13.3: Виведення Лагранжа

Мета цієї глави полягає в тому, щоб знайти напругу$V (r)$ і щільність заряду$\rho_{ch}(r)$ навколо атома, і ми будемо використовувати обчислення варіацій для виконання цього завдання. Нам потрібно зробити деякі досить серйозні припущення, щоб зробити цю проблему керованою. Розглянемо ізольований нейтральний атом з безліччю електронів навколо нього. Припустимо$T \approx 0$ K, тому всі електрони займають мінімально можливі енергетичні рівні. Припустимо, атом сферично симетричний. Всі величини, з якими ми стикаємося, такі як напруга, щільність заряду та Лагранж, змінюються,$r$ але не змінюються з$\theta$ або$\phi$. Ми будемо використовувати сферичні координати з початком у ядра атома. Хоча величини змінюються залежно від положення, припускайте, що кількість не змінюється з часом. Щільність заряду$\rho_{ch}(r)$ говорить нам, де електрони, швидше за все, в середньому можна знайти. Це пов'язано з квантовою механічною хвильовою функцією$\psi$,

$$\rho_{c h}=-q \cdot|\psi|^{2} \nonumber$$

де$q$ - величина заряду електрона. Припустимо, що всі електрони, що оточують атом, розподілені рівномірно і можуть розглядатися так, ніби вони були однорідною електронною хмарою деякої щільності заряду.

Виберіть один з електронів атома і подумайте, що відбувається, коли електрон переміщується радіально всередину і назовні. Малюнок$\PageIndex{1}$ ілюструє цю ситуацію. У міру руху електрона відбувається перетворення енергії. Мета цього розділу - записати гамільтоніан і лагранж для цього процесу перетворення енергії. Запишемо ці величини в одиницях енергії на одиницю об'єму на розглянутий валентний електрон.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Ілюстрація атома.

Щоб зрозуміти, що відбувається при переміщенні електрона, розглянемо енергію атома більш детально. Закон Кулона, введений в рівнянні 1.6.2, говорить нам про те, що заряджені об'єкти чинять сили на інші заряджені об'єкти. Більш конкретно, напруженість електричного поля,$\overrightarrow{E}$ обумовлена точковим зарядом$Q$ кулонів, відстань,$r$ оточена матеріалом з діелектричною проникністю,$\epsilon$ задається

$$\overrightarrow{E}=\frac{Q \hat{a}_{r}}{4 \pi \epsilon r^{2}}. \nonumber$$

Атом складається з$N$ позитивно заряджених протонів. Розглянутий електрон відчуває привабливу кулонівську силу завдяки цим протонам. Крім того, атом має$N$ електрони, і$N - 1$ з них надають відштовхувальну кулонівську силу на розглянутий електрон. Оскільки існує поділ заряду і електричне поле, накопичується енергія. Називають складову енергії атома за рахунок кулонівського взаємодії між протонами ядра і розглянутим електроном$E_{Coulomb\, e \,nucl}$. Викликати кулонівську взаємодію між розглянутим електроном і всіма іншими електронами$E_{e\, e \,interact}$. Атом також володіє кінетичною енергією. Називають кінетичну енергію ядра$E_{kinetic\, nucl}$ і кінетичну енергію всіх електронів$E_{kinetic\, e}$. Енергія атома - це сума всіх цих термінів.

$$E_{atom} = E_{Coulomb\, e \,nucl.} + E_{kinetic\, nucl} + E_{e\, e \,interact} + E_{kinetic \,e} \nonumber$$

Енергія, обумовлена спином електронів і протонів, ігнорується, як і енергія внаслідок взаємодії з будь-якими іншими поруч зарядженими об'єктами. При$T \approx 0$ K кінетична енергія ядра буде близька до нуля, тому ми можемо ігнорувати термін,$E_{kinetic\, nucl} \approx 0$. Кількість$E_{kinetic\, e}$ не може бути рівно нулем. У главі 6 ми побудували діаграми енергетичного рівня для електронів навколо атома. Навіть при$T = 0$ К електрони мають деяку внутрішню енергію, і ця енергія позначається займаним енергетичним рівнем.

