13.3: Виведення Лагранжа

Мета цієї глави полягає в тому, щоб знайти напругу\(V (r)\) і щільність заряду\(\rho_{ch}(r)\) навколо атома, і ми будемо використовувати обчислення варіацій для виконання цього завдання. Нам потрібно зробити деякі досить серйозні припущення, щоб зробити цю проблему керованою. Розглянемо ізольований нейтральний атом з безліччю електронів навколо нього. Припустимо\(T \approx 0\) K, тому всі електрони займають мінімально можливі енергетичні рівні. Припустимо, атом сферично симетричний. Всі величини, з якими ми стикаємося, такі як напруга, щільність заряду та Лагранж, змінюються,\(r\) але не змінюються з\(\theta\) або\(\phi\). Ми будемо використовувати сферичні координати з початком у ядра атома. Хоча величини змінюються залежно від положення, припускайте, що кількість не змінюється з часом. Щільність заряду\(\rho_{ch}(r)\) говорить нам, де електрони, швидше за все, в середньому можна знайти. Це пов'язано з квантовою механічною хвильовою функцією\(\psi\),

\[\rho_{c h}=-q \cdot|\psi|^{2} \nonumber \]

де\(q\) - величина заряду електрона. Припустимо, що всі електрони, що оточують атом, розподілені рівномірно і можуть розглядатися так, ніби вони були однорідною електронною хмарою деякої щільності заряду.

Виберіть один з електронів атома і подумайте, що відбувається, коли електрон переміщується радіально всередину і назовні. Малюнок\(\PageIndex{1}\) ілюструє цю ситуацію. У міру руху електрона відбувається перетворення енергії. Мета цього розділу - записати гамільтоніан і лагранж для цього процесу перетворення енергії. Запишемо ці величини в одиницях енергії на одиницю об'єму на розглянутий валентний електрон.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Ілюстрація атома.

Щоб зрозуміти, що відбувається при переміщенні електрона, розглянемо енергію атома більш детально. Закон Кулона, введений в рівнянні 1.6.2, говорить нам про те, що заряджені об'єкти чинять сили на інші заряджені об'єкти. Більш конкретно, напруженість електричного поля,\(\overrightarrow{E}\) обумовлена точковим зарядом\(Q\) кулонів, відстань,\(r\) оточена матеріалом з діелектричною проникністю,\(\epsilon\) задається

\[\overrightarrow{E}=\frac{Q \hat{a}_{r}}{4 \pi \epsilon r^{2}}. \nonumber \]

Атом складається з\(N\) позитивно заряджених протонів. Розглянутий електрон відчуває привабливу кулонівську силу завдяки цим протонам. Крім того, атом має\(N\) електрони, і\(N - 1\) з них надають відштовхувальну кулонівську силу на розглянутий електрон. Оскільки існує поділ заряду і електричне поле, накопичується енергія. Називають складову енергії атома за рахунок кулонівського взаємодії між протонами ядра і розглянутим електроном\(E_{Coulomb\, e \,nucl}\). Викликати кулонівську взаємодію між розглянутим електроном і всіма іншими електронами\(E_{e\, e \,interact}\). Атом також володіє кінетичною енергією. Називають кінетичну енергію ядра\(E_{kinetic\, nucl}\) і кінетичну енергію всіх електронів\(E_{kinetic\, e}\). Енергія атома - це сума всіх цих термінів.

\[E_{atom} = E_{Coulomb\, e \,nucl.} + E_{kinetic\, nucl} + E_{e\, e \,interact} + E_{kinetic \,e} \nonumber \]

Енергія, обумовлена спином електронів і протонів, ігнорується, як і енергія внаслідок взаємодії з будь-якими іншими поруч зарядженими об'єктами. При\(T \approx 0\) K кінетична енергія ядра буде близька до нуля, тому ми можемо ігнорувати термін,\(E_{kinetic\, nucl} \approx 0\). Кількість\(E_{kinetic\, e}\) не може бути рівно нулем. У главі 6 ми побудували діаграми енергетичного рівня для електронів навколо атома. Навіть при\(T = 0\) К електрони мають деяку внутрішню енергію, і ця енергія позначається займаним енергетичним рівнем.

