1.1: Огляд дійсних чисел та абсолютного значення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58269

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Перегляньте набір дійсних чисел.
Перегляньте дійсний числовий рядок і позначення.
Визначте геометричне та алгебраїчне визначення абсолютної величини.

Реальні числа

Алгебру часто описують як узагальнення арифметики. Систематичне використання змінних ¹, букв, що використовуються для представлення чисел, дозволяє нам спілкуватися і вирішувати найрізноманітніші реальні проблеми. З цієї причини ми починаємо з розгляду реальних чисел та їх операцій.

Набір ² - це сукупність об'єктів, зазвичай згрупованих у фігурних дужках$\{ \}$, де кожен об'єкт називається елементом ³. При вивченні математики ми орієнтуємося на спеціальні набори чисел.

\[ \begin{align*} \mathbb { N } &= \underbrace{\{ 1,2,3,4,5 , \dots \}}_{\color{Cerulean}{Natural\: Numbers}} \\[4pt] W &= \underbrace{ \{ 0 , 1,2,3,4,5 , \dots \}}_{\color{Cerulean}{Whole\: Numbers}} \\[4pt] \mathbb{Z} &= \underbrace{ \{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}}_{\color{Cerulean}{Integers}} \end{align*}\]

Три періоди (...) називаються крапками і вказують на те, що числа тривають без обмежень. Підмножина ⁴, позначається, являє собою набір$\subseteq$, що складається з елементів, які належать до заданої множини. Зверніть увагу, що множини натуральних ⁵ і цілих чисел ⁶ є підмножинами множини цілих чисел, і ми можемо записати:

$\mathbb { N } \subseteq \mathbb{Z}$і$W \subseteq \mathbb{Z}$

Набір без елементів називається порожнім набором ⁷ і має свої спеціальні позначення:

$\{\:\:\:\}=\varnothing\: \color{Cerulean}{Empty\: Set}$

Раціональні числа ⁸, що позначаються$\mathbb{Q}$, визначаються як будь-яке число виду,$\frac { a } { b }$ де a і b є цілими числами, а b - ненульовими. Ми можемо описати цей набір за допомогою множини нотації ⁹:

$\mathbb { Q } = \left\{ \frac { a } { b } | a , b \in \mathbb { Z } , b \neq 0 \right\} \color{Cerulean}{Rational\: Numbers}$

Вертикальна лінія | всередині фігурних дужок читає, «такий, що» і символ$\in$ позначає належність набору і читає, «є елементом». Позначення вище в повному обсязі говорить: «множина всіх чисел$\frac{a}{b}$ така, що a і b є елементами множини цілих чисел, а b не дорівнює нулю. » Десяткові числа, які закінчуються або повторюються, є раціональними. Наприклад,

$0.05=\frac{5}{100}$і$0.\overline{6}=0.6666…=\frac{2}{3} $

Множина цілих чисел є підмножиною множини раціональних чисел$\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}$, тому що кожне ціле число може бути виражено у вигляді співвідношення цілого числа і 1. Іншими словами, будь-яке ціле число може бути записано понад 1 і може вважатися раціональним числом. Наприклад,

$7=\frac{7}{1}$

Ірраціональні числа ¹⁰ визначаються як будь-які числа, які не можна записати як співвідношення двох цілих чисел. Незавершені десяткові знаки, які не повторюються, ірраціональні. Наприклад,

$π=3.14159…$і$\sqrt{2}=1.41421…$

Нарешті, множина дійсних чисел ¹¹, що позначається$\mathbb{R}$, визначається як сукупність всіх раціональних чисел, об'єднаних з безліччю всіх ірраціональних чисел. Тому всі визначені до цього часу числа є підмножинами множини дійсних чисел. Підсумовуючи,

Множина парних цілих чисел ¹² - це множина всіх цілих чисел, які рівномірно діляться на$2$. Ми можемо отримати множину парних цілих чисел, множивши кожне ціле число на$2$.

$\{\dots, −6,−4,−2, 0, 2, 4, 6,\dots\} \color{Cerulean}{Even\: Integers}$

Множина непарних цілих чисел ¹³ - це множина всіх ненульових цілих чисел, які не діляться рівномірно на$2$.

$\{\dots,−5,−3,−1, 1, 3, 5,\dots\} \color{Cerulean}{Odd\: Integers}$

Просте число ¹⁴ є цілим числом, більшим за$1$ те, що ділиться тільки на$1$ і саме по собі. Найменше просте число -$2$ а решта обов'язково непарні.