Якщо у нас є великий атом з безліччю електронів навколо нього, кулонівське взаємодія між будь-яким одним електроном і ядром екранується кулонівським взаємодією від усіх інших електронів. Більш конкретно, припустимо, що у нас є ізольований атом з$N$ протонами в ядрі та$N$ електронами навколо нього. Якщо ми виберемо один з електронів,$E_{Coulomb\, e \,nucl}$ для цього електрон описує енергію, що зберігається в електричному полі за рахунок поділу заряду між ядром позитивного заряду$Nq$ і цим електроном. Однак є й$N - 1$ інші електрони, які мають негативний заряд. Термін$E_{e\, e \,interact}$ описує енергію, накопичену в електричному полі за рахунок поділу заряду між$N - 1$ іншими електронами і розглянутим електроном. Ці терміни дещо скасовують один одного, оскільки розглянутий електрон взаємодіє з$N$ протонами кожного позитивного заряду q і$N - 1$ електронів кожного з негативного заряду$-q$. Однак терміни не йдуть повністю. Обчислення

$$E_{Coulomb\, e \,nucl} + E_{e\, e \,interact} \nonumber$$

ускладнюється, тому що електрони знаходяться в русі, і ми насправді не знаємо, де вони знаходяться або навіть де їх найімовірніше знайти. Фактично, ми намагаємося вирішити, де вони, ймовірно, будуть знайдені.

Коли ми рухаємо розглянутий електрон всередину і назовні радіально, енергія передається між ($E_{Coulomb\, e \,nucl} + E_{e\, e \,interact}$) і$E_{kinetic\, e}$. Гамільтоніан - це сума цих двох форм енергії на одиницю об'єму, а Лагранж - різниця цих двох форм енергії на одиницю об'єму. Обидві величини мають одиниці$\frac{J}{m^3}$. Виберіть напругу$V (r)$ як узагальнений шлях, а щільність заряду$\rho_{ch}(r)$ як узагальнений потенціал. Незалежною змінною цих величин є радіальне положення$r$, а не час. Тепер ми можемо написати гамільтоніан і лагранж.

$$H\left(r, V, \frac{d V}{d r}\right) = \left(\frac{E_{Coulomb\, e \,nucl}}{\mathbb{V}} + \frac{E_{e\, e \,interact}}{\mathbb{V}}\right) + \frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}} \nonumber$$

$$\mathcal{L} \left(r, V, \frac{d V}{d r}\right) = \left(\frac{E_{Coulomb\, e \,nucl}}{\mathbb{V}} + \frac{E_{e\, e \,interact}}{\mathbb{V}}\right) - \frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}} \nonumber$$

Наступний крок - написати

$$\frac{E_{Coulomb\, e \,nucl}}{\mathbb{V}} + \frac{E_{e\, e \,interact}}{\mathbb{V}} \nonumber$$

в плані шляху$V$. Як детально описано в таблиці 12.2.3, щільність енергії, обумовлена електричним полем$\overrightarrow{E}$, задається

$$\frac{E}{\mathbb{V}} = \frac{1}{2}\epsilon |\overrightarrow{E}|^2. \nonumber$$

Пам'ятайте, що$E$ представляє енергію, а$\overrightarrow{E}$ представляє електричне поле. Електричне поле - негативний градієнт напруги$V (r)$.

$$\overrightarrow{E} = -\overrightarrow{\nabla}V. \nonumber$$

Ми можемо об'єднати ці вирази та рівняння 13.2.6, щоб записати перший член Гамільтоніана та Лагранжа через узагальнений шлях.

$$\frac{E_{Coulomb\, e \,nucl}}{\mathbb{V}} + \frac{E_{e\, e \,interact}}{\mathbb{V}} = \frac{1}{2}\epsilon |\overrightarrow{\nabla}V|^2 \nonumber$$

$$H\left(r, V, \frac{d V}{d r}\right) = \left(\frac{1}{2}\epsilon |\overrightarrow{\nabla}V|^2\right) + \frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}} \nonumber$$

$$\mathcal{L} \left(r, V, \frac{d V}{d r}\right) = \left(\frac{1}{2}\epsilon |\overrightarrow{\nabla}V|^2\right) - \frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}} \nonumber$$

Наступне завдання - описати термін, що залишився$\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}}$, як функцію узагальненого шляху теж. Це завдання трохи складніше. Ми продовжуємо застосовувати підхід до суворих наближень, поки це не буде керованим. Нам потрібно висловити$\rho_{ch}(r)$ як функцію$V (r)$. Тоді з деякою алгеброю,$\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}}$ може бути записана чисто як функція$V (r)$.