Якщо у нас є великий атом з безліччю електронів навколо нього, кулонівське взаємодія між будь-яким одним електроном і ядром екранується кулонівським взаємодією від усіх інших електронів. Більш конкретно, припустимо, що у нас є ізольований атом з\(N\) протонами в ядрі та\(N\) електронами навколо нього. Якщо ми виберемо один з електронів,\(E_{Coulomb\, e \,nucl}\) для цього електрон описує енергію, що зберігається в електричному полі за рахунок поділу заряду між ядром позитивного заряду\(Nq\) і цим електроном. Однак є й\(N - 1\) інші електрони, які мають негативний заряд. Термін\(E_{e\, e \,interact}\) описує енергію, накопичену в електричному полі за рахунок поділу заряду між\(N - 1\) іншими електронами і розглянутим електроном. Ці терміни дещо скасовують один одного, оскільки розглянутий електрон взаємодіє з\(N\) протонами кожного позитивного заряду q і\(N - 1\) електронів кожного з негативного заряду\(-q\). Однак терміни не йдуть повністю. Обчислення

\[E_{Coulomb\, e \,nucl} + E_{e\, e \,interact} \nonumber \]

ускладнюється, тому що електрони знаходяться в русі, і ми насправді не знаємо, де вони знаходяться або навіть де їх найімовірніше знайти. Фактично, ми намагаємося вирішити, де вони, ймовірно, будуть знайдені.

Коли ми рухаємо розглянутий електрон всередину і назовні радіально, енергія передається між (\(E_{Coulomb\, e \,nucl} + E_{e\, e \,interact}\)) і\(E_{kinetic\, e}\). Гамільтоніан - це сума цих двох форм енергії на одиницю об'єму, а Лагранж - різниця цих двох форм енергії на одиницю об'єму. Обидві величини мають одиниці\(\frac{J}{m^3}\). Виберіть напругу\(V (r)\) як узагальнений шлях, а щільність заряду\(\rho_{ch}(r)\) як узагальнений потенціал. Незалежною змінною цих величин є радіальне положення\(r\), а не час. Тепер ми можемо написати гамільтоніан і лагранж.

\[H\left(r, V, \frac{d V}{d r}\right) = \left(\frac{E_{Coulomb\, e \,nucl}}{\mathbb{V}} + \frac{E_{e\, e \,interact}}{\mathbb{V}}\right) + \frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}} \nonumber \]

\[\mathcal{L} \left(r, V, \frac{d V}{d r}\right) = \left(\frac{E_{Coulomb\, e \,nucl}}{\mathbb{V}} + \frac{E_{e\, e \,interact}}{\mathbb{V}}\right) - \frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}} \nonumber \]

Наступний крок - написати

\[\frac{E_{Coulomb\, e \,nucl}}{\mathbb{V}} + \frac{E_{e\, e \,interact}}{\mathbb{V}} \nonumber \]

в плані шляху\(V\). Як детально описано в таблиці 12.2.3, щільність енергії, обумовлена електричним полем\(\overrightarrow{E}\), задається

\[\frac{E}{\mathbb{V}} = \frac{1}{2}\epsilon |\overrightarrow{E}|^2. \nonumber \]

Пам'ятайте, що\(E\) представляє енергію, а\(\overrightarrow{E}\) представляє електричне поле. Електричне поле - негативний градієнт напруги\(V (r)\).

\[\overrightarrow{E} = -\overrightarrow{\nabla}V. \nonumber \]

Ми можемо об'єднати ці вирази та рівняння 13.2.6, щоб записати перший член Гамільтоніана та Лагранжа через узагальнений шлях.

\[\frac{E_{Coulomb\, e \,nucl}}{\mathbb{V}} + \frac{E_{e\, e \,interact}}{\mathbb{V}} = \frac{1}{2}\epsilon |\overrightarrow{\nabla}V|^2 \nonumber \]

\[H\left(r, V, \frac{d V}{d r}\right) = \left(\frac{1}{2}\epsilon |\overrightarrow{\nabla}V|^2\right) + \frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}} \nonumber \]

\[\mathcal{L} \left(r, V, \frac{d V}{d r}\right) = \left(\frac{1}{2}\epsilon |\overrightarrow{\nabla}V|^2\right) - \frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}} \nonumber \]

Наступне завдання - описати термін, що залишився\(\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}}\), як функцію узагальненого шляху теж. Це завдання трохи складніше. Ми продовжуємо застосовувати підхід до суворих наближень, поки це не буде керованим. Нам потрібно висловити\(\rho_{ch}(r)\) як функцію\(V (r)\). Тоді з деякою алгеброю,\(\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}}\) може бути записана чисто як функція\(V (r)\).