$\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,\dots\} \color{Cerulean}{Prime\: Numbers}$

Будь-яке ціле число$1$, більше того, що не є простим, називається складене число ¹⁵ і може бути однозначно записано як добуток простих чисел. Коли складене число, наприклад$42$, пишеться як твір$42=2⋅21$, ми говоримо, що$2⋅21$ це факторизація ¹⁶ з$42$ і що$2$ і$21$ є факторами ¹⁷. Зверніть увагу, що фактори поділяють число рівномірно. Ми можемо продовжувати писати складові фактори як продукти, поки не залишиться лише твір простих чисел.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Просте факторизація числа$42$

Тому просте факторизація ¹⁸ з$42$ є$2⋅3⋅7$.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Визначте просту факторизацію$210$.

Рішення

Почніть з написання$210$ як продукт з$10$ як фактор. Потім продовжуйте факторинг, поки не залишиться лише твір простих чисел.

$210=10⋅21$

$=2⋅5⋅3⋅7$

$=2⋅3⋅5⋅7$

Оскільки просте факторизація є унікальною, не має значення, як ми виберемо спочатку коефіцієнт числа; кінцевий результат буде однаковим.

Відповідь:

$2⋅3⋅5⋅7$

Дріб ¹⁹ - це раціональне число, записане у вигляді частки, або співвідношення, двох цілих чисел a та b де$b≠0$.

Ціле число над рядком дробу називається чисельником ²⁰, а ціле число нижче називається знаменником ²¹. Два рівних співвідношення, виражені за допомогою різних чисельників і знаменників, називаються еквівалентними дробами ²². Наприклад,

$\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$

Розглянемо наступні факторизації$50$ і$100$:

$50=2⋅25$

$100=4⋅25$

Цифри$50$ і$100$ поділяють коефіцієнт$25$. Спільний фактор називається загальним фактором ²³. Використовуючи той факт$\frac{25}{25}=1$, що, ми маємо

$\frac{50}{100}=\frac{2⋅ \bcancel{25}}{4⋅\bcancel{25}}=\frac{2}{4}⋅\color{Cerulean}{1}$$=\frac{2}{4}$

Поділ$\frac{25}{25}$ і заміна цього фактора на а$1$ називається скасуванням ²⁴. Разом ці основні етапи знаходження еквівалентних дробів визначають процес зменшення ²⁵. Оскільки множники поділяють свій твір рівномірно, ми досягаємо однакового результату, діливши і чисельник, і знаменник на$25$ наступне:

$\frac{ 50\color{Cerulean}{÷25}}{100\color{Cerulean}{÷25}}=\frac{2}{4}$

Знаходження еквівалентних дробів, де чисельник і знаменник є відносно простими ²⁶, або не мають спільного коефіцієнта$1$, крім, називається скороченням до найнижчих чисел ²⁷. Це можна зробити, розділивши чисельник і знаменник на найбільший спільний коефіцієнт (ГКФ). ²⁸ GCF - це найбільше число, яке ділить набір чисел рівномірно. Один із способів знайти GCF$50$ і$100$ полягає в тому, щоб перерахувати всі фактори кожного і визначити найбільшу кількість, яка з'являється в обох списках. Пам'ятайте, кожне число також є фактором самого себе.

$\{1,2,5,10,25,50\} \color{Cerulean}{Factors\: of \: 50}$

$\{1,2,4,5,10,20,25,50,100\} \color{Cerulean}{Factors\: of \: 100}$

Загальні фактори перераховані жирним шрифтом, і ми бачимо, що найбільшим загальним фактором є$50$. Використовуємо наступні позначення для позначення GCF двох чисел: GCF$(50, 100) = 50$. Після визначення ГКФ зменшіть, діливши і чисельник, і знаменник наступним чином:

$\frac{50\color{Cerulean}{÷50}}{100\color{Cerulean}{÷50}}=\frac{1}{2}$

Приклад$\PageIndex{2}$:

Знизити до найнижчих термінів:$\frac{108}{72}$.

Рішення

Швидкий спосіб знайти GCF чисельника і знаменника вимагає від нас спочатку написати кожен як добуток простих чисел. GCF буде добутком всіх загальних простих множників.

$\left. \begin{array} { l } { 108 = \color{Cerulean}{2} \cdot \color{Cerulean}{2} \cdot \color{Cerulean}{3} \cdot \color{Cerulean}{3} \cdot 3 } \\ { 72 = \color{Cerulean}{2} \cdot \color{Cerulean}{2} \cdot 2 \cdot \color{Cerulean}{3} \cdot \color{Cerulean}{3} } \end{array} \right\} \operatorname { GCF } ( 108,72 ) = \color{Cerulean}{2} \cdot \color{Cerulean}{2} \cdot \color{Cerulean}{3} \cdot \color{Cerulean}{3} = 36$

У цьому випадку добутком загальних простих множників є$36$.

