3.1: Математичні вирази

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57261

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Нагадаємо визначення змінної, представлене в розділі 1.6.

Визначення: Змінна

Змінна - це символ (зазвичай буква), який позначає значення, яке може змінюватися.

Давайте додамо визначення математичного виразу.

Визначення: Математичний вираз

Коли ми об'єднаємо числа та змінні дійсним способом, використовуючи такі операції, як додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня та інші операції та функції, які ще не вивчені, отримана комбінація математичних символів називається математичним виразом.

Таким чином,

2 а, х + 5, і у ²,

утворені комбінацією чисел, змінних та математичних операторів, є дійсними математичними виразами. Математичний вираз має бути добре сформованим. Наприклад,

2 + ÷5 х

не є коректним виразом, оскільки немає терміну після знака плюс (некоректно писати +÷ нічого між цими операторами). Аналогічно,

2 + 3 (2)

не є добре сформованим, оскільки дужки не збалансовані.

Переклад слів у математичні вирази

У цьому розділі ми звернемо увагу на переклад словосполучень в математичні вирази. Починаємо з фраз, які переводяться в суми. Існує велика різноманітність словосполучень, які переводяться в суми. Деякі поширені приклади наведені в таблиці\(\PageIndex{1a}\), хоча список далеко не повний. Подібним чином ряд фраз, які переводяться в відмінності, наведені в табл\(\PageIndex{1b}\).

Таблиця\(\PageIndex{1}\): Переклад слів в символи.
Фраза	Перекладається на:	Фраза	Перекладається на:
сума x і 12	х + 12	різниця х і 12	x − 12
4 більше, ніж b	б + 4	4 менше b	b − 4
6 більше, ніж у	від +6	7 віднімається від y	y − 7
44 плюс р	44 + р	44 мінус р	44 − р
На 3 більше, ніж z	з + 3	3 менше, ніж z	z − 3
а) Фрази, які є сумами		б) Фрази, які є відмінностями

Давайте розглянемо деякі приклади, деякі з яких переводяться в вирази, що включають суми, а деякі з яких переводяться в вирази, що включають відмінності.

Приклад 1

Переведіть наступні фрази в математичні вирази:

«12 більше, ніж х,»
«11 менше, ніж у», і
«R зменшився на 9».

Рішення

Ось переклади.

«12 більше, ніж х» стає x + 12.
«11 менше, ніж у» стає y − 11.
«r зменшується на 9» стає r − 9.

Вправа

Переведіть наступні фрази в математичні вирази:

«13 більше х» і
«12 менше, ніж у».

Відповідь

(а) х + 13 і

(б) − 12

Приклад 2

Нехай W представляють ширину прямокутника. Довжина прямокутника на 4 фути більше його ширини. Висловіть довжину прямокутника через його ширину W.

Рішення

Ми знаємо, що ширина прямокутника дорівнює W. Оскільки довжина прямокутника на 4 фути більше ширини, ми повинні додати 4 до ширини, щоб знайти довжину.

\[ \begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{Length} & \text{is} & \colorbox{cyan}{4} & \text{more than} & \colorbox{cyan}{the width} \\ \text{Length} & = & 4 & + & W \end{array}\nonumber \]

Таким чином, довжина прямокутника, в плані його ширини W, дорівнює 4 + W.

Вправа

Ширина прямокутника на 5 дюймів коротше його довжини L. Висловіть ширину прямокутника через його довжину L.

Відповідь: Л − 5

Приклад 3

Рядок розміром 15 дюймів розрізається на дві частини. Нехай х представляють довжину одного з отриманих шматочків. Висловіть довжину другого шматка через довжину x першого шматка.

Рішення

Струна має початкову довжину 15 дюймів. Його розрізають на дві частини і перший шматок має довжину х. Щоб знайти довжину другого шматка, треба відняти довжину першого шматка із загальної довжини.

\[ \begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{Length of the second piece} & \text{is} & \colorbox{cyan}{Total length} & \text{minus} & \colorbox{cyan}{the length of the first piece} \\ \text{Length of the second piece} & = & 15 & - & x \end{array}\nonumber \]

Таким чином, довжина другого шматка, в перерахунку на довжину х першого шматка, відповідає: 12 + x дорівнює 15 − x.

