі 12 закони збереження були перераховані в останньому рядку таблиць. Знання того, як форми енергії змінюються залежно від шляху та потенціалу, дають значну інформацію про процеси перетворення енергії. Мета цієї глави - показати, що ми можемо знайти симетрії, інваріанти та іншу інформацію про процес перетворення енергії, застосовуючи методи аналізу Лі до цього рівняння руху. Якщо можна ідентифікувати неперервні симетрії рівняння, часто можна отримати досить багато інформації, починаючи лише з рівняння.

Рівняння руху, що виникають в результаті обчислення варіацій, не завжди є лінійними. Може бути, а може бути неможливо вирішити нелінійне рівняння руху для шляху. Навіть у тих випадках, коли це можливо, часто буває досить складно, оскільки методики розв'язання нелінійних диференціальних рівнянь набагато менш розвинені, ніж методи для лінійних рівнянь. Крім того, багато нелінійних диференціальних рівнянь не мають розв'язків замкнутої форми. У цьому розділі ми побачимо систематичну методику отримання інформації з нелінійних диференціальних рівнянь, що походить від числення варіації. Методика відома як аналіз брехні, заснований на творі Софа Лі в кінці дев'ятнадцятого століття. Крім того, в цій главі представлена теорема Нетера. Використовуючи цю теорему та рівняння руху, ми можемо отримати збережені величини. Методи, розглянуті в цьому розділі, застосовуються навіть для нелінійних рівнянь.

Аналіз Лі - це систематична процедура ідентифікації неперервних симетрій рівняння. Якщо рівняння має безперервні симетрії, ми можемо знайти відповідні закони збереження. Деякі рівняння мають множинні симетрії та закони збереження, тоді як інші рівняння не містять жодних симетрій або законів збереження. Використовуючи цю процедуру з відомим узагальненим шляхом, ми можемо отримати збережені величини, навіть якщо спочатку не знаємо, як вибрати узагальнений потенціал. Деякі системи можуть навіть містити кілька збережених кількостей, і ця процедура дасть нам повний набір збережених кількостей.

Аналіз Лі був використаний для пошуку неперервних симетрій багатьох фундаментальних рівнянь фізики, і він був застосований як до класичних, так і до квантових механічних рівнянь. Довідники [164, с. 117] і [181] застосовують процедуру до рівняння тепловіддачі

\[\frac{dy}{dt} = \frac{d^2y}{dx^2} \nonumber \]

описуючи функцію\(y(t, x)\). Застосовується як до двовимірного хвильового рівняння [164, с. 123], так і до тривимірного хвильового рівняння [181]. Інші рівняння, аналізовані цією процедурою, включають рівняння Шредінгера [182] [183], рівняння Максвелла [184] [185] та рівняння нелінійної оптики [186].

Величезну кількість інформації можна отримати, дивлячись на симетрії рівнянь. Знання неперервних симетрій може дозволити нам розв'язувати рівняння або хоча б зменшити порядок диференціальних рівнянь [164]. Якщо ми можемо ідентифікувати симетрії, ми можемо спростити або прискорити числові обчислення, використовуючи відоме повторення у вигляді рішення. Якщо кілька рівнянь містять однакові елементи симетрії, ми можемо провести порівняння між рівняннями [164]. Ми можемо знайти інваріантні величини системи з відомих неперервних симетрій рівнянь. Сподіваємось, ця глава надасть оцінку кількості інформації, яку можна отримати від застосування аналізу симетрії до рівнянь руху, що описують процеси перетворення енергії.

Припущення і позначення

Методи цієї глави застосовуються до рівнянь руху, що є результатом опису процесів перетворення енергії шляхом обчислення варіацій. Вважається, що всі початкові рівняння руху мають лише одну незалежну та одну залежну змінну. Ці рівняння можуть бути лінійними, а можуть і не бути. Крім того, всі незалежні та залежні змінні вважаються чисто реальними. Ми зробили ті ж припущення в главі 11. Більшість прикладів у цьому розділі включають диференціальні рівняння другого порядку, оскільки багато процесів перетворення енергії, вивчені в главі 11, призвели до рівнянь руху, які були диференціальними рівняннями другого порядку. Однак ці методи застосовуються до алгебраїчних рівнянь та диференціальних рівнянь інших порядків.

У цьому розділі загальні похідні будуть позначені як\(\frac{dy}{dt}\) або\(\dot{y}\). Часткові похідні будуть позначені як\(\frac{\partial y}{\partial t}\) або\(\partial_ty\) для стенографії. Якщо величина\(y\) є лише функцією однієї незалежної змінної, немає підстав розрізняти повні та часткові похідні,\(\frac{dy}{dt} = \frac{\partial y}{\partial t}\). Рівняння руху в цьому розділі будуть включати одну незалежну і одну залежну змінну,\(y(t)\). Однак ми зіткнемося з функціоналами декількох незалежних змінних, таких як Лагранж\(\mathcal{L} = \mathcal{L}(t, y, \frac{dy}{dt})\). Для таких величин нам доведеться ретельно розрізняти повні і часткові похідні.

Аналіз тут жодним чином не математично суворий. Крім того, приклади в цьому розділі не є оригінальними. Посилання на літературу наведені нижче.

Ці методи узагальнюють до більш складних рівнянь. Вони застосовуються до рівнянь з декількома незалежними та декількома залежними змінними, і застосовуються, коли ці змінні є складними [164]. Також ці методи застосовуються до рівнянь з частинними похідними, а також звичайних похідних рівнянь, і вони навіть застосовуються до систем рівнянь [164]. Див. посилання [164] про те, як узагальнити методи, введені в цьому розділі, до інших ситуацій.