14.5: Інваріанти

важливість інваріантів

Теорема Нетера описує зв'язок між неперервними симетріями рівняння, що описує процес перетворення енергії, та інваріантами системи. Теорема була спочатку відкрита Нетером близько 1918 року [165] [166]. Важливість цієї теореми описана у вступі до англійського перекладу оригінальної статті [165]. «Добре відома теорема Еммі Нетера відіграє важливу роль у багатьох галузях теоретичної фізики. Оскільки він забезпечує прямий зв'язок між законами збереження фізичної теорії та інваріанціями варіаційного інтеграла, рівняння Ейлера-Лагранжа якого є рівняннями цієї теорії, можна сказати, що теорема Нетера поставила формулювання Лагранжа в положення першості. «

Теорема Нетер

Розглянемо процес перетворення енергії з відомим Лагранжа, який задовольняє рівнянню Ейлера-Лагранжа. Припустимо, що ми ідентифікували неперервні симетрії, описані нескінченно малими генераторами. Теорема Нетера говорить, що існує зв'язок між цими безперервними симетріями та законами збереження, які говорять про те, що певна кількість є інваріантним. Ми хотіли б знайти відповідні закони збереження та інваріанти. Якщо ми зможемо знайти кількість\(G\), яка задовольняє,

\[\frac{dG}{dt} = pr^{(\mathfrak{n})}U\mathcal{L} + \mathcal{L}\frac{d\xi}{dt}, \label{14.5.1} \]

то кількість

\[\Upsilon=\eta \frac{d \mathcal{L}}{d \dot{y}}+\xi \mathcal{L}-\xi \dot{y} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}-G \label{14.5.2} \]

є інваріантом. Для Лагранж з одиницями джоулів кількість\(G\) також має одиниці джоулів. У Equation\ ref {14.5.1}\(pr^{(\mathfrak{n})}U\mathcal{L}\) - це подовження нескінченно малого генератора, що діє на Лагранжа, де пролонгація була визначена у рівнянні 14.4.3.

Виведення теореми Нетера

Ми можемо вивести цю форму теореми Нетера, і ця деривація уважно стежить за чітким і спрощеним похідним у посиланні [192]. Ця теорема деталізована і виведена більш суворо в безлічі інших посилань [163, с. 208] [164]. Для цієї похідної припустимо, що ми починаємо з рівняння руху, яке є не більше диференціальним рівнянням другого порядку. Однак ідеї узагальнюються і до рівнянь вищого порядку. Крім того, припустимо, ми знаємо відповідний Лагранж форми\(\mathcal{L} = \mathcal{L}(t, y, \dot{y})\). Загальний підхід полягає в тому, щоб припустити, що ми можемо знайти значення,\(G\) визначене Equation\ ref {14.5.1}. Ми виконаємо деяку алгебру на Equation\ ref {14.5.1}, щоб показати, що вибір\(G\) обов'язково означає, що\(\Upsilon\) це інваріантний.

Використовуйте визначення пролонгації для написання Equation\ ref {14.5.1} в терміні\(\xi\) і\(\eta\).

\[pr^{(\mathfrak{n})}U = \xi \partial_t + \eta \partial_y + \eta^t \partial_{\dot{y}} \nonumber \]

Для диференціального рівняння другого порядку більше не потрібні члени, оскільки Лагранж залежить, щонайбільше, від першої похідної\(\dot{y}\). Підставити пролонгацію, що діє на Лагранжа, на рівняння\ ref {14.5.1}.

\[\frac{dG}{dt} = [ \xi \partial_t \mathcal{L} + \eta \partial_y \mathcal{L} + \eta^t \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}] + \frac{d\xi}{dt} \mathcal{L} \label{14.5.4} \]

Розглянемо безперервне перетворення, описане

\[t \rightarrow \tilde{t} = (1 + \varepsilon \xi + \varepsilon^2 \ldots) t \nonumber \]

і

\[y \rightarrow \tilde{y} = (1 + \varepsilon \eta + \varepsilon^2 \ldots) y \nonumber \]

в ліміті\(\varepsilon \rightarrow 0\). Лагранж\(\mathcal{L} (t, y, \dot{y}) \) процесу перетворення енергії являє собою різницю між двома формами енергії. Лагранж\(\mathcal{L} (\tilde{t}, \tilde{y}, \dot{\tilde{y}}) \) являє собою різницю між двома формами енергії при безперервному перетворенні симетрії, описаному нескінченно малим генератором\(U\). Якісно величина\(\frac{dG}{dt}\) являє\(\mathcal{L} \frac{d\tilde{t}}{dt}\) собою зміну щодо\(\varepsilon\) цієї межі [192].

\[\frac{dG}{dt} = \frac{\partial}{\partial \varepsilon} \left[\mathcal{L} (\tilde{t}, \tilde{y}, \dot{\tilde{y}} \frac{d\tilde{t}}{dt}\right] \nonumber \]

Використовуйте Eq. 14.4.4 для заміни\(\eta^t\) у рівнянні\ ref {14.5.4}.