$\frac{108}{72}=\frac{108\color{Cerulean}{÷36}}{72\color{Cerulean}{÷36}}=\frac{3}{2}$

Ми можемо перетворити неправильний дріб$\frac{3}{2}$ у змішане число$1\frac{1}{2}$; однак важливо зазначити, що перетворення в змішане число не є частиною процесу скорочення. Ми вважаємо, що неправильні дроби$\frac{3}{2}$, наприклад, зводяться до найнижчих. В алгебрі часто краще працювати з неправильними дробами, хоча в деяких додатках більш доречні мішані числа.

Відповідь:

$\frac{3}{2}$

Згадаймо зв'язок між множенням і діленням:

$Знімок екрана (132) .png$

При цьому дивіденд ²⁹$12$ рівномірно ділиться на дільник ³⁰$6$ для отримання частки ³¹$2$. Це правда загалом, що якщо ми помножимо дільник на частку, ми отримаємо дивіденд. Тепер розглянемо випадок, коли дивіденд дорівнює нулю, а дільник ненульовий:

$\frac{0}{6}=0$так як$6⋅0=0$

Це демонструє, що нуль, поділений на будь-яке ненульове дійсне число, має дорівнювати нулю. Тепер розглянемо ненульове число, поділене на нуль:

$\frac{12}{0}= \color{Cerulean}{?}$або$0⋅ \color{Cerulean}{?}$$=12$

Нуль раз нічого дорівнює нулю, і ми робимо висновок, що немає реального числа такого, що$0⋅?=12$. Таким чином,$12÷0$ частка невизначена ³². Спробуйте на калькуляторі, що це говорить? Для наших цілей ми просто напишемо «undefined». Підсумовуючи, дано будь-яке дійсне число$a≠0$, то

$0 ÷a=\frac{0}{a}=0 \color{Cerulean}{zero}$і$a÷ 0=\frac{a}{0}\color{Cerulean}{undefined}$

Залишилося розглянути випадок, коли дивіденд і дільник обидва дорівнюють нулю.

$\frac{0}{0}=\color{Cerulean}{?}$або$0⋅ \color{Cerulean}{?}$$=0$

Тут, здається, працює будь-яке реальне число. Наприклад,$0⋅5=0$ а також,$0⋅ 3=0$. Тому частка є невизначеною або невизначеною ³³.

$0÷0=\frac{0}{0} \color{Cerulean}{indeterminate}$

У цьому курсі ми стверджуємо,$0÷0$ що не визначено.

Числовий рядок і позначення

Реальна числова лінія ³⁴, або просто числова лінія, дозволяє нам візуально відображати дійсні числа, пов'язуючи їх з унікальними точками на лінії. Справжнє число, пов'язане з точкою, називається координатою ³⁵. Точка на дійсній числовій лінії, яка пов'язана з координатою, називається її графом ³⁶. Щоб побудувати числову лінію, намалюйте горизонтальну лінію зі стрілками на обох кінцях, щоб вказати, що вона триває без обмежень. Далі виберіть будь-яку точку для представлення числа нуль; ця точка називається початком ³⁷.

Позитивні дійсні числа лежать праворуч від походження, а від'ємні дійсні - ліворуч. Число нуль не$(0)$ є ні позитивним, ні негативним. Як правило, кожна галочка являє собою одну одиницю.

Як показано нижче, шкала не завжди повинна бути однією одиницею. У першому цифровому рядку кожна позначка позначає дві одиниці. У другому кожна галочка позначає$\frac{1}{7}$:

Графік кожного дійсного числа відображається у вигляді крапки у відповідній точці на числовій лінії. Частковий графік множини цілих чисел$\mathbb{Z}$, наступний:

Приклад$\PageIndex{3}$:

Графік наведено наступний набір дійсних чисел:$\{−\frac{5}{2}, 0, \frac{3}{2}, 2\}$.

Рішення

Графік чисел на числовому рядку зі шкалою, де кожна позначка позначає$\frac{1}{2}$ одиницю.

Відповідь:

Протилежність ³⁸ будь-якого дійсного числа a дорівнює − a. Протилежні дійсні числа - це однакова відстань від початку на числовій лінії, але їх графіки лежать на протилежних сторонях від походження і числа мають протилежні знаки.

Задано ціле число$−7$, ціле число однакова відстань від початку і з протилежним знаком дорівнює$+7$, або просто$7$.

Тому ми говоримо, що$−7$ протилежне є$−(−7) = 7$. Ця ідея призводить до того, що часто називають подвійним негативним властивістю ³⁹. Для будь-якого дійсного числа a,

$−(−a)=a$

Приклад$\PageIndex{4}$:

Розрахувати:$−(−(−\frac{3}{8})).$

Рішення

Тут ми застосовуємо подвійний негатив у самих внутрішніх дужках спочатку.

$−(\color{Cerulean}{−(−\frac{3}{8})})=−(\frac{3}{8})$

$=−\frac{3}{8}$

Відповідь:

$−\frac{3}{8}$

Загалом, непарна кількість послідовних негативних знаків призводить до негативного значення, а парне число послідовних негативних знаків призводить до позитивного значення.

