13.4: Виведення рівняння Томаса-Фермі

Коли електрон навколо атома рухається, енергія перетворюється між енергією кулонівської взаємодії та кінетичною енергією електрона. Дія полягає в

\[\mathbb{S} = \left|\int\limits_{r_1}^{r_2} \mathcal{L}dr\right|. \nonumber \]

Шляхи, знайдені в природі, мінімізує дію.

\[\delta = \left|\int\limits_{r_1}^{r_2} \mathcal{L}dr\right| = 0 \nonumber \]

Інтеграл над позицією, а не часом. У главі 11 ми назвали цю ідею «Принцип найменшої дії». Довідка [136, с. 52] називає цю ідею в цьому контексті Другою теоремою Гогенберга-Кона. Щоб знайти шлях, налаштовуємо і вирішуємо рівняння Ейлера-Лагранжа. Рівняння Ейлера-Лагранжа у випадку, коли незалежна змінна є вектором виду\(\overrightarrow{r} = r \hat{a}_r\) замість скаляра (з\(\phi\) відсутністю\(\theta\) або залежністю де завгодно) задається

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\text{path})} - \overrightarrow{\nabla} \cdot \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\frac{d(\text{path})}{dr}\right)}\right) \hat{a}_r = 0 \label{13.4.3} \]

Як описано вище, узагальнений шлях - це напруга\(V = V (r)\), а узагальнений потенціал - щільність заряду\(\rho_{ch} = \rho_{ch}(r)\). Як обговорювалося в главі 12, ми могли б зробити протилежний вибір. Насправді протилежний вибір може здатися більш логічним, оскільки слова напруга і потенціал часто вживаються синонімами. Такий же результат виходить незалежно від вибору. Однак алгебра менш безладно ставиться до такого вибору, і цей вибір більше відповідає літературі.

Далі оцініть рівняння Ейлера-Лагранжа, рівняння\ ref {13.4.3}, використовуючи рівняння Лагранжа 13.3.51. Отримане рівняння є рівнянням руху. Розглянемо деякі з потрібних шматків. Похідне від Лагранжа по відношенню до шляху є

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial V} = \frac{5}{2}c_0V^{3/2}. \nonumber \]

У главі 11 ця величина була визначена як узагальнений потенціал. Вище ми визначили\(\rho_{ch}\) як узагальнений потенціал. Обидва\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial V}\) і\(\rho_{ch}\) мають одиниці\(\frac{C}{m^3}\). Згідно з рівнянням 13.3.44,\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial V}\)\(\rho_{ch}\) множиться на постійну, і ця постійна близька до одиниці. Оскільки\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial V}\) не дорівнює\(\rho_{ch}\), наші рівняння не повністю узгоджені. Однак різниця невелика, враховуючи крайні припущення, зроблені в іншому місці. Нам також потрібен узагальнений імпульс.

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\frac{dV}{dr}\right)} = \epsilon \frac{dV}{dr}. \nonumber \]

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\frac{dV}{dr}\right)} \hat{a}_r = \epsilon \overrightarrow{\nabla}V \nonumber \]

Далі покладіть ці шматочки в рівняння Ейлера-Лагранжа.

\[\frac{5}{2}c_0V^{3/2} - \overrightarrow{\nabla} \cdot \left( \epsilon \overrightarrow{\nabla}V \right) = 0 \nonumber \]

Використовуйте рівняння 13.2.6.

\[\frac{5}{2}c_0V^{3/2} - \epsilon \nabla^2 V = 0 \nonumber \]

\[ \nabla^2 V = \frac{5}{2\epsilon}c_0V^{3/2} \label{13.4.9} \]

Далі, слідуючи оригінальній роботі Фермі [177], змініть змінні

\[V = \frac{-y}{r} \label{13.4.10} \]

де\(y\) має одиниці\(V \cdot m\). Термін Лапласа зліва можна спростити за допомогою Рівняння 13.2.5.

\[ \nabla^2 V =\nabla^2 \left(\frac{-y}{r}\right) \nonumber \]

\[ \nabla^2 V = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left[r^2 \frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{-y}{r}\right)\right] \nonumber \]

\[ \nabla^2 V = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left[ r^2 \left( \frac{y}{r^2} - \frac{1}{r}\frac{\partial y}{\partial r} \right)\right] \nonumber \]

\[ \nabla^2 V = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( y - r\frac{\partial y}{\partial r} \right) \nonumber \]

\[ \nabla^2 V = \frac{1}{r^2} \left( \frac{\partial y}{\partial r} - \frac{\partial y}{\partial r} - r^2\frac{\partial^2 y}{\partial r^2}\right) \nonumber \]

\[ \nabla^2 V = -\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 y}{\partial r^2} \nonumber \]

Рівняння\ ref {13.4.9} тепер спрощує.

\[-\frac{1}{r} \frac{\partial^2 y}{\partial r^2} = \frac{-5}{2\epsilon}c_0\left(\frac{-y}{r}\right)^{3/2} \nonumber \]

\[\frac{-1}{r}\frac{d^2y}{dr^2} = \frac{-5}{2\epsilon}c_0 (-1)^{1/2}\left(\frac{y}{r}\right)^{3/2} \nonumber \]

\[\frac{d^2y}{dr^2} = c_1 r^{-1/2}y^{3/2} \label{13.4.19} \]

У рівнянні вище константа дорівнює

\[c_1 = -\frac{5}{2\epsilon}c_0 (-1)^{1/2}. \nonumber \]

\[c_1 = \frac{-5}{2\epsilon}\left[\left(\frac{-5mq}{3\hbar^2}\right)^{3/2}\left(\frac{-q}{3\pi^2}\right)\right](-1)^{1/2} \nonumber \]

\[c_1 = \frac{5}{2\epsilon}\left[\left(\frac{5mq}{3\hbar^2}\right)^{3/2}\frac{q}{3\pi^2}\right] \nonumber \]

Щоб очистити Equation\ ref {13.4.19} вгору далі, виберіть

\[\mathrm{t} = c_1^{-2/3}r. \nonumber \]

Змінна t тут є ім'ям незалежної змінної, і вона не представляє час. Це масштабована версія позиції\(r\).

\[\frac{d^2y}{d\mathrm{t}^2} = \mathrm{t}^{-1/2}y^{3/2} \label{13.4.24} \]

Рівняння рівняння\ ref {13.4.24} називається рівнянням Томаса-Фермі. Ми закінчили деривацію. Рівняння Томаса Фермі разом з відповідними граничними умовами може бути розв'язано для\(y(t)\). Оскільки рівняння нелінійне, для його вирішення, швидше за все, використовуються числові методи. Після\(y(t)\) того, як буде знайдено, рівняння 13.3.40 і Рівняння\ ref {13.4.10} можуть бути використані для пошуку\(V (r)\) і\(\rho_{ch}(r)\). З цього рівняння руху ми можемо знайти\(\rho_{ch}(r)\), де в середньому електрони, швидше за все, будуть знайдені як функція відстані від ядра в сферичних координатах.