14.2: Типи симетрій

Дискретний проти безперервного

Цей розділ присвячений ідентифікації симетрій рівнянь. Ми говоримо, що рівняння містить симетрію, якщо рішення рівняння однакове як до, так і після перетворення симетрії застосовується. Хвильове рівняння задається

$$\frac{d^2y}{dt^2} + \omega_0^2y = 0 \nonumber$$

де$\omega_0$ константа. Коли$t$ представляє час,$\omega_0$ має одиниці частоти. Хвильове рівняння є інваріантним за дискретною симетрією

$$y \rightarrow \tilde y = -y. \nonumber$$

Це перетворення є симетрією, тому що коли всі$y$ в рівнянні перетворюються, отримане рівняння містить ті самі розв'язки, що і вихідне рівняння.

$$\begin{align} \frac{d^2 \tilde y}{dt^2} + \omega_0^2 \tilde y &= 0 \\[4pt] \frac{d^2 (-y)}{dt^2} + \omega_0^2(-y) &= 0 \\[4pt] \frac{d^2y}{dt^2} + \omega_0^2y &= 0 \end{align} \nonumber$$

Симетрії можна класифікувати як безперервні, так і дискретні. Безперервні симетрії можуть бути виражені у вигляді суми нескінченно малих симетрій, пов'язаних неперервним параметром. Дискретну симетрію не можна записати як суму нескінченно малих перетворень таким чином. Три часто обговорювані перетворення дискретної симетрії [187]:

• Час розвороту$t \rightarrow \tilde t =(-1)^{\mathfrak{n}} t$, для цілого числа$\mathfrak{n}$
• Парність$y \rightarrow \tilde y =(-1)^{\mathfrak{n}} y$, для цілого числа$\mathfrak{n}$
• Сполучення заряду$y \rightarrow \tilde y = y^*$, де$*$ позначає складний сполучений.

Наприклад, хвильове рівняння є інваріантним для кожної з цих трьох дискретних симетрій, оскільки розв'язки рівняння залишаються незмінними до і після виконання цих перетворень симетрії. Перетворення$t \rightarrow \tilde t = t + \varepsilon$, де$\varepsilon$ є неперервним параметром, який може бути нескінченно малим, є прикладом безперервного перетворення, оскільки його можна розділити на суму нескінченно малих симетрій. Як дискретна, так і неперервна симетрія може включати перетворення незалежної змінної, залежної змінної або обох змінних. У цьому розділі ми вивчимо систематичну процедуру ідентифікації неперервних симетрій рівняння, і далі не будемо розглядати дискретні симетрії.

Регулярний проти динамічного

Безперервні симетрії можна класифікувати як регулярні або динамічні. Регулярні неперервні симетрії передбачають перетворення незалежних змінних і залежних змінних. Динамічні симетрії передбачають перетворення незалежних змінних, залежних змінних та похідних залежних змінних [188]. (Деякі автори використовують термін узагальнені симетрії замість динамічних симетрій [164, с. 289].) Будуть розглянуті тільки правильні симетрії. Розглянуті тут прийоми узагальнюють до динамічних симетрій [164], але вони виходять за рамки цього тексту.

Геометричний проти негеометричного

Симетрії також можуть бути класифіковані як геометричні або негеометричні [184] [185]. Перетворення негеометричної симетрії передбачають прийняття перетворення Фур'є, виконання деякого перетворення змінних, а потім зворотне перетворення Фур'є. Отримані перетворення є симетріями, якщо рішення розглянутого рівняння однакові до і після відбуваються перетворень. Негеометричні симетрії можуть бути записані як функції нескінченно малого параметра, але не є неперервними. Негеометричні симетрії тут не обговорюватимуться і також виходять за рамки цього тексту.