Вправа

Рядок розрізається на дві частини, перший з яких має розміри 12 дюймів. Висловіть загальну довжину рядка як функцію x, де x представляє довжину другого фрагмента рядка.

Відповідь: 12 + х

Існує також велика різноманітність фраз, які переводяться в продукти. Деякі приклади наведені в таблиці 3.2 (a), хоча знову ж таки список далеко не повний. Подібним чином ряд словосполучень переводять в частки, як показано в таблиці 3.2 (b).

Таблиця\(\PageIndex{2}\): Переклад слів в символи.
Фраза	Перекладається на:	Фраза	Перекладається на:
добуток х і 12	12 х	частка х і 12	х/12
4 разів б	4 б	4 ділиться на b	4/б
два рази р	2 р	співвідношення 44 до r	44/ р
а) Фрази, які є продуктами.		б) Фрази, які є відмінностями.

Давайте розглянемо кілька прикладів, деякі з яких переводяться в вирази, що включають продукти, а деякі з яких переводяться в вирази, що включають частки.

Приклад 4

Переведіть такі фрази в математичні вирази: (а) «11 разів х», (б) «частка у і 4» і (в) «двічі а».

Рішення

Ось переклади. а) «11 разів х» стає 11 х. б) «частка y і 4» стає y /4, або еквівалентно,\(\frac{y}{4}\). c) «двічі a» стає 2 a.

Вправа

Перевести в математичні символи: (а) «добуток 5 і х» і (б) «12, розділене на y».

Відповідь: (а) 5 х і (б) 12/ у.

Приклад 5

Сантехнік має трубу невідомої довжини x. Він розрізає його на 4 рівні частини. Знайти довжину кожного шматка через невідому довжину x.

Рішення

Загальна довжина невідома і дорівнює x. Сантехнік ділить його на 4 рівні частини. Щоб знайти довжину кожного шматка, ми повинні розділити загальну довжину на 4.

\[ \begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{Length of each piece} & \text{is} & \colorbox{cyan}{Total length} & \text{divided by} & \colorbox{cyan}{4} \\ \text{Length of each piece} & = & x & \div & 4 \end{array}\nonumber \]

Таким чином, довжина кожного шматка, з точки зору невідомої довжини x, дорівнює x /4, або еквівалентно,\(\frac{x}{4}\).

Вправа

Тесляр розрізає дошку невідомої довжини L на три рівні шматки. Висловіть довжину кожного шматка в перерахунку на L.

Відповідь: Л/3

Приклад 6

Мері інвестує A доларів на ощадний рахунок, сплачуючи 2% відсотків на рік. Вона вкладає п'ять разів цю суму в депозитний сертифікат, сплачуючи 5% на рік. Скільки вона вкладає в депозитний сертифікат, в перерахунку на суму А на ощадному рахунку?

Рішення

Сума на ощадному рахунку - A доларів. Вона вкладає п'ять разів цю суму в депозитний сертифікат.

\[ \begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{Amount in CD} & \text{is} & \colorbox{cyan}{5} & \text{times} & \colorbox{cyan}{Amount in savings} \\ \text{Amount in CD} & = & 5 & \cdot & A \end{array}\nonumber \]

Таким чином, сума, вкладена в депозитний сертифікат, в перерахунку на суму А на ощадному рахунку становить 5 А.

Вправа

Девід інвестує K доларів на ощадний рахунок, сплачуючи 3% на рік. Половину цієї суми він вкладає в ПІФ, виплачуючи 4% на рік. Висловіть суму, вкладену в ПІФ, в перерахунку на К, суму, вкладену на ощадний рахунок.

Відповідь: \(\frac{1}{2}K\)

Комбінації

Деякі фрази вимагають комбінацій математичних операцій, що використовуються в попередніх прикладах.

Приклад 7

Нехай перше число дорівнює x. Друге число на 3 більше, ніж в два рази більше першого числа. Висловіть друге число через перше число x.

