1.4: Ірраціональні числа

Найвідомішим з усіх ірраціональних чисел є\(\sqrt{2}\). Ми встановлюємо\(\sqrt{2} \ne \dfrac{a}{b}\) з новим доказом, який не використовує аргументи подільності.

Припустимо\(a\),\(\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}\) (,\(b\) цілі числа), з\(b\) якомога меншими. Потім\(b < a < 2b\) так, щоб

\(\dfrac{2ab}{ab} = 2\),\(\dfrac{a^2}{b^2} = 2,\) і\(\dfrac{2ab - a^2}{ab - b^2} = 2 = \dfrac{a(2b - a)}{b(a - b)}\).

Таким чином

\(\sqrt{2} = \dfrac{2b - a}{a - b}\).

Але\(a < 2b\) і\(a - b < b\); отже, ми маємо раціональне уявлення\(\sqrt{2}\) з знаменником меншим, ніж найменший можливий!

Щоб переконати учнів у існуванні ірраціональності, можна почати з доказу ірраціональності\(\log_{10} 2\). Якщо\(\log_{10} 2 = \dfrac{a}{b}\) то\(10^{a/b} = 2\) або\(10^a = 2^b\). Але тепер ліва сторона ділиться на 5, тоді як права - ні.

Також не настільки звичним, як повинно бути, є той факт, що\(\cos 1^{\circ}\) (і\(\sin 1^{\circ}\)) нераціонально. Від

\(\cos 45^{\circ} + i \sin 45^{\circ} = (\cos 1^{\circ} + i \sin 1^{\circ})^{45}\)

виводимо, що\(45^{\circ}\) може бути виражено у вигляді полінома в цілочисельних коефіцієнтах в\(\cos 1^{\circ}\). Отже, якби\(\cos 1^{\circ}\) були раціональними, так було б\(\cos 45^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\).

Справа в тому, що

\(\cos 1 = 1 - \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{4!} - \cdot\cdot\cdot\)

ірраціональність може бути доведена так само, як і ірраціональність\(e\). В останньому випадку, припускаючи\(e\) раціональне,

\(\dfrac{b}{a} = e = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \cdot\cdot\cdot + \dfrac{1}{(a + 1)!} + \dfrac{1}{(a + 2)!} + \cdot\cdot\cdot\),

який після множення на означатиме\(a!\), що\(\dfrac{1}{a + 1} + \dfrac{1}{(a + 1)(a + 2)} + \cdot\cdot\cdot\) є додатним цілим числом менше 1.

Трохи складніший аргумент може бути використаний, щоб показати, що\(e\) не квадратичної ірраціональності, тобто, що якщо\(a, b, c\) цілі числа то\(ae^2 + be + c \ne 0\). Однак доказ трансцендентності все\(e\) ще нелегкий. Більш ранні видання Харді і Райт стверджували, що не було легких доказів того, що π є трансцендентним, але ця ситуація була виправлена в 1947 році І.Нівеном, чий доказ ірраціональності\(\pi\) ми зараз представляємо.

Нехай

\(\pi = \dfrac{a}{b}, f(x) = \dfrac{x^n (a - by)^n}{n!}\), і\(F(x) = f(x) - f^{(2)}(x) + f^{(4)}(x) - \cdot\cdot\cdot,\)

додатне число\(n\), яке вказується пізніше. Так як\(n!f(x)\) має інтегральні коефіцієнти і члени в\(x\)\(\le 2n\) градусі,\(f(x)\) а всі його похідні матимуть інтегральні значення при\(x= 0\). Також для\(x = \pi = \dfrac{a}{b}\), так як\(f(x) = f(\dfrac{a}{b} - x)\). За елементарним обчисленням ми маємо

\(\dfrac{d}{dx} [F'(x) \sin x - F(x) \cos x] = F'' (x) \sin x + F(x) \sin x = f(x) \sin x.\)

Звідси

\(\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx = [F'(x) - F(x) \cos x]_{0}^{\pi} =\)ціле число.

Однак для того\(0 < x < \pi\),

\(0 < f(x) \sin x < \dfrac{\pi^n a^n}{n!} \to 0\)

для великих\(n\). Отже, певний інтеграл є позитивним, але довільно малим для великих\(n\); це протиріччя показує, що припущення\(\pi = \dfrac{a}{b}\) є неспроможним.

Це доказ було розширено різними способами. Наприклад, Нивен також довів, що косинус раціонального числа нераціональний. Якби зараз\(\pi\) були раціональними,\(\cos \pi = −1\) було б нераціонально. Далі метод також може бути використаний для доведення ірраціональності певних чисел, визначених як корені розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку, що задовольняють особливим граничним умовам. Останнім часом було надано варіацію доказу Нівена, яка, хоча і складніша, дозволяє уникнути використання інтегралів або нескінченних рядів. По-справжньому простого доказу, що\(\pi\) є трансцендентним, тобто не задовольняє жодного поліноміального рівняння з цілими коефіцієнтами, все ще не вистачає.

Що стосується трансцендентних чисел, то існує, по суті, три типи проблем: довести існування таких чисел, побудувати такі числа і нарешті (а це набагато складніше перших двох) довести, що певні числа, що виникають природним шляхом в аналізі, є трансцендентними. Прикладами чисел, які були доведені\(\pi\) трансцендентними\(e\), є\(e^{-\pi}\),, і\(\dfrac{\log 3}{\log 2}\). Тут цікаво зауважити, що постійний\(\gamma\) і

\(\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2s + 1}}\)(\(s\)є цілим числом)

навіть не були доведені нераціонально.

Доказ існування трансцендентних чисел Кантора показує, що алгебраїчні числа підлягають підрахунку, а дійсні числа - ні. Таким чином, кожен незліченний набір чисел містить трансцендентні числа. Наприклад, існує трансцендентне число форми\(e^{i\theta}\)\(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\), скажімо.

Хоча це не зовсім актуально, ми зараз виконаємо невеликий зникаючий трюк, використовуючи таке трансцендентне число\(e^{i\theta}\) і конструкцію завдяки Куратовському.

Розглянемо наступний набір точок в комплексній площині. Почніть з точки\(O\