Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

13.6: Проблеми

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    29460

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    13.1. Узагальнений імпульс визначається як

    \[\mathbb{M} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\frac{dV}{dr}\right)}.\nonumber \]

    (а) Знайти узагальнений імпульс для системи, описаної Лагранжа рівняння 13.3.51.

    (b) Узагальнений імпульс не має одиниць імпульсу. Визначте одиниці цього узагальненого імпульсу.

    (c) Написати гамільтоніан рівняння 13.3.50 як функцію\(r\)\(V\),\(\mathbb{M}\) а не як функцію\(\frac{dV}{dr}\).

    (d) Запишіть рівняння Лагранжа 13.3.51 як функцію\(r\)\(V\),\(\mathbb{M}\) а не як функцію dV dr.

    (e) Показати, що гамільтоніан і Лагранж, знайдені вище, задовольняють рівнянню\(H = \mathbb{M} \frac{dV}{dr} − \mathcal{L}\).

    13.2. При аналізі цієї глави був обраний узагальнений шлях\(V\) і обраний узагальнений потенціал як\(\rho_{ch}\). Протилежний вибір також можливий там, де узагальнений шлях\(\rho_{ch}\) і узагальнений потенціал\(V\).

    (а) Напишіть гамільтоніан рівняння 13.3.50 як функції\(\rho_{ch}\) замість\(V\), тому він має вигляд\(H (r, \rho_{ch}, \frac{d\rho_{ch}}{dr})\).

    (b) Повторіть вищезазначене для рівняння Лагранжа 13.3.51.

    (c) Знайти рівняння Ейлера-Лагранжа\(\rho_{ch}\), використовуючи як узагальнений шлях.

    13.3. Переконайтеся, що\[y = \frac{144}{\mathrm{t}^3}\nonumber \] це рішення рівняння Томаса Фермі [46].

    (Хоча це рішення задовольняє рівнянню Томаса Фермі, воно не є корисним для опису енергії атома. В\(\mathrm{t} \rightarrow 0\) межі це рішення наближається до нескінченності,\(y(0) \rightarrow \infty\). Однак в\(\mathrm{t} \rightarrow 0\) межі рішення має наближатися до константи\(y(0) \rightarrow 1\), щоб правильно описати фізичну поведінку атома [180].)

    13.4. Попередня задача обговорювалася, що\[y = \frac{144}{\mathrm{t}^3}\nonumber \] є розв'язком рівняння Томаса Фермі. Покажіть, що\[y = \frac{72}{\mathrm{t}^3}\nonumber \] це не рішення.

    13.5. Доведіть, що рівняння Томаса Фермі є нелінійним.