13.6: Проблеми

13.1. Узагальнений імпульс визначається як

$$\mathbb{M} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\frac{dV}{dr}\right)}.\nonumber$$

(а) Знайти узагальнений імпульс для системи, описаної Лагранжа рівняння 13.3.51.

(b) Узагальнений імпульс не має одиниць імпульсу. Визначте одиниці цього узагальненого імпульсу.

(c) Написати гамільтоніан рівняння 13.3.50 як функцію$r$$V$,$\mathbb{M}$ а не як функцію$\frac{dV}{dr}$.

(d) Запишіть рівняння Лагранжа 13.3.51 як функцію$r$$V$,$\mathbb{M}$ а не як функцію dV dr.

(e) Показати, що гамільтоніан і Лагранж, знайдені вище, задовольняють рівнянню$H = \mathbb{M} \frac{dV}{dr} − \mathcal{L}$.

13.2. При аналізі цієї глави був обраний узагальнений шлях$V$ і обраний узагальнений потенціал як$\rho_{ch}$. Протилежний вибір також можливий там, де узагальнений шлях$\rho_{ch}$ і узагальнений потенціал$V$.

(а) Напишіть гамільтоніан рівняння 13.3.50 як функції$\rho_{ch}$ замість$V$, тому він має вигляд$H (r, \rho_{ch}, \frac{d\rho_{ch}}{dr})$.

(b) Повторіть вищезазначене для рівняння Лагранжа 13.3.51.

(c) Знайти рівняння Ейлера-Лагранжа$\rho_{ch}$, використовуючи як узагальнений шлях.

13.3. Переконайтеся, що

$$y = \frac{144}{\mathrm{t}^3}\nonumber$$ це рішення рівняння Томаса Фермі [46].

(Хоча це рішення задовольняє рівнянню Томаса Фермі, воно не є корисним для опису енергії атома. В$\mathrm{t} \rightarrow 0$ межі це рішення наближається до нескінченності,$y(0) \rightarrow \infty$. Однак в$\mathrm{t} \rightarrow 0$ межі рішення має наближатися до константи$y(0) \rightarrow 1$, щоб правильно описати фізичну поведінку атома [180].)

13.4. Попередня задача обговорювалася, що

$$y = \frac{144}{\mathrm{t}^3}\nonumber$$ є розв'язком рівняння Томаса Фермі. Покажіть, що $$y = \frac{72}{\mathrm{t}^3}\nonumber$$ це не рішення.

13.5. Доведіть, що рівняння Томаса Фермі є нелінійним.