Ми хочемо узагальнити про кінетичну енергію електронів. Однак кожен електрон має свою швидкість\(\overrightarrow{v}\) і імпульс\(\overrightarrow{M}\). Ці величини залежать від положення

\[\overrightarrow{r} = r \hat{a}_r + \theta \hat{a}_{\theta} + \phi \hat{a}_{\phi} \nonumber \]

якимось невідомим способом. Крім того, розрахунок\(\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}}\) залежить від щільності заряду\(\rho_{ch}(r)\), яка є невідомою величиною, яку ми намагаємося знайти. Нам більше пощастило, описуючи ці величини у взаємному просторі, введеному в п. 6.3. Положення позначається у зворотному просторі хвильовим вектором

\[\overrightarrow{k} = \tilde r \hat{a}_r + \tilde \theta \hat{a}_{\theta} + \tilde \phi \hat{a}_{\phi} \label{13.3.14} \]

Ми можемо описати властивості матеріалу, описуючи, як вони змінюються залежно від положення в реальному просторі. Наприклад,\(\rho_{ch}(r)\) представляє щільність заряду електронів як функцію відстані r від центру атома. Нам може бути цікаво, як інші величини, такі як енергія, необхідна для зривання електрона, або кінетична енергія, внутрішня для електрона, змінюються залежно від положення в реальному просторі. Замість того, щоб описувати, як величини змінюються залежно від положення в реальному просторі, ми можемо описати, як величини змінюються з просторовою частотою електронів. Це ідея, що стоїть за представленням величин у взаємному просторі. Нас може зацікавити, як змінюється щільність заряду електронів в залежності від просторової частоти зарядів у кристалі або іншому матеріалі, і це ідея, представлена функціями хвильового вектора, такими як\(\rho_{ch}(\overrightarrow{k})\). Намагаємося вирішити для щільності заряду\(\rho_{ch}(r)\). Ми очікуємо, що електрони частіше виявляються на певних відстанях\(r\) від центру атома, ніж на інших відстанях. Однак немає закономірності до щільності заряду як функції хвильового вектора,\(\rho_{ch}(\overrightarrow{k})\). Припустимо, що\(\rho_{ch}\) це приблизно постійна щодо\(|\overrightarrow{k}|\) до якогось рівня. При деякій більшій роботі це припущення дозволить нам вирішити для щільності заряду\(\rho_{ch}(r)\).

Кінетична енергія одного електрона задається

\[\frac{E_{kinetic\, e}}{e^-} = \frac{1}{2}m|\overrightarrow{v}|^2 \nonumber \]

де\(m\) - маса електрона. Ми можемо записати цю енергію з точки зору імпульсу,\(\overrightarrow{M} = m\overrightarrow{v}\). (Зверніть увагу, що імпульс\(\overrightarrow{M}\) і узагальнений імпульс\(\mathbb{M}\) різні і мають різні одиниці.)

\[\frac{E_{kinetic\, e}}{e^-} = \frac{|\overrightarrow{M}|^2}{2m} \nonumber \]

Ми не знаємо, як змінюється енергія як функція положення r Замість цього, ми можемо записати енергію як функцію імпульсу кристала\(\overrightarrow{M}_{crystal}\) або хвильового вектора\(\overrightarrow{k}\), і ми знаємо щось про зміну цих величин. Кристалічний імпульс дорівнює хвильовому вектору, масштабованому константою Планка.

\[\overrightarrow{M}_{crystal} = \hbar \overrightarrow{k} \nonumber \]

Він має одиниці імпульсу\(\frac{kg \cdot m}{s}\), і він був введений в п. 6.3.2. Кінетична енергія одного електрона як функція імпульсу кристала задається

\[\frac{E_{kinetic\, e}}{e^-} = \frac{\left(\overrightarrow{M}_{crystal}\right)^2}{2m} = \frac{\left(\hbar |\overrightarrow{k}|\right)^2}{2m}. \label{13.3.18} \]

Вектор у зворотному просторі представлений Equation\ ref {13.3.14}, а Equation\ ref {13.3.18} можна спростити, оскільки ми передбачаємо сферичну симетрію\(\tilde \theta = \tilde \phi = 0\). Величина хвильового вектора стає\(|\overrightarrow{k}| = \tilde r\), і ми можемо записати енергію як

\[\frac{E_{kinetic\, e}}{e^-} = \frac{\hbar^2 \tilde r^2}{2m}. \label{13.3.19} \]