При порівнянні дійсних чисел на числовому рядку більше число завжди буде лежати праворуч від меншого. Зрозуміло, що$15$ більше$5$, але це може бути не так зрозуміло, щоб побачити, що$−1$ більше, ніж$−5$ поки ми графуємо кожне число на числовому рядку.

Ми використовуємо символи, щоб допомогти нам ефективно спілкуватися між числами на числовому рядку.

$\color{Cerulean}{Equality Relationships Order Relationships}$

$=$«дорівнює»$<$ «менше, ніж»

$\neq$«не дорівнює»$>$ «більше, ніж»

$\approx$«приблизно дорівнює»$\leq$ «менше або дорівнює»

$\geq$«більше або дорівнює»

Зв'язок між цілими числами ⁴⁰ на попередній ілюстрації може бути виражений двома способами:

$−5<−1 \color{Cerulean}{"Negative\: five\: is\: less\: than\: negative\: one." }$

або

$−1>−5 \color{Cerulean}{"Negative\: one\: is\: greater\: than\: negative\: five."}$

Символи$<$ і$>$ використовуються для позначення суворих нерівностей ⁴¹, а символи$\leq$ і$\geq$ використовуються для позначення інклюзивних нерівностей ⁴². У деяких ситуаціях може бути правильно застосований більше одного символу. Наприклад, такі два твердження є вірними:

$−10<0$і$−10≤0$

Крім того, компонент інклюзивного нерівності «або дорівнює» дозволяє правильно записати наступне:

$−10≤−10$

Логічне вживання слова «або» вимагає, щоб істинним було лише одне з умов: «менше ніж» або «дорівнює».

Приклад$\PageIndex{5}$:

Заповніть бланк з$<, =,$ або$ >: −2$ ___$−12$.

Рішення

Використовуйте,$>$ оскільки граф$−2$ знаходиться праворуч від графіка$−12$ на числовому рядку. Тому$−2 > −12$, де написано: «негативні два більше негативних дванадцяти. »

Відповідь:

$−2 > −12$

Алгебраїчна нерівність ⁴³$x\geq 2$, наприклад, читається: «х більше або дорівнює»$2$. Тут буква х - це змінна, яка може представляти будь-яке дійсне число. Однак оператор$x\geq 2$ накладає умову на змінну. Розчини ⁴⁴ - це значення для x, які задовольняють умові. Ця нерівність має нескінченно багато рішень для x, деякі з яких є$2, 3, 4.1, 5, 20,$ і$20.001$. Оскільки неможливо перерахувати всі рішення, потрібна система, яка дозволяє чітко спілкуватися з цим нескінченним набором. Поширеними способами вираження розв'язків нерівності є їх побудова графіків на числовому рядку, використання інтервальних позначень або використання множинних позначень.

Щоб виразити рішення графічно, намалюйте числову лінію і затіньте у всіх значеннях, які є розв'язками нерівності. Це називається графіком множини розв'язку ⁴⁵. Інтервал і набір позначень слідують:

«x більше або дорівнює$2$»$x\geq 2$

$\color{Cerulean}{Interval notation:}$$[\, 2,∞)$

$\color{Cerulean}{Set notation:}$$\{x\in\mathbb{R} | x\geq 2\}$

У цьому прикладі існує інклюзивна нерівність, що означає, що нижня межа$2$ включена в набір розв'язків. Позначте це замкнутою крапкою на цифровій лінії і квадратною дужкою в інтервальних позначеннях. Символ$∞$ читається як «нескінченність ⁴⁶» і вказує на те, що множина необмежена праворуч на числовому рядку. Якщо використовується стандартна клавіатура, використовуйте (inf) як скорочену форму для позначення нескінченності. Тепер порівняйте позначення в попередньому прикладі з позначенням суворої або неінклюзивної нерівності, яка наступна:

«x менше, ніж$3$"$x<3$

$\color{Cerulean}{Interval\: notation:}$$(−∞,3)$

$\color{Cerulean}{Set\: notation:}$$\{x\in\mathbb{R} | x<3\}$

Суворі нерівності означають, що рішення можуть наблизитися до граничної точки, в даному випадку$3$, але насправді не включати її. Позначте цю ідею відкритою крапкою на числовій лінії і круглою дужкою в інтервальних позначеннях. Символ$−∞$ читається як «негативна нескінченність ⁴⁷» і вказує на те, що множина необмежена ліворуч на числовому рядку. Нескінченність є прив'язаною до дійсних чисел, але сама по собі не є дійсним числом: вона не може бути включена в набір розв'язків і, отже, завжди укладена дужками.