Ми хочемо узагальнити про кінетичну енергію електронів. Однак кожен електрон має свою швидкість$\overrightarrow{v}$ і імпульс$\overrightarrow{M}$. Ці величини залежать від положення

$$\overrightarrow{r} = r \hat{a}_r + \theta \hat{a}_{\theta} + \phi \hat{a}_{\phi} \nonumber$$

якимось невідомим способом. Крім того, розрахунок$\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}}$ залежить від щільності заряду$\rho_{ch}(r)$, яка є невідомою величиною, яку ми намагаємося знайти. Нам більше пощастило, описуючи ці величини у взаємному просторі, введеному в п. 6.3. Положення позначається у зворотному просторі хвильовим вектором

$$\overrightarrow{k} = \tilde r \hat{a}_r + \tilde \theta \hat{a}_{\theta} + \tilde \phi \hat{a}_{\phi} \label{13.3.14}$$

Ми можемо описати властивості матеріалу, описуючи, як вони змінюються залежно від положення в реальному просторі. Наприклад,$\rho_{ch}(r)$ представляє щільність заряду електронів як функцію відстані r від центру атома. Нам може бути цікаво, як інші величини, такі як енергія, необхідна для зривання електрона, або кінетична енергія, внутрішня для електрона, змінюються залежно від положення в реальному просторі. Замість того, щоб описувати, як величини змінюються залежно від положення в реальному просторі, ми можемо описати, як величини змінюються з просторовою частотою електронів. Це ідея, що стоїть за представленням величин у взаємному просторі. Нас може зацікавити, як змінюється щільність заряду електронів в залежності від просторової частоти зарядів у кристалі або іншому матеріалі, і це ідея, представлена функціями хвильового вектора, такими як$\rho_{ch}(\overrightarrow{k})$. Намагаємося вирішити для щільності заряду$\rho_{ch}(r)$. Ми очікуємо, що електрони частіше виявляються на певних відстанях$r$ від центру атома, ніж на інших відстанях. Однак немає закономірності до щільності заряду як функції хвильового вектора,$\rho_{ch}(\overrightarrow{k})$. Припустимо, що$\rho_{ch}$ це приблизно постійна щодо$|\overrightarrow{k}|$ до якогось рівня. При деякій більшій роботі це припущення дозволить нам вирішити для щільності заряду$\rho_{ch}(r)$.

Кінетична енергія одного електрона задається

$$\frac{E_{kinetic\, e}}{e^-} = \frac{1}{2}m|\overrightarrow{v}|^2 \nonumber$$

де$m$ - маса електрона. Ми можемо записати цю енергію з точки зору імпульсу,$\overrightarrow{M} = m\overrightarrow{v}$. (Зверніть увагу, що імпульс$\overrightarrow{M}$ і узагальнений імпульс$\mathbb{M}$ різні і мають різні одиниці.)

$$\frac{E_{kinetic\, e}}{e^-} = \frac{|\overrightarrow{M}|^2}{2m} \nonumber$$

Ми не знаємо, як змінюється енергія як функція положення r Замість цього, ми можемо записати енергію як функцію імпульсу кристала$\overrightarrow{M}_{crystal}$ або хвильового вектора$\overrightarrow{k}$, і ми знаємо щось про зміну цих величин. Кристалічний імпульс дорівнює хвильовому вектору, масштабованому константою Планка.

$$\overrightarrow{M}_{crystal} = \hbar \overrightarrow{k} \nonumber$$

Він має одиниці імпульсу$\frac{kg \cdot m}{s}$, і він був введений в п. 6.3.2. Кінетична енергія одного електрона як функція імпульсу кристала задається

$$\frac{E_{kinetic\, e}}{e^-} = \frac{\left(\overrightarrow{M}_{crystal}\right)^2}{2m} = \frac{\left(\hbar |\overrightarrow{k}|\right)^2}{2m}. \label{13.3.18}$$