Так само, як кожен електрон має свій імпульс\(m|\overrightarrow{v}|\), кожен електрон має свій кришталевий імпульс\(\hbar |\overrightarrow{k}|\). Однак ми знаємо деяку інформацію про хвильовому\(|\overrightarrow{k}|\) векторі електронів в атомі. При\(T = 0\) К електрони займають найнижчі дозволені енергетичні стани. Енергетичні держави зайняті до якоїсь найвищої зайнятої держави, яка називається енергією Фермі\(E_f\). Хоча інженери-електрики використовують термін енергія Фермі, хіміки іноді використовують термін хімічний потенціал\(\mu_{chem}\). Найнижчі енергетичні стани, зайняті в той час як вищі порожні. Аналогічно хвильові вектори зайняті до деякого найвищого зайнятого хвильового вектора, який називається хвильовим вектором Фермі\(k_f\).

\[ |\overrightarrow{k}| = \begin{cases} \text{filled state} & \tilde r < k_f \\ \text{empty state} & \tilde r > k_f \end{cases} \nonumber \]

Енергія Фермі і хвильовий вектор Фермі пов'язані

\[E_f = \frac{\hbar^2 k^2_f}{2m}. \label{13.3.21} \]

Ми використовуємо ідею зворотного простору для написання виразу для кінетичної енергії електронів на одиницю об'єму [136, с. 49]. Кінетична енергія, обумовлена будь-яким електроном як функція положення у зворотному просторі, задається Equation\ ref {13.3.19}. Відзначимо, що при кожному\(|\overrightarrow{k}| = \tilde r\) значенні електрон має різну кінетичну енергію. Щоб знайти кінетичну енергію на одиницю об'єму за рахунок усіх електронів, ми інтегруємо по всьому\(|\overrightarrow{k}| = \tilde r\) в сферичні координати, які зайняті електронами, а потім ділимо на об'єм, зайнятий у\(\overrightarrow{k}\) просторі.

\[\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}} = \frac{1}{\text{vol. occupied in } k \text{ space}} \cdot \int_{\text{filled } k \text{ levels}} \left(\frac{E_{kinetic\, e}}{e^-}\right)\left(\frac{e^-}{\text{volume}}\right) d (\text{vol. all } k \text{ space}) \nonumber \]

Кількість електронів на одиницю об'єму задається

\[\left(\frac{e^-}{\text{volume}}\right) = \frac{-\rho_{ch}}{q}. \nonumber \]

Обсяг, зайнятий у зворотному просторі\(\frac{4}{3}\pi k^3_f\), дорівнює об'єму сфери радіуса\(k_f\).

\[\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}} = \frac{1}{\frac{4}{3}\pi k^3_f} \cdot \int_{\text{filled } k \text{ levels}} \left(\frac{\hbar^2 \tilde r^2}{2m}\right)\left(\frac{-\rho_{ch}}{q}\right) d (\text{vol. all } k \text{ space}) \nonumber \]

Диференціальний елемент об'єму виражається як

\[d^3 |\overrightarrow{k}| = \tilde r^2 \sin \tilde \theta\, d \tilde r \,d \tilde \theta \,d \tilde \phi. \nonumber \]

\[\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}} = \frac{1}{\frac{4}{3}\pi k^3_f} \cdot \int_{\text{filled } k \text{ levels}} \left(\frac{\hbar^2 |\overrightarrow{k}|^2}{2m}\right)\left(\frac{-\rho_{ch}}{q}\right) (\tilde r^2 \sin \tilde \theta\, d \tilde r \,d \tilde \theta \,d \tilde \phi) \nonumber \]

Як описано вище, електрони займають стани у зворотному просторі тільки с\(0 \leq \tilde r \leq k_f\).

\[\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}} = \frac{1}{\frac{4}{3}\pi k^3_f} \cdot \int\limits_{\tilde r = 0}^{k_f} \,\int\limits_{\tilde \theta = 0}^{\pi} \,\int\limits_{\tilde \phi = 0}^{2\pi} \left(\frac{\hbar^2 \tilde r^2}{2m}\right)\left(\frac{-\rho_{ch}}{q}\right) (\tilde r^2 \sin \tilde \theta\, d \tilde r \,d \tilde \theta \,d \tilde \phi) \nonumber \]

Інтеграл вище може бути оцінений безпосередньо. Першим кроком для його оцінки є витягування констант назовні. Як описано вище,\(\rho_{ch}\) варіюється з,\(r\) але ні\(\tilde r\), так що його можна витягнути за межі інтеграла теж.