Інтервальне позначення є текстовим і визначається після побудови графіків рішення, встановленого на числовому рядку. Числа в інтервальних позначеннях повинні бути записані в тому ж порядку, в якому вони з'являються на числовому рядку, причому менші числа в наборі з'являються першими. Множинні позначення, іноді звані нотацією set-builder, дозволяє описати множину за допомогою звичних математичних позначень. Наприклад,

$\{x\in\mathbb{R} | x\geq 2\}$

Тут$x\in\mathbb{R}$ описується тип номера. Це означає, що змінна x представляє дійсне число. Оператор -$x\geq 2$ умова, що описує множину за допомогою математичних позначень. На даний момент в нашому вивченні алгебри передбачається, що всі змінні представляють дійсні числа. З цієї причини можна опустити «$\in\mathbb{R}$», і написати

$\{x|x\geq 2\}$

Приклад$\PageIndex{6}$:

Графік розв'язку задають і дають інтервал і встановити еквіваленти позначення:$x<−20$.

Рішення

Використовуйте відкриту крапку на$−20$, через сувору нерівність$<$, і затіньте всі дійсні числа ліворуч.

Відповідь:

Інтервальні позначення:$(−∞,−20)$; встановити позначення:$\{x|x<−20\}$

Складна нерівність ⁴⁸ - це фактично дві або більше нерівностей в одному твердженні, з'єднаних словом «і» або словом «або». Складні нерівності з логічним «або» вимагають, щоб будь-яка умова повинна бути задоволена. Тому множина розв'язків цього типу складених нерівностей складається з усіх елементів множин розв'язків кожної нерівності. Коли ми приєднуємося до цих індивідуальних наборів рішення, це називається союзом ⁴⁹, позначається$\cup$. Наприклад,

$x<3$або$x\geq 6$

$\color{Cerulean}{Interval notation:}$$(−∞,3)\cup[6,∞)$

$\color{Cerulean}{Set notation:}$$\{x| x<3 or x\geq 6\}$

Нерівність, така як,

$−1\leq x<3$

читає, «негативна одиниця менше або дорівнює x, а x менше трьох.» Це насправді складна нерівність, оскільки її можна розкласти наступним чином:

$−1\leq x$і$x<3$

Логічне «і» вимагає, щоб обидві умови були істинними. Обидві нерівності задовольнятимуть всі елементи в перетині ⁵⁰, позначені$\cap$, множин розв'язків кожного.

Приклад$\PageIndex{7}$:

Графік і дати інтервал позначення еквівалент:$−1\leq x<3$.

Рішення

Визначте перетин, або перекриття, двох наборів рішень до$x<3$ і$x\geq −1$. Розв'язки кожної нерівності намальовані над числовою лінією як засіб для визначення перетину, яке зображено на цифровій лінії нижче.

Тут не$3$ є рішенням, оскільки воно вирішує лише одну з нерівностей. Крім того, ми можемо інтерпретувати$−1\leq x<3$ як усі можливі значення для x між або обмеженими,$−1$ і$3$ де$−1$ включено до набору розв'язків.

Відповідь:

Інтервальні позначення:$[\,−1, 3)$; встановити позначення:$\{x|−1\leq x<3\}$

У цьому тексті ми часто вказуємо еквівалентні позначення, що використовуються для вираження математичних величин в електронному вигляді за допомогою стандартних символів, доступних на клавіатурі.

$× " * " ≥ " >= "$

$÷ " / " ≤ " <= " $

$ ≠ " != "$

Багато калькулятори, системи комп'ютерної алгебри і мови програмування використовують позначення, представлені вище, в лапках.

Абсолютна величина

Абсолютне значення ⁵¹ дійсного числа a, що позначається$|a|$, визначається як відстань між нулем (початком) і графіком цього дійсного числа на числовій лінії. Оскільки це відстань, вона завжди позитивна. Наприклад,

$|−4|=4$і$|4|=4$

Обидва$4$ і$−4$ є чотирма одиницями від походження, як показано нижче:

Також варто відзначити, що,

$|0|=0$

Алгебраїчне визначення абсолютної величини дійсного числа a наступне:

$| a | = \left\{ \begin{aligned} a & \text { if } a \geq 0 \\ - a & \text { if } a < 0 \end{aligned} \right.$

Це називається кусковим визначенням ⁵². Результат залежить від кількості а. Якщо a невід'ємне, на що вказує нерівність$a\geq 0$, то абсолютним значенням буде це число a. Якщо a від'ємне, на що вказує нерівність$a<0$, то абсолютне значення буде протилежним цьому числу, − a. Результати будуть такими ж, як і геометричне визначення. Наприклад, для визначення$|−4|$ робимо зауваження, що значення негативне і використовуємо другу частину визначення. Абсолютна величина буде протилежною$−4$.