Вектор у зворотному просторі представлений Equation\ ref {13.3.14}, а Equation\ ref {13.3.18} можна спростити, оскільки ми передбачаємо сферичну симетрію$\tilde \theta = \tilde \phi = 0$. Величина хвильового вектора стає$|\overrightarrow{k}| = \tilde r$, і ми можемо записати енергію як

$$\frac{E_{kinetic\, e}}{e^-} = \frac{\hbar^2 \tilde r^2}{2m}. \label{13.3.19}$$

Так само, як кожен електрон має свій імпульс$m|\overrightarrow{v}|$, кожен електрон має свій кришталевий імпульс$\hbar |\overrightarrow{k}|$. Однак ми знаємо деяку інформацію про хвильовому$|\overrightarrow{k}|$ векторі електронів в атомі. При$T = 0$ К електрони займають найнижчі дозволені енергетичні стани. Енергетичні держави зайняті до якоїсь найвищої зайнятої держави, яка називається енергією Фермі$E_f$. Хоча інженери-електрики використовують термін енергія Фермі, хіміки іноді використовують термін хімічний потенціал$\mu_{chem}$. Найнижчі енергетичні стани, зайняті в той час як вищі порожні. Аналогічно хвильові вектори зайняті до деякого найвищого зайнятого хвильового вектора, який називається хвильовим вектором Фермі$k_f$.

$$|\overrightarrow{k}| = \begin{cases} \text{filled state} & \tilde r < k_f \\ \text{empty state} & \tilde r > k_f \end{cases} \nonumber$$

Енергія Фермі і хвильовий вектор Фермі пов'язані

$$E_f = \frac{\hbar^2 k^2_f}{2m}. \label{13.3.21}$$

Ми використовуємо ідею зворотного простору для написання виразу для кінетичної енергії електронів на одиницю об'єму [136, с. 49]. Кінетична енергія, обумовлена будь-яким електроном як функція положення у зворотному просторі, задається Equation\ ref {13.3.19}. Відзначимо, що при кожному$|\overrightarrow{k}| = \tilde r$ значенні електрон має різну кінетичну енергію. Щоб знайти кінетичну енергію на одиницю об'єму за рахунок усіх електронів, ми інтегруємо по всьому$|\overrightarrow{k}| = \tilde r$ в сферичні координати, які зайняті електронами, а потім ділимо на об'єм, зайнятий у$\overrightarrow{k}$ просторі.

$$\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}} = \frac{1}{\text{vol. occupied in } k \text{ space}} \cdot \int_{\text{filled } k \text{ levels}} \left(\frac{E_{kinetic\, e}}{e^-}\right)\left(\frac{e^-}{\text{volume}}\right) d (\text{vol. all } k \text{ space}) \nonumber$$

Кількість електронів на одиницю об'єму задається

$$\left(\frac{e^-}{\text{volume}}\right) = \frac{-\rho_{ch}}{q}. \nonumber$$

Обсяг, зайнятий у зворотному просторі$\frac{4}{3}\pi k^3_f$, дорівнює об'єму сфери радіуса$k_f$.

$$\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}} = \frac{1}{\frac{4}{3}\pi k^3_f} \cdot \int_{\text{filled } k \text{ levels}} \left(\frac{\hbar^2 \tilde r^2}{2m}\right)\left(\frac{-\rho_{ch}}{q}\right) d (\text{vol. all } k \text{ space}) \nonumber$$

Диференціальний елемент об'єму виражається як

$$d^3 |\overrightarrow{k}| = \tilde r^2 \sin \tilde \theta\, d \tilde r \,d \tilde \theta \,d \tilde \phi. \nonumber$$

$$\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}} = \frac{1}{\frac{4}{3}\pi k^3_f} \cdot \int_{\text{filled } k \text{ levels}} \left(\frac{\hbar^2 |\overrightarrow{k}|^2}{2m}\right)\left(\frac{-\rho_{ch}}{q}\right) (\tilde r^2 \sin \tilde \theta\, d \tilde r \,d \tilde \theta \,d \tilde \phi) \nonumber$$

Як описано вище, електрони займають стани у зворотному просторі тільки с$0 \leq \tilde r \leq k_f$.

$$\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}} = \frac{1}{\frac{4}{3}\pi k^3_f} \cdot \int\limits_{\tilde r = 0}^{k_f} \,\int\limits_{\tilde \theta = 0}^{\pi} \,\int\limits_{\tilde \phi = 0}^{2\pi} \left(\frac{\hbar^2 \tilde r^2}{2m}\right)\left(\frac{-\rho_{ch}}{q}\right) (\tilde r^2 \sin \tilde \theta\, d \tilde r \,d \tilde \theta \,d \tilde \phi) \nonumber$$

Інтеграл вище може бути оцінений безпосередньо. Першим кроком для його оцінки є витягування констант назовні. Як описано вище,$\rho_{ch}$ варіюється з,$r$ але ні$\tilde r$, так що його можна витягнути за межі інтеграла теж.