\[\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}} = \frac{-1}{\frac{4}{3}\pi k^3_f} \cdot \frac{\hbar^2 \rho_{ch}}{2mq} \int\limits_{\tilde r = 0}^{k_f} \,\int\limits_{\tilde \theta = 0}^{\pi} \,\int\limits_{\tilde \phi = 0}^{2\pi} \tilde r^4 \sin \tilde \theta\, d \tilde r \,d \tilde \theta \,d \tilde \phi \nonumber \]

Інтеграл відокремлюється і може бути оцінений.

\[\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}} = \frac{-1}{\frac{4}{3}\pi k^3_f} \cdot \frac{\hbar^2 \rho_{ch}}{2mq} \left( \int\limits_{\tilde \theta = 0}^{\pi} \,\int\limits_{\tilde \phi = 0}^{2\pi} \sin \tilde \theta\, d \tilde r \,d \tilde \theta \,d \tilde \phi \right) \left( \int\limits_{\tilde r = 0}^{k_f} \tilde r^4 d \tilde r \right) \nonumber \]

\[\frac{E_{kinetic \, e}}{\mathbb{V}} = \frac{-1}{\frac{4}{3} \pi k^3_f} \cdot \frac{\hbar^2 \rho_{ch}}{2mq}4\pi \left(\frac{{k_f}^5}{5}\right) \nonumber \]

\[\frac{E_{kinetic \, e}}{\mathbb{V}} =\frac{-3 \rho_{ch} k^2_f \hbar^2}{10mq} \label{13.3.31} \]

Щільність заряду - це функція положення в реальному просторі\(r\), і ми знаходимося в процесі вирішення цієї функції\(\rho_{ch}(r)\). Однак це також залежить від енергії Фермі\(E_f\), а отже, і хвильового вектора Фермі\(k_f\), для атома. Далі знаходимо взаємозв'язок між\(\rho_{ch}\) і\(k_f\). Два електрони допускаються на рівень енергії (обертатися вгору і обертатися вниз), отже, на заповнений\(k\) стан. Кількість заповнених станів на атом у зворотному просторі пов'язано з щільністю заряду.

\[\rho_{ch} = -2q \left( \frac{\text{no. filled } k \text{ states}}{\text{unit vol. in } k \text{ space}}\right) \nonumber \]

У п. 6.3.1 ми побачили, що примітивна клітина у взаємному просторі була\((2 \pi )^3\) часом примітивною клітиною в реальному просторі, тому

\[(\text{unit vol. } k \text{ space}) = (2 \pi )^3 \cdot (\text{unit vol. real space}) = (2 \pi )^3. \nonumber \]

Ми знаємо дещо про хвильові вектори заповнених станів у зворотному просторі. При\(T = 0\) К найнижчі стани заповнюються, а всі інші порожні, і вони заповнюються до радіуса\(k_f\). Обсяг сфери радіуса\(k_f\) задається\(\frac{4}{3}\pi k^3_f\), і це являє собою кількість\(k\) заповнених станів на об'єм зворотного простору. Тому ми можемо спростити вираз вище.

\[\rho_{ch} = -2q \cdot \frac{4}{3} \pi k_f^3 \cdot \frac{1}{(2 \pi )^3} \nonumber \]

\[\rho_{ch} = \frac{-q}{3 \pi^2}k_f^3 \nonumber \]

\[k_f = \left(\frac{-3 \pi^2}{q}\rho_{ch}\right)^{1/3} \label{13.3.36} \]

Ми хочемо написати\(\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}}\) як функцію узагальненого шляху\(V\). Тепер ми можемо досягти цього завдання, об'єднавши рівняння\ ref {13.3.31} і\ ref {13.3.36}.

\[\frac{E_{kinetic \, e}}{\mathbb{V}}= \frac{-3\hbar^2}{10mq}\rho_{ch} \left(\frac{-3\pi^2}{q}\rho_{ch}\right)^{2/3} \nonumber \]

\[\frac{E_{kinetic \, e}}{\mathbb{V}}= \frac{-3\hbar^2}{10mq} \left(\frac{-3\pi^2}{q}\right)^{2/3} \rho_{ch}^{5/3} \nonumber \]

Електрична енергія - це твір заряду і напруги. Більш конкретно, з Рівняння 2.2.7, він дається

\[E = \frac{1}{2}QV. \nonumber \]

Щільність електричної енергії тоді задається

\[\frac{E}{\mathbb{V}} = \frac{1}{2}\rho_{ch}V. \label{13.3.40} \]

Використовуйте рівняння\ ref {13.3.40}, щоб зв'язати\(\rho_{ch}\)\(V\) і.