\[\eta^{t}=\frac{d}{d t}(\eta-\xi \dot{y})+\xi \ddot{y} \nonumber \]

\[\eta^{t}=\dot{\eta}-\dot{\xi} \dot{y}-\xi \ddot{y}+\ddot{y}=\dot{\eta}-\dot{y} \dot{\xi} \nonumber \]

\[\frac{d G}{d t}=\left[\xi \partial_{t} \mathcal{L}+\eta \partial_{y} \mathcal{L}+(\dot{\eta}-\dot{y} \dot{\xi}) \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right]+\dot{\xi} \mathcal{L} \nonumber \]

Ми хочемо висловити правий бік як загальна похідна деякої кількості, яку ми називаємо\(G\). За допомогою деякої алгебри ми можемо записати це як загальну похідну. Ми будемо використовувати визначення загальної похідної.

\[\frac{d \mathcal{L}}{d t}=\partial_{t} \mathcal{L}+\dot{y} \partial_{y} \mathcal{L}+\ddot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L} \nonumber \]

\[\partial_{t} \mathcal{L}=\dot{\mathcal{L}}-\dot{y} \partial_{y} \mathcal{L}-\ddot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L} \nonumber \]

\[\frac{d}{d t}\left(\eta \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)=\dot{\eta} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}+\eta \frac{d}{d t}\left(\partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right) \nonumber \]

\[\dot{\eta} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}=\frac{d}{d t}\left(\eta \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)-\eta \frac{d}{d t}\left(\partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right) \nonumber \]

\[\frac{d}{d t}\left(\xi \dot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)=\dot{\xi} \dot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}+\xi \ddot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}+\xi \dot{y} \frac{d}{d t} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L} \nonumber \]

\[\dot{\xi} \dot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}=\frac{d}{d t}\left(\xi \dot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)-\xi \ddot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}-\xi \dot{y} \frac{d}{d t} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L} \nonumber \]

Використовуйте ці шматки для заміни термінів\(\frac{dG}{dt}\) у дужках.

\[\frac{d G}{d t}= [\xi \partial_{t} \mathcal{L}] +\eta \partial_{y} \mathcal{L}+ [\dot{\eta} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}] - [\dot{y}\dot{\xi}\partial_{\dot{y}} \mathcal{L}]+ \dot{\xi} \mathcal{L} \nonumber \]

\[\frac{d G}{d t}= \xi\left[\dot{\mathcal{L}}-\dot{y} \partial_{y} \mathcal{L}-\ddot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right]+\eta \partial_{y} \mathcal{L}+\left[\frac{d}{d t}\left(\eta \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)-\eta \frac{d}{d t}\left(\partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)\right] -\left[\dot{y} \dot{\xi} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right]+\dot{\xi} \mathcal{L} \nonumber \]

\[\frac{d G}{d t}= \xi\left[\dot{\mathcal{L}}-\dot{y} \partial_{y} \mathcal{L}-\ddot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right]+\eta \partial_{y} \mathcal{L}+\left[\frac{d}{d t}\left(\eta \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)-\eta \frac{d}{d t}\left(\partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)\right] - \left[\frac{d}{dt} (\dot{\xi} \dot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}) - \xi \ddot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L} - \xi \dot{y} \frac{d}{dt} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right] +\dot{\xi} \mathcal{L} \nonumber \]

Два терміни скасовують.

\[\frac{d G}{d t} = \xi\dot{\mathcal{L}} - \xi\dot{y} \partial_{y} \mathcal{L} +\eta \partial_{y} \mathcal{L}+ \frac{d}{d t}\left(\eta \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)-\eta \frac{d}{d t}\left(\partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right) - \frac{d}{dt} (\dot{\xi} \dot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}) + \xi \dot{y} \frac{d}{dt} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L} +\dot{\xi} \mathcal{L} \nonumber \]

Перегрупувати умови.

\[\frac{d G}{d t}=\left(\partial_{y} \mathcal{L}-\frac{d}{d t} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)(\eta-\dot{y} \xi) +\left[(\xi \dot{\mathcal{L}}+\mathcal{L} \dot{\xi})+\frac{d}{d t}\left(\eta \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)-\frac{d}{d t}\left(\xi \dot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)\right] \nonumber \]

Перший член в дужках дорівнює нулю, оскільки Лагранжа\(\mathcal{L}\) задовольняє рівнянню Ейлера-Лагранжа.

\[\frac{dG}{dt} = \frac{d}{dt} (\xi \mathcal{L} + (\eta \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}) − (\xi \dot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L})) \nonumber \]

\[\frac{d}{dt}[\xi \mathcal{L} + (\eta \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}) − (\xi \dot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}) − G] = 0 \nonumber \]

Тому, якщо нам вдасться знайти\(G\), то величина в дужках\(\Upsilon\) повинна бути інваріантної.

\[\Upsilon = \xi \mathcal{L} + (\eta \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}) − (\xi \dot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}) − G = \text{invariant} \nonumber \]

Приклад інваріантів лінійного рівняння

Давайте застосуємо теорему Нетера до деяких прикладів. Спочатку розглянемо лінійне рівняння,\(\ddot{y} = 0\) яке є результатом застосування варіаційного числення з Лагранжа

\[\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{y}^2. \nonumber \]

