13.2: Попередні ідеї

Похідні та інтеграли векторів у сферичних координатах

Виведення рівняння Томаса Фермі включає похідні векторів у сферичних координатах. Детальніше про похідні та вектори див. [11, гл. 1]. Розглянемо скалярну функцію, описану в сферичних координатах,

\[V=V(\overrightarrow{r})=V(r, \theta, \phi). \nonumber \]

Визначено\(V (r, \theta, \phi)\) градієнт

\[\overrightarrow{\nabla} V=\frac{\partial V}{\partial r} \hat{a}_{r}+\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial \theta} \hat{a}_{\theta}+\frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial V}{\partial \phi} \hat{a}_{\phi}. \nonumber \]

Градієнт був введений в Розділі 1.6.1. Він повертає вектор, який вказує у напрямку найбільшої зміни функції. Лаплакіан визначається в сферичних координатах як

\[\nabla^{2} V=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial V}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial V}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2} V}{\partial \phi^{2}}. \nonumber \]

Якісно лапласиан скаляра є другою похідною щодо просторового положення. У похідних цієї глави ми стикаємося лише з функціями, які є однорідними по відношенню до\(\theta\) і\(\phi\). Для функцій форми\(V = V (r)\) формули для градієнта та лапласа значно спрощують.

\[\overrightarrow{\nabla} V=\frac{\partial V}{\partial r} \hat{a}_{r} \nonumber \]

\[\nabla^{2} V=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial V}{\partial r}\right) \nonumber \]

Нам також знадобиться векторна ідентичність Рівняння 1.6.8,

\[\nabla^{2} V=\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{\nabla} V. \nonumber \]

Диференціальний об'ємний елемент у сферичних координатах задається

\[d \mathbb{V}=r^{2} \sin \theta \;d r \;d \theta \;d \phi. \nonumber \]

Позначається об'ємний інтеграл функції\(V (r, \theta, \phi)\) над сферою радіуса 1, центрованої у початку координат

\[\int_{r=0}^{1} \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{\phi=0}^{2 \pi} V(r, \theta, \phi) r^{2} \sin \theta \;d r \;d \theta \;d \phi. \nonumber \]

Припускаючи, що\(V\) не залежить від\(\theta\) або\(\phi\), інтеграл є відокремлюваним.

\[\left(\int_{\theta=0}^{\pi} \int_{\phi=0}^{2 \pi} \sin \theta \;d \theta \;d \phi\right) \int_{r=0}^{1} V(r) r^{2} d r=4 \pi \int_{r=0}^{1} V(r) r^{2} d r \nonumber \]

Сфера радіуса\(r\) має об'єм\(\frac{4}{3}\pi r^3\).

Позначення

Написання цього тексту без перевантаження змінних було складним завданням. Наприклад,\(V\) є логічним вибором для позначення напруги, обсягу і швидкості. До цих пір контекст пропонував підказки до значення символів. Однак у цьому розділі ми зустрінемо рівняння, що включають як енергію, так і електричне поле, рівняння, що включають як напругу, так і об'єм, і рівняння, що включають як масу, так і імпульс. Щоб уникнути плутанини з позначеннями, в таблиці\(\PageIndex{1}\) наведено уривок зі списку змінних з Додатка А. У цій таблиці перераховані не всі величини, з якими ми зіткнемося. Однак він виділяє деякі з більш заплутаних.

У цьому розділі ми зіткнемося з багатьма величинами, які змінюються залежно від положення. Ми не зіткнемося з будь-якими величинами, які змінюються з часом. Тому напруга позначається великою літерою, а не малою літерою. Напруга є функцією\(r\), яка позначає положення в сферичних координатах. Припустимо, що початок системи координат знаходиться в центрі розглянутого атома. Напруга завжди вказується щодо якогось еталонного рівня, званого землею, тому припустимо, що цей нульовий рівень опорного вольта відбувається на\(r = \infty\). Також припустимо, що немає\(\theta\) або\(\phi\) залежність напруги. Тому\(V (\overrightarrow{r}) = V (r)\) являє собою напругу.

Таблиця\(\PageIndex{1}\): список змінних.

Символ	Кількість	Одиниці SI	С/В/С	Коментарі
\(E\)	Енергія	Дж = Нм	S
\(\overrightarrow{E}\)	Напруженість електричного поля	\(\frac{V}{m}\)	V
\(E_f\)	Енергетичний рівень Фермі	J	S	Також називається рівнем Фермі
\(\vec{k}\)	Векторне зображення хвиля	\(m^{-1}\)	V
\(k_f\)	Векторне зображення хвилі Фермі	\(m^{-1}\)	S
\(m\)	Маса	кг	S
\(\mathbb{M}\)	Узагальнений імпульс	*	S	Багато авторів використовують\(p\)
\(\overrightarrow{M}\)	Імпульс	\(\frac{kg \cdot m}{s}\)	V	Багато авторів використовують\(\overrightarrow{p}\)
\(N\)	(Загальна) кількість електронів на атом	\(\frac{\text{elections}}{\text{atom}}\)	S
\(v\)	Напруга (змінного струму або змінного часу)	V	S
\(\vec{v}\)	Швидкість	\(\frac{m}{s}\)	V
\(V\)	Напруга (DC)	V	S
\(\mathbb{V}\)	Обсяг	\(m^3\)	S
\(\mu_{chem}\)	Хімічний потенціал	\(\frac{J}{\text{atom}}\)	S
\(\rho_{ch}\)	Щільність заряду	\(\frac{C}{m^3}\)	S

Взаємні космічні концепції

Ідея взаємного простору була введена в Розділі 6.3 в розрізі кристалічних матеріалів. Ми можемо описати розташування атомів у кристалі, наприклад, як функцію положення, де положення\(\overrightarrow{r}\) вимірюється в метрах. У цьому розділі нас цікавлять окремі атоми замість кристалів, що складаються з багатьох атомів. Ми можемо побудувати величини, такі як енергія\(E (\overrightarrow{r})\) або напруга,\(V (\overrightarrow{r})\) як функція положення. Рисунок 6.4.2, наприклад, відображає енергію проти положення всередині діода. У розділі 6.3\(m^{-1}\) була введена ідея хвильового вектора\(\overrightarrow{k}\) в одиницях. Хвильовий вектор представляє просторову частоту. Ми побачили, що ми можемо побудувати енергію або інші величини як функцію хвильового вектора, і рис. 6.3.1 є прикладом такої ділянки. Нам знадобиться ідея хвильового вектора в цьому розділі, тому що ми описуємо ситуацію, коли ми не знаємо, як енергія змінюється залежно від положення, але ми знаємо щось про те, як енергія змінюється залежно від хвильового вектора.