$|−4|=−(−4)$

$=4$

У цей момент ми можемо визначити, які дійсні числа мають певні абсолютні значення.

Приклад$\PageIndex{8}$:

Визначте значення, представлені$x: | x |=6$.

Рішення

Подумайте про дійсне число, відстань якого до початку становить 6 одиниць. Є два рішення: відстань праворуч від початку і відстань зліва від початку, а саме$\{±6\}$. Символ$±$ читається «плюс або мінус» і вказує на те, що є дві відповіді, один позитивний і один негативний.

$|−6|=6$і$|6|=6$

Відповідь:

x = ± 6

Приклад$\PageIndex{9}$:

Визначте значення, представлені$x: | x |=−6$.

Рішення

Тут ми хочемо знайти значення, де відстань до початку від'ємне. Оскільки від'ємна відстань не визначена, це рівняння не має рішення. Використовуйте порожній набір$Ø$, щоб позначити це.

Відповідь:

$Ø$

Абсолютне значення можна висловити текстуально за допомогою позначення abs (a). Ми часто стикаємося з негативними абсолютними значеннями, такими як$−|3|$ або$−abs(3)$. Зверніть увагу, що негативний знак знаходиться перед символом абсолютного значення. У цьому випадку спочатку спрацюйте абсолютне значення, а потім знайдіть протилежне результату.

$\begin{array} { r r r } { - | 3 | } & { } & { - | - 3 | } \\ { \color{Cerulean}{\downarrow} } & { \text { and } } & { \color{Cerulean}{\downarrow} } \\ { = - 3 } & { } & { = - 3 } \end{array}$

Намагайтеся не плутати це з подвійним негативним властивістю, яке говорить про це$− (−3) = +3$.

Приклад$\PageIndex{10}$:

Спростити:$−(−|−50|)$.

Рішення

Спочатку знайдіть абсолютне значення,$−50$ а потім застосуйте подвійне негативне властивість.

$−(−\color{Cerulean}{|−50|}$$ )=−(−50)$

$=50$

Відповідь:

$50$

Ключові виноси

Алгебру часто описують як узагальнення арифметики. Систематичне використання змінних, що використовуються для представлення дійсних чисел, дозволяє нам спілкуватися і вирішувати найрізноманітніші реальні проблеми. Тому важливо переглянути підмножини дійсних чисел і їх властивості.
Числова лінія дозволяє нам візуально відображати дійсні числа, пов'язуючи їх з унікальними точками на лінії.
Спеціальні позначення використовуються для передачі рівності та порядку відносин між числами на числовому рядку.
Абсолютне значення дійсного числа визначається геометрично як відстань між нулем і графіком цього числа на числовому рядку. Як варіант, абсолютне значення дійсного числа визначається алгебраїчно кусково. Якщо дійсне число a невід'ємне, то абсолютним значенням буде число a. Якщо a від'ємне, то абсолютне значення буде протилежним цьому числу, − a.

Вправа$\PageIndex{1}$

Використовуйте нотації set для переліку описаних елементів.

Будь-яке інше додатне непарне число до$21$.
Будь-яке інше позитивне парне число до$22$.
парні прості числа.
Раціональні числа, які також нераціональні.
Безліч від'ємних цілих чисел.
Безліч від'ємних парних чисел.
Три послідовних непарних цілих числа, що починаються з$13$.
Три послідовних парних цілих числа, що починаються з$22$.

Відповідь

1. $\{1, 5, 9, 13, 17, 21\}$

3. $\{2\}$

5. $\{\dots,−3, −2, −1\}$

7. $\{13, 15, 17\}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Визначте просту факторизацію заданого складного числа.

$195$
$78$
$330$
$273$
$180$
$350$

Відповідь

1. $3⋅5⋅13$

3. $2⋅3⋅5⋅11$

5. $2⋅2⋅3⋅3⋅5$

Вправа$\PageIndex{3}$

Знизити до найнижчих термінів.

$\frac{42}{30}$
$\frac{105}{70}$
$\frac{84}{120}$
$\frac{315}{420}$
$\frac{60}{45}$
$\frac{144}{120}$
$\frac{64}{128}$
$\frac{72}{216}$
$\frac{0}{25}$
$\frac{33}{0}$

Відповідь

1. $\frac{7}{5}$

3. $\frac{7}{10}$

5. $\frac{4}{3}$

7. $\frac{1}{2}$

9. $0$

Вправа$\PageIndex{4}$

Графік наведені нижче набори чисел.

$\{−5, 5, 10, 15\}$
$\{−4, −2, 0, 2, 4\}$
$\{−\frac{3}{2},−\frac{1}{2}, 0, 1, 2\}$
$\{−\frac{3}{4},−\frac{1}{4}, 0, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}\}$
$\{−5,−4,−3,−1, 1\}$
$\{−40, −30, −20, 10, 30\}$

Відповідь: Малюнок$\PageIndex{19}$

Малюнок$\PageIndex{20}$

Малюнок$\PageIndex{21}$

Вправа$\PageIndex{5}$

Спростити.

