13.1: Прелюдія до аналізу Томаса-Фермі

Де знаходяться електрони навколо атома? Це питання є складним з кількох причин. По-перше, при температурах вище абсолютного нуля електрони знаходяться в безперервному русі. По-друге, принцип невизначеності Гейзенберга говорить нам, що ми ніколи не можемо знати положення та імпульс електронів одночасно з повною точністю. Проте, це питання не є безнадійним. Ми можемо знайти щільність заряду,$\rho_{ch}$ яка говорить нам, статистично в середньому, де електрони, швидше за все, будуть знайдені. Розуміння розподілу електронів у матеріалі є життєво важливим для розуміння хімічних властивостей, таких як міцність хімічних зв'язків, а також електричних властивостей, наприклад, скільки енергії потрібно для видалення електронів. Щоб відповісти на це питання, скористаємося обчисленням варіацій. Узагальнений шлях буде напругою$V$, а узагальненим потенціалом буде щільність заряду$\rho_{ch}$. Лагранж описує енергетичну різницю, а Лагранж матиме форму

$$\mathcal{L}=\mathcal{L}\left(r, V, \frac{d V}{d r}\right). \nonumber$$

Шляхи, знайдені в природі, - це той, який мінімізує дію.

$$\delta \int_{r_{1}}^{r_{2}} \mathcal{L} d r=0 \nonumber$$

У цій задачі незалежною змінною є позиція, а не час. Ми встановимо рівняння Ейлера-Лагранжа, а потім вирішимо його, щоб знайти рівняння руху.

Велика частина цієї глави складається з виведення отриманого рівняння руху під назвою рівняння Томаса-Фермі. За допомогою трохи алгебри ми можемо знайти як напругу, так і щільність заряду навколо атома від розв'язку до рівняння Томаса-Фермі. Процедура полягає в наступному.

• Опишіть першу форму енергії$E_{Coulomb\, e \,nucl} + E_{e \,e \,interact}$, з точки зору шляху$V$. Отримана щільність енергії - це $$\frac{E_{Coulomb \,e\, nucl}}{\mathbb{V}}+\frac{E_{e \,e \,interact}}{\mathbb{V}}=\frac{1}{2} \epsilon|\overrightarrow{\nabla} V|^{2} \nonumber$$ місце, де$\epsilon$ представляє діелектричну проникність і$\mathbb{V}$ представляє об'єм.
• Опишіть другу форму енергії з$E_{kinetic\, e}$ точки зору шляху$V$. Отримана в результаті щільність $$\frac{E_{kinetic \, e}}{\mathbb{V}}=c_{0} V^{5 / 2} \nonumber$$ енергії$c_0$ - це постійна. Цей крок зажадає ідеї взаємного простору.
• Запишіть гамільтоніан$H \left(r, V, \frac{dV}{dr} \right)$ і лагранж$\mathcal{L} \left(r, V, \frac{dV}{dr} \right)$.
• Налаштуйте рівняння Ейлера-Лагранжа. $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial V}-\overrightarrow{\nabla} \cdot\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\frac{d V}{d r}\right)}\right) \hat{a}_{r}=0 \nonumber$$
• Розв'яжіть рівняння Ейлера-Лагранжа для рівняння руху. Результатом є $$\frac{5}{2} c_{0} V^{3 / 2}-\epsilon \nabla^{2} V=0. \nonumber$$
• Змініть змінні, щоб очистити рівняння руху. Отримане рівняння називається рівнянням Томаса-Фермі. $$\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=\mathrm{t}^{-1 / 2} y^{3 / 2} \nonumber$$
• Напруга і щільність заряду алгебраїчно пов'язані з величиною$y$ в рівнянні вище.

Щоб спробувати знайти щільність заряду і напругу в залежності$r$ від положення від центру атома, нам доведеться зробити кілька досить кардинальних припущень. Цей аналіз слідує за роботами Томаса [173] і Фермі [174], які спочатку були завершені приблизно в 1927 році. Цей похідний також обговорюється багатьма іншими авторами [6] [46] [136] [175]. Через суворі припущення, зроблені нижче, результати будуть не дуже точними. Однак більш точні числові розрахунки засновані на вдосконалених версіях методик, встановлених Томасом і Фермі. Ми обговорюємо найбільш спрощений варіант деривації, але це основа більш точних підходів.