Безперервна симетрія цього рівняння описується нескінченно малим генератором\(U = \partial_y\) з\(\xi = 0\) і\(\eta = 1\). Пролонгація генератора, що діє на Лагранжа, дорівнює нулю.

\[pr^{(\mathfrak{n})}U\mathcal{L} = \eta^t\dot{y} = \dot{y} \left(\frac{d\eta}{dt}\right) = 0 \nonumber \]

Використовуючи Equation\ ref {14.5.1}, ми бачимо це\(G = 0\).

\[\frac{dG}{dt} = 0 + \mathcal{L} \cdot 0 = 0 \nonumber \]

Далі використовуйте Equation\ ref {14.5.2}, щоб знайти інваріант.

\[\Upsilon = \eta\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} = \dot{y} \nonumber \]

Якісно\(\dot{y}\) представляє нахил прямої, тому цей інваріант говорить нам про те, що нахил розв'язків до рівняння прямої повинен бути постійним.

Інша безперервна симетрія цього рівняння описується нескінченно малим генератором\(U = t\partial_y\) з\(\xi = 0\) і\(\eta = t\). Ми можемо вирішити для пролонгації генератора, що діє на Лагранжа.

\[pr^{(\mathfrak{n})}U\mathcal{L} = \eta^t\dot{y} = \dot{y} \left(\frac{d}{dt}(t − 0) + 0 \right) = \dot{y}\nonumber \]

Ми можемо знайти\(G\) за допомогою Equation\ ref {14.5.1}, і ми можемо знайти інваріант за допомогою Equation\ ref {14.5.2}.

\[\frac{dG}{dt} = \dot{y} + \frac{1}{2}\dot{y}^2 \cdot 0 = \dot{y} \nonumber \]

\[G = y \nonumber \]

\[\Upsilon = y - t\dot{y} \nonumber \]

Якісно цей інваріант представляє y-перехоплення прямої, тому цей інваріант говорить нам про те, що y-перехоплення розв'язку рівняння прямої має бути постійним.

Приклад інваріантів рівняння маятника

Розглянемо рівняння, що описує маятник, вивчене в задачі 11.8. Процес перетворення енергії описується Лагранж

\[\mathcal{L} = \frac{1}{2}m\dot{y}^2 - mg \cos y \nonumber \]

що відповідає рівнянню руху

\[\ddot{y} = g \sin y. \nonumber \]

У цих рівняннях\(m\) представлена маса, а\(g\) являє собою гравітаційні константи. Обидва\(m\) і\(g\) тут передбачаються постійними. Це рівняння руху має лише одну безперервну симетрію, описану нескінченно малим генератором (U =\ partial_t\) з\(\xi = 1\) і\(\eta = 0\). Ми можемо використовувати теорему Нетера, щоб знайти відповідний інваріант.

Використовуйте рівняння\ ref {14.5.1} для пошуку\(G\).

\[\frac{dG}{dt} = pr^{(\mathfrak{n})}U\mathcal{L} + \mathcal{L} \frac{d\xi}{dt} \nonumber \]

\[\frac{dG}{dt} = \eta^tm\dot{y} + \eta mg \sin y + \mathcal{L} \frac{d\xi}{dt} \nonumber \]

\[\frac{dG}{dt} = \eta^tm\dot{y} = \dot{y}m \left(\frac{d}{dt} (\eta - \xi\dot{y}) + \xi\ddot{y} \right) \nonumber \]

\[\frac{dG}{dt} = \dot{y}m \left(-\frac{d\xi}{dt}\dot{y} - \xi\ddot{y} + \xi\ddot{y} \right) = 0 \nonumber \]

\[G = 0 \nonumber \]

Використовуйте Equation\ ref {14.5.2}, щоб знайти інваріант.

\[\Upsilon = \eta\dot{y} + \xi \mathcal{L} - \xi m\dot{y}\dot{y} - 0 \nonumber \]

\[\Upsilon = \frac{1}{2} m\dot{y}^2 - mg \cos y - m\dot{y}^2 \nonumber \]

\[\Upsilon = \frac{-1}{2} m\dot{y}^2 - gm \cos y \nonumber \]

Кількість\(\Upsilon\) зберігається, і саме гамільтоніан представляє загальну енергію.

Всякий раз, коли Лагранж явно не залежить від\(t\), система містить безперервну симетрію, описану нескінченно малим генератором\(U = \partial_t\). Цей нескінченно малий генератор має\(\xi = 1\) і\(\eta = 0\). З Рівняння\ ref {14.5.1},\(G\) має бути нулем. З Рівняння\ ref {14.5.2} відповідний інваріант має вигляд

\[\Upsilon = \mathcal{L} - m\dot{y}\dot{y} \nonumber \]

який має величину загальної енергії (якщо припустити t - час). Це рівняння дорівнює гамільтоніану ур. 11.3.16. Тому, якщо рівняння руху містить симетрію\(\partial_t\), енергія зберігається.