\[\frac{E_{kinetic \, e}}{\mathbb{V}}= \frac{1}{2}\rho_{ch}V =\frac{-3\hbar^2}{10mq} \left(\frac{-3\pi^2}{q}\right)^{2/3} \rho_{ch}^{5/3} \nonumber \]

Тепер ми пов'язували узагальнений шлях і узагальнений потенціал.

\[V = \frac{-3\hbar^2}{5mq} \left(\frac{-3\pi^2}{q}\right)^{2/3} \rho_{ch}^{2/3} \nonumber \]

\[\rho_{ch} = \left(\frac{-5mq}{3\hbar^2} \cdot \left(\frac{-3\pi^2}{q}\right)^{-2/3} \right)^{3/2} V^{3/2} \nonumber \]

\[\rho_{ch} = \left[ \left(\frac{-5mq}{3\hbar^2}\right)^{3/2} \left(\frac{-q}{3\pi^2}\right)\right] \cdot V^{3/2} \nonumber \]

Нарешті, ми можемо писати\(\frac{E_{kinetic\, e}}{\mathbb{V}}\) як функцію\(V\).

\[\frac{E_{kinetic \, e}}{\mathbb{V}}= \left[ \left(\frac{-5mq}{3\hbar^2}\right)^{3/2} \left(\frac{-q}{3\pi^2}\right)\right]V^{5/2} \nonumber \]

Зверніть увагу, що кількість в дужках вище постійна. Коефіцієнт\(c_0\) визначається з терміну в дужках.

\[c_0 = \left(\frac{-5mq}{3\hbar^2}\right)^{3/2} \left(\frac{-q}{3\pi^2}\right) \label{13.3.46} \]

\[\frac{E_{kinetic \, e}}{\mathbb{V}}=c_{0} V^{5 / 2} \nonumber \]

Тепер ми можемо описати всі терміни Лагранжа з точки зору нашого узагальненого шляху.

\[\frac{E_{Coulomb\, e \,nucl}}{\mathbb{V}} + \frac{E_{e\, e \,interact}}{\mathbb{V}} = \frac{1}{2}\epsilon |\overrightarrow{\nabla}V|^2 \nonumber \]

\[\frac{E_{kinetic \, e}}{\mathbb{V}} = c_{0} V^{5 / 2} \nonumber \]

Гамільтоніан являє собою загальну щільність енергії, а Лагранж являє собою різницю енергетичної щільності цих форм енергії. Гамільтоніан і Лагранж мають форму\(H = H (r, V, \frac{dV}{dr})\) і\(\mathcal{L} = \mathcal{L} (r, V, \frac{dV}{dr})\) де\(r\) знаходиться положення в сферичних координатах. Немає\(\theta\) або\(\phi\) залежність від\(H\) або\(\mathcal{L}\). Все сферично симетрично.

\[H = \frac{1}{2}\epsilon |\overrightarrow{\nabla}V|^2 + c_{0} V^{5 / 2} \nonumber \]

\[\mathcal{L} = \frac{1}{2}\epsilon |\overrightarrow{\nabla}V|^2 - c_{0} V^{5 / 2} \nonumber \]

В якості осторонь розглянемо ще\(E_f = \mu_{chem}\) раз енергію Фермі. За допомогою деякої алгебри ми можемо записати її як функцію напруги. Використовуйте рівняння\ ref {13.3.21},\ ref {13.3.36} та\ ref {13.3.46}.

\[E_f= \frac{\hbar^2k^2_f}{2m} = \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{-3\pi^2 \rho_{ch}}{q}\right)^{2/3} \nonumber \]

\[E_f= \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{-3\pi^2}{q}\right)^{2/3} \left[ \left(\frac{-5mq}{3\hbar^2} \cdot \left( \frac{-3\pi^2}{q}\right)^{-2/3}\right)^{3/2} V^{3/2}\right]^{2/3} \nonumber \]

\[E_f = \frac{-5q}{6}V \nonumber \]

Зверніть увагу, що енергія Фермі - це лише масштабована версія напруги\(V\) щодо рівня землі на\(r = \infty\). Інженери-електрики часто використовують слово напруга синонімом потенціалу. Коли хіміки використовують термін хімічний потенціал, вони мають на увазі ту саму величину, просто масштабовану константою. Подібно до того, як напруга є фундаментальною кількістю електротехніки, яка представляє, як важко переміщати електрони навколо, хімічний потенціал є фундаментальною кількістю хімії, яка представляє, наскільки важко переміщати електрони навколо.