$$\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}} = \frac{-1}{\frac{4}{3}\pi k^3_f} \cdot \frac{\hbar^2 \rho_{ch}}{2mq} \int\limits_{\tilde r = 0}^{k_f} \,\int\limits_{\tilde \theta = 0}^{\pi} \,\int\limits_{\tilde \phi = 0}^{2\pi} \tilde r^4 \sin \tilde \theta\, d \tilde r \,d \tilde \theta \,d \tilde \phi \nonumber$$

Інтеграл відокремлюється і може бути оцінений.

$$\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}} = \frac{-1}{\frac{4}{3}\pi k^3_f} \cdot \frac{\hbar^2 \rho_{ch}}{2mq} \left( \int\limits_{\tilde \theta = 0}^{\pi} \,\int\limits_{\tilde \phi = 0}^{2\pi} \sin \tilde \theta\, d \tilde r \,d \tilde \theta \,d \tilde \phi \right) \left( \int\limits_{\tilde r = 0}^{k_f} \tilde r^4 d \tilde r \right) \nonumber$$

$$\frac{E_{kinetic \, e}}{\mathbb{V}} = \frac{-1}{\frac{4}{3} \pi k^3_f} \cdot \frac{\hbar^2 \rho_{ch}}{2mq}4\pi \left(\frac{{k_f}^5}{5}\right) \nonumber$$

$$\frac{E_{kinetic \, e}}{\mathbb{V}} =\frac{-3 \rho_{ch} k^2_f \hbar^2}{10mq} \label{13.3.31}$$

Щільність заряду - це функція положення в реальному просторі$r$, і ми знаходимося в процесі вирішення цієї функції$\rho_{ch}(r)$. Однак це також залежить від енергії Фермі$E_f$, а отже, і хвильового вектора Фермі$k_f$, для атома. Далі знаходимо взаємозв'язок між$\rho_{ch}$ і$k_f$. Два електрони допускаються на рівень енергії (обертатися вгору і обертатися вниз), отже, на заповнений$k$ стан. Кількість заповнених станів на атом у зворотному просторі пов'язано з щільністю заряду.

$$\rho_{ch} = -2q \left( \frac{\text{no. filled } k \text{ states}}{\text{unit vol. in } k \text{ space}}\right) \nonumber$$

У п. 6.3.1 ми побачили, що примітивна клітина у взаємному просторі була$(2 \pi )^3$ часом примітивною клітиною в реальному просторі, тому

$$(\text{unit vol. } k \text{ space}) = (2 \pi )^3 \cdot (\text{unit vol. real space}) = (2 \pi )^3. \nonumber$$

Ми знаємо дещо про хвильові вектори заповнених станів у зворотному просторі. При$T = 0$ К найнижчі стани заповнюються, а всі інші порожні, і вони заповнюються до радіуса$k_f$. Обсяг сфери радіуса$k_f$ задається$\frac{4}{3}\pi k^3_f$, і це являє собою кількість$k$ заповнених станів на об'єм зворотного простору. Тому ми можемо спростити вираз вище.

$$\rho_{ch} = -2q \cdot \frac{4}{3} \pi k_f^3 \cdot \frac{1}{(2 \pi )^3} \nonumber$$

$$\rho_{ch} = \frac{-q}{3 \pi^2}k_f^3 \nonumber$$

$$k_f = \left(\frac{-3 \pi^2}{q}\rho_{ch}\right)^{1/3} \label{13.3.36}$$

Ми хочемо написати$\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}}$ як функцію узагальненого шляху$V$. Тепер ми можемо досягти цього завдання, об'єднавши рівняння\ ref {13.3.31} і\ ref {13.3.36}.

$$\frac{E_{kinetic \, e}}{\mathbb{V}}= \frac{-3\hbar^2}{10mq}\rho_{ch} \left(\frac{-3\pi^2}{q}\rho_{ch}\right)^{2/3} \nonumber$$

$$\frac{E_{kinetic \, e}}{\mathbb{V}}= \frac{-3\hbar^2}{10mq} \left(\frac{-3\pi^2}{q}\right)^{2/3} \rho_{ch}^{5/3} \nonumber$$

Електрична енергія - це твір заряду і напруги. Більш конкретно, з Рівняння 2.2.7, він дається

$$E = \frac{1}{2}QV. \nonumber$$

Щільність електричної енергії тоді задається

$$\frac{E}{\mathbb{V}} = \frac{1}{2}\rho_{ch}V. \label{13.3.40}$$

Використовуйте рівняння\ ref {13.3.40}, щоб зв'язати$\rho_{ch}$$V$ і.