$−(−10)$
$−(−\frac{3}{5})$
$−(−(−12))$
$−(−(−\frac{5}{3}))$
$−(−(−(−\frac{1}{2})))$
$−(−(−(−(−\frac{3}{4}))))$

Відповідь

1. $10$

3. $−12$

5. $\frac{1}{2}$

Вправа$\PageIndex{6}$

Заповніть бланк с$<, =, or >$.

$−10$_____$−15$
$−101$_____$−100$
$−33$_____$0$
$0$_____$−50$
$−(−(−2))$_____$−(−3)$
$−(−(−\frac{1}{2}))$_____$−\frac{1}{4}$
$−(−(−\frac{2}{3}))$_____$−(−\frac{1}{2})$
$−(−\frac{2}{3})$_____$−(−(−(−\frac{2}{3})))$

Відповідь

1. $>$

3. $<$

5. $<$

7. $<$

Вправа$\PageIndex{7}$

Правда чи брехня.

$0=0$
$5\leq 5$
$1.0\overline{32}$нераціонально.
$0$є невід'ємним числом.
Будь-яке ціле число є раціональним числом.
Постійна$π$ раціональна.

Відповідь

1. Правда

3. Помилковий

5. Правда

Вправа$\PageIndex{8}$

Графік розв'язку задають і дають інтервальні позначення еквівалента.

$x<−1$
$x>−3$
$x\geq −8$
$x\leq 6$
$−10\leq x<4$
$3<x\leq 7$
$−40<x<0$
$−12\leq x\leq −4$
$x<5$і$x\geq 0$
$x\leq −10$і$x\geq −40$
$x\leq 7$і$x<10$
$x<1$і$x>3$
$x<−2$або$x\geq 5$
$x\leq 0$або$x\geq 4$
$x<6$або$x>2$
$x<0$або$x\leq 5$

Відповідь

1. $(−∞, −1)$;

3. $[8,∞)$;

5. $[−10,4)$;

7. $(−40,0)$;

9. $[0,5)$;

11. $(−∞,7)$;

13. $(−∞,−2)\cup [5,∞)$;

15. $(−∞,∞)=\mathbb{R}$;

Вправа$\PageIndex{9}$

Напишіть еквівалентну нерівність.

Всі дійсні числа менше$−15$.
Всі дійсні числа більше або рівні$−7$.
Всі дійсні числа менше$6$ і більше нуля.
Всі дійсні числа менше нуля і більше$−5$.
Усі дійсні числа менше або рівні$5$ або більше$10$.
Всі дійсні числа між$−2$ і$2$.

Відповідь

1. $x<−15$

3. $0<x<6$

5. $x\leq 5$або$x>10$

Вправа$\PageIndex{10}$

Визначте нерівність за даними відповідей, виражених в інтервальних позначеннях.

$(−∞,12)$
$[−8,∞)$
$(−∞,0]$
$(0,∞)$
$(−6,14)$
$(0,12]$
$[5,25)$
$[−30,−10]$
$(−∞,2)\cup [3,∞)$
$(−∞,−19]\cup [−12,∞)$
$(−∞,−2)\cup (0,∞)$
$(−∞,−15]\cup (−5,∞)$

Відповідь

1. $x<12$

3. $x\leq 0$

5. $−6<x<14$

7. $5\leq x<25$

9. $x<2$або$x\geq 3$

11. $x<−2$або$x>0$

Вправа$\PageIndex{11}$

Спростити.

$|−9|$
$|14|$
$−|−4|$
$−|8|$
$−|−\frac{5}{8}|$
$−(−|\frac{7}{2}|)$
$−|−(−7)|$
$−|−(−10)|$
$−(−|−2|)$
$−(−|−10|)$
$−(−|−(−5)|)$
$−(−(−|−20|))$

Відповідь

1. $9$

3. $−4$

5. $−\frac{5}{8}$

7. $−7$

9. $2$

11. $5$

Вправа$\PageIndex{12}$

Визначте значення, представлені a.

$|a|=10$
$|a|=7$
$|a|=\frac{1}{2}$
$|a|=\frac{9}{4}$
$|a|=0$
$|a|=−1$

Відповідь

1. $a=±10$

3. $a=±\frac{1}{2}$

5. $a=0$

Вправа$\PageIndex{13}$

Досліджуйте та обговорюйте походження та еволюцію алгебри.
Досліджуйте та обговоріть причини, чому алгебра є обов'язковим предметом сьогодні.
Множини розв'язків до нерівностей можуть бути виражені за допомогою графіка, інтервальних позначень або множинних позначень. Обговоріть переваги і недоліки кожного методу. Якому ви віддаєте перевагу?
Досліджуйте та обговоріть фундаментальну теорему алгебри. Проілюструйте його ідею на прикладі і поділіться своїми результатами.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹ Букви, що використовуються для представлення цифр.

