13.2: Попередні ідеї

Похідні та інтеграли векторів у сферичних координатах

Виведення рівняння Томаса Фермі включає похідні векторів у сферичних координатах. Детальніше про похідні та вектори див. [11, гл. 1]. Розглянемо скалярну функцію, описану в сферичних координатах,

$$V=V(\overrightarrow{r})=V(r, \theta, \phi). \nonumber$$

Визначено$V (r, \theta, \phi)$ градієнт

$$\overrightarrow{\nabla} V=\frac{\partial V}{\partial r} \hat{a}_{r}+\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial \theta} \hat{a}_{\theta}+\frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial V}{\partial \phi} \hat{a}_{\phi}. \nonumber$$

Градієнт був введений в Розділі 1.6.1. Він повертає вектор, який вказує у напрямку найбільшої зміни функції. Лаплакіан визначається в сферичних координатах як

$$\nabla^{2} V=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial V}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial V}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2} V}{\partial \phi^{2}}. \nonumber$$

Якісно лапласиан скаляра є другою похідною щодо просторового положення. У похідних цієї глави ми стикаємося лише з функціями, які є однорідними по відношенню до$\theta$ і$\phi$. Для функцій форми$V = V (r)$ формули для градієнта та лапласа значно спрощують.

$$\overrightarrow{\nabla} V=\frac{\partial V}{\partial r} \hat{a}_{r} \nonumber$$

$$\nabla^{2} V=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial V}{\partial r}\right) \nonumber$$

Нам також знадобиться векторна ідентичність Рівняння 1.6.8,

$$\nabla^{2} V=\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{\nabla} V. \nonumber$$

Диференціальний об'ємний елемент у сферичних координатах задається

$$d \mathbb{V}=r^{2} \sin \theta \;d r \;d \theta \;d \phi. \nonumber$$

Позначається об'ємний інтеграл функції$V (r, \theta, \phi)$ над сферою радіуса 1, центрованої у початку координат

$$\int_{r=0}^{1} \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{\phi=0}^{2 \pi} V(r, \theta, \phi) r^{2} \sin \theta \;d r \;d \theta \;d \phi. \nonumber$$

Припускаючи, що$V$ не залежить від$\theta$ або$\phi$, інтеграл є відокремлюваним.

$$\left(\int_{\theta=0}^{\pi} \int_{\phi=0}^{2 \pi} \sin \theta \;d \theta \;d \phi\right) \int_{r=0}^{1} V(r) r^{2} d r=4 \pi \int_{r=0}^{1} V(r) r^{2} d r \nonumber$$

Сфера радіуса$r$ має об'єм$\frac{4}{3}\pi r^3$.

Позначення

Написання цього тексту без перевантаження змінних було складним завданням. Наприклад,$V$ є логічним вибором для позначення напруги, обсягу і швидкості. До цих пір контекст пропонував підказки до значення символів. Однак у цьому розділі ми зустрінемо рівняння, що включають як енергію, так і електричне поле, рівняння, що включають як напругу, так і об'єм, і рівняння, що включають як масу, так і імпульс. Щоб уникнути плутанини з позначеннями, в таблиці$\PageIndex{1}$ наведено уривок зі списку змінних з Додатка А. У цій таблиці перераховані не всі величини, з якими ми зіткнемося. Однак він виділяє деякі з більш заплутаних.

У цьому розділі ми зіткнемося з багатьма величинами, які змінюються залежно від положення. Ми не зіткнемося з будь-якими величинами, які змінюються з часом. Тому напруга позначається великою літерою, а не малою літерою. Напруга є функцією$r$, яка позначає положення в сферичних координатах. Припустимо, що початок системи координат знаходиться в центрі розглянутого атома. Напруга завжди вказується щодо якогось еталонного рівня, званого землею, тому припустимо, що цей нульовий рівень опорного вольта відбувається на$r = \infty$. Також припустимо, що немає$\theta$ або$\phi$ залежність напруги. Тому$V (\overrightarrow{r}) = V (r)$ являє собою напругу.

Таблиця$\PageIndex{1}$: список змінних.

Символ	Кількість	Одиниці SI	С/В/С	Коментарі
$E$	Енергія	Дж = Нм	S
$\overrightarrow{E}$	Напруженість електричного поля	$\frac{V}{m}$	V
$E_f$	Енергетичний рівень Фермі	J	S	Також називається рівнем Фермі
$\vec{k}$	Векторне зображення хвиля	$m^{-1}$	V
$k_f$	Векторне зображення хвилі Фермі	$m^{-1}$	S
$m$	Маса	кг	S
$\mathbb{M}$	Узагальнений імпульс	*	S	Багато авторів використовують$p$
$\overrightarrow{M}$	Імпульс	$\frac{kg \cdot m}{s}$	V	Багато авторів використовують$\overrightarrow{p}$
$N$	(Загальна) кількість електронів на атом	$\frac{\text{elections}}{\text{atom}}$	S
$v$	Напруга (змінного струму або змінного часу)	V	S
$\vec{v}$	Швидкість	$\frac{m}{s}$	V
$V$	Напруга (DC)	V	S
$\mathbb{V}$	Обсяг	$m^3$	S
$\mu_{chem}$	Хімічний потенціал	$\frac{J}{\text{atom}}$	S
$\rho_{ch}$	Щільність заряду	$\frac{C}{m^3}$	S

Взаємні космічні концепції

Ідея взаємного простору була введена в Розділі 6.3 в розрізі кристалічних матеріалів. Ми можемо описати розташування атомів у кристалі, наприклад, як функцію положення, де положення$\overrightarrow{r}$ вимірюється в метрах. У цьому розділі нас цікавлять окремі атоми замість кристалів, що складаються з багатьох атомів. Ми можемо побудувати величини, такі як енергія$E (\overrightarrow{r})$ або напруга,$V (\overrightarrow{r})$ як функція положення. Рисунок 6.4.2, наприклад, відображає енергію проти положення всередині діода. У розділі 6.3$m^{-1}$ була введена ідея хвильового вектора$\overrightarrow{k}$ в одиницях. Хвильовий вектор представляє просторову частоту. Ми побачили, що ми можемо побудувати енергію або інші величини як функцію хвильового вектора, і рис. 6.3.1 є прикладом такої ділянки. Нам знадобиться ідея хвильового вектора в цьому розділі, тому що ми описуємо ситуацію, коли ми не знаємо, як енергія змінюється залежно від положення, але ми знаємо щось про те, як енергія змінюється залежно від хвильового вектора.