$$\frac{E_{kinetic \, e}}{\mathbb{V}}= \frac{1}{2}\rho_{ch}V =\frac{-3\hbar^2}{10mq} \left(\frac{-3\pi^2}{q}\right)^{2/3} \rho_{ch}^{5/3} \nonumber$$

Тепер ми пов'язували узагальнений шлях і узагальнений потенціал.

$$V = \frac{-3\hbar^2}{5mq} \left(\frac{-3\pi^2}{q}\right)^{2/3} \rho_{ch}^{2/3} \nonumber$$

$$\rho_{ch} = \left(\frac{-5mq}{3\hbar^2} \cdot \left(\frac{-3\pi^2}{q}\right)^{-2/3} \right)^{3/2} V^{3/2} \nonumber$$

$$\rho_{ch} = \left[ \left(\frac{-5mq}{3\hbar^2}\right)^{3/2} \left(\frac{-q}{3\pi^2}\right)\right] \cdot V^{3/2} \nonumber$$

Нарешті, ми можемо писати$\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}}$ як функцію$V$.

$$\frac{E_{kinetic \, e}}{\mathbb{V}}= \left[ \left(\frac{-5mq}{3\hbar^2}\right)^{3/2} \left(\frac{-q}{3\pi^2}\right)\right]V^{5/2} \nonumber$$

Зверніть увагу, що кількість в дужках вище постійна. Коефіцієнт$c_0$ визначається з терміну в дужках.

$$c_0 = \left(\frac{-5mq}{3\hbar^2}\right)^{3/2} \left(\frac{-q}{3\pi^2}\right) \label{13.3.46}$$

$$\frac{E_{kinetic \, e}}{\mathbb{V}}=c_{0} V^{5 / 2} \nonumber$$

Тепер ми можемо описати всі терміни Лагранжа з точки зору нашого узагальненого шляху.

$$\frac{E_{Coulomb\, e \,nucl}}{\mathbb{V}} + \frac{E_{e\, e \,interact}}{\mathbb{V}} = \frac{1}{2}\epsilon |\overrightarrow{\nabla}V|^2 \nonumber$$

$$\frac{E_{kinetic \, e}}{\mathbb{V}} = c_{0} V^{5 / 2} \nonumber$$

Гамільтоніан являє собою загальну щільність енергії, а Лагранж являє собою різницю енергетичної щільності цих форм енергії. Гамільтоніан і Лагранж мають форму$H = H (r, V, \frac{dV}{dr})$ і$\mathcal{L} = \mathcal{L} (r, V, \frac{dV}{dr})$ де$r$ знаходиться положення в сферичних координатах. Немає$\theta$ або$\phi$ залежність від$H$ або$\mathcal{L}$. Все сферично симетрично.

$$H = \frac{1}{2}\epsilon |\overrightarrow{\nabla}V|^2 + c_{0} V^{5 / 2} \nonumber$$

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}\epsilon |\overrightarrow{\nabla}V|^2 - c_{0} V^{5 / 2} \nonumber$$

В якості осторонь розглянемо ще$E_f = \mu_{chem}$ раз енергію Фермі. За допомогою деякої алгебри ми можемо записати її як функцію напруги. Використовуйте рівняння\ ref {13.3.21},\ ref {13.3.36} та\ ref {13.3.46}.

$$E_f= \frac{\hbar^2k^2_f}{2m} = \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{-3\pi^2 \rho_{ch}}{q}\right)^{2/3} \nonumber$$

$$E_f= \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{-3\pi^2}{q}\right)^{2/3} \left[ \left(\frac{-5mq}{3\hbar^2} \cdot \left( \frac{-3\pi^2}{q}\right)^{-2/3}\right)^{3/2} V^{3/2}\right]^{2/3} \nonumber$$

$$E_f = \frac{-5q}{6}V \nonumber$$

Зверніть увагу, що енергія Фермі - це лише масштабована версія напруги$V$ щодо рівня землі на$r = \infty$. Інженери-електрики часто використовують слово напруга синонімом потенціалу. Коли хіміки використовують термін хімічний потенціал, вони мають на увазі ту саму величину, просто масштабовану константою. Подібно до того, як напруга є фундаментальною кількістю електротехніки, яка представляє, як важко переміщати електрони навколо, хімічний потенціал є фундаментальною кількістю хімії, яка представляє, наскільки важко переміщати електрони навколо.