² Будь-яка колекція предметів.

³ Об'єкт у множині.

⁴ Набір, що складається з елементів, які належать до заданої множини.

⁵ Набір рахункових чисел:$\{1, 2, 3, 4, 5, \dots\}$.

^{6 Безліч} натуральних чисел, об'єднаних з нулем:$\{0, 1, 2, 3, 4, 5,\dots\}$.

⁷ Підмножина без елементів, позначена$Ø$ або$\{ \}$.

⁸ Числа виду$\frac{a}{b}$, де a і b є цілими числами, а b - ненульовими.

^{9 Позначення}, що використовуються для опису множини за допомогою математичних символів.

¹⁰ Числа, які не можна записати як співвідношення двох цілих чисел.

^{11 Сукупність} всіх раціональних і ірраціональних чисел.

¹² Цілих чисел, які діляться на$2$.

¹³ Ненульові цілі числа, які не діляться на$2$.

¹⁴ Ціле число більше$1$, ніж це ділиться тільки на$1$ і саме по собі.

^{15 Цілі} числа, більші за$1$ це, не є простими.

¹⁶ Будь-яка комбінація факторів, помножених разом, в результаті виходить твір.

¹⁷ Будь-яке з чисел, що утворюють твір.

¹⁸ Унікальна факторизація натурального числа, записаного як добуток простих чисел.

¹⁹ Раціональне число, записане у вигляді частки двох цілих чисел:${a}{b}$, де$b ≠ 0$.

²⁰ Число над бруском дробу.

²¹ Число нижче бруска дробу. \

²² Два рівних дробу, виражені за допомогою різних чисельників і знаменників.

²³ Фактор, який ділиться більш ніж одним дійсним числом.

²⁴ Процес поділу загальних факторів в чисельнику і знаменнику.

²⁵ Процес знаходження еквівалентних дробів шляхом ділення чисельника і знаменника на загальні множники.

²⁶ Числа, які не мають спільного фактора, крім$1$.

²⁷ Пошук еквівалентних дробів, де чисельник і знаменник не мають спільного цілого коефіцієнта, крім$1$.

²⁸ Найбільший спільний множник будь-якої кількості цілих чисел.

²⁹ Число, яке потрібно розділити на інше число.

³⁰ Число, яке ділиться на дивіденди.

³¹ Результат поділу.

³² Коефіцієнт, такий як$\frac{5}{0}$ залишається без сенсу і не присвоюється тлумачення.

³³ Коефіцієнт, такий як,$\frac{0}{0}$ є невизначеним або неоднозначним величиною.

³⁴ Лінія, яка дозволяє нам візуально представляти дійсні числа, пов'язуючи їх з точками на лінії.

³⁵ Справжнє число, пов'язане з точкою на числовій лінії.

³⁶ Точка на числовій лінії, пов'язана з координатою.

³⁷ Точка на числовій лінії, яка представляє нуль.

³⁸ Реальні числа, графіки яких знаходяться на протилежних сторонях від початку з однаковою відстанню до початку.

³⁹ Протилежність негативному числу позитивна:$−(−a) = a$.

^{40 Безліч} позитивних і від'ємних цілих чисел, об'єднаних з нулем:$\{\dots , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$.

⁴¹ Висловіть впорядкування відносин, використовуючи символ$<$ для «менше, ніж» і$>$ для «більше».

⁴² Використовуйте символ$≤$ для вираження величин, які «менше або рівні», і$≥$ для величин, які «більше або рівні» один одному.

⁴³ Алгебраїчні вирази, пов'язані з символами$≤, <, \geq$ і$>$.

⁴⁴ Значення, які можуть бути використані замість змінної для задоволення заданої умови.

^{45 Розв'язки} алгебраїчного виразу, вираженого на числовому рядку.

⁴⁶ Символ$∞$ вказує, що інтервал необмежений праворуч.

⁴⁷ Символ$−∞$ вказує, що інтервал необмежений вліво.

⁴⁸ Дві або більше нерівностей в одному твердженні приєднані словом «і» або словом «або».

⁴⁹ Безліч, утворений шляхом приєднання окремих наборів рішення, позначається логічним вживанням слова «або» і позначається символом$\cup$.

⁵⁰ Множина, утворена спільними значеннями окремих розв'язувальних множин, що позначається логічним вживанням слова «і», що позначається символом$\cap$.

⁵¹ Абсолютне значення числа являє собою відстань від графіка числа до нуля на числовому рядку.

⁵² Визначення, яке змінюється в залежності від значення змінної.