Рішення

Перше число - х. Друге число на 3 більше, ніж в два рази більше першого числа.

\[ \begin{aligned} \colorbox{cyan}{Second number} & \text{is} & \colorbox{cyan}{3} & \text{more than} & \colorbox{cyan}{twice the first number} \\ \text{Second number} & = & 3 & + & 2x \end{aligned}\nonumber \]

Тому друге число, в перерахунку на перше число х, дорівнює 3 + 2 х.

Вправа

Друге число в 4 менше, ніж в 3 рази перше число. Висловіть друге число через перше число y.

Відповідь: 3 в− 4

Приклад 8

Довжина прямокутника дорівнює L. Ширина на 15 футів менше, ніж в 3 рази більше довжини. Яка ширина прямокутника в перерахунку на довжину L?

Рішення

Довжина прямокутника дорівнює L. Ширина на 15 футів менше, ніж в 3 рази більше довжини.

\[ \begin{aligned} \colorbox{cyan}{Width} & \text{is} & \colorbox{cyan}{3 times the length} & \text{less} & \colorbox{cyan}{15} \\ \text{Width} & = & 3L & - & 15 \end{aligned}\nonumber \]

Тому ширина, в перерахунку на довжину L, дорівнює 3 L − 15.

Вправа

Ширина прямокутника - W. Довжина на 7 дюймів більше, ніж в два рази більше ширини. Висловіть довжину прямокутника через його довжину L.

Відповідь: 2 Вт+ 7

Вправи

У вправах 1-20 переведіть словосполучення в математичний вираз за участю заданої змінної.

1. «8 разів більше ширини n»

2. «2 рази більше довжини z»

3. «6 разів перевищує суму числа n та 3»

4. «10 разів перевищує суму числа n та 8»

5. «попит в чотири рази»

6. «Постачання у чотири рази»

7. «швидкість y зменшилася на 33»

8. «швидкість u зменшилася на 30»

9. «10 разів більше ширини n»

10. «10 разів більше довжини z»

11. «9 разів перевищує суму числа z і 2»

12. «14 разів перевищує суму числа n та 10»

13. «пропозиція у подвоїлася»

14. «попит в чотири рази»

15. «13 більше, ніж в 15 разів число р»

16. «14 менше, ніж в 5 разів більше числа у»

17. «4 менше, ніж в 11 разів більше числа х»

18. «13 менше, ніж в 5 разів число р»

19. «швидкість u зменшилася на 10»

20. «швидкість w збільшилася на 32»

21. Представлення чисел. Припустимо, n являє собою ціле число.

i) Що означає n + 1?

ii) Що означає n + 2?

iii) Що означає n − 1?

22. Припустимо, 2n являє собою парне ціле число. Як ми можемо представити наступне парне число після 2n?

23. Припустимо, 2n + 1 являє собою непарне ціле число. Як ми можемо представити наступне непарне число після 2n+ 1?

24. Щомісяця виробляється b мішків мульчі. Скільки мішків мульчі випускається щороку?

25. Стів продає вдвічі більше продуктів, ніж Майк. Виберіть змінну і напишіть вираз для продажів кожного чоловіка.

26. Знайдіть математичний вираз для представлення значень.

i) Скільки кварталів у доларах d?

ii) Скільки хвилин у ч годин?

iii) Скільки годин у d днів?

iv) Скільки днів у роках?

v) Скільки місяців у роках?

vi) Скільки дюймів в f футах?

vii) Скільки футів у ярдах?

Відповіді

1. 8н

3. 6 (п + 3)

5. 4б

7. г − 33

9. 10н

11. 9 (з + 2)

13. 2й

15. 15р + 13 17.

11х − 4

19. u − 10

21.

i) n+1 представляє наступне ціле число після n.

ii) n+2 являє собою наступне ціле число після n + 1, або два цілих числа після n.

iii) n − 1 являє собою ціле число перед n.

23. 2н + 3

25. Нехай Майк продавати p продукти. Потім Стів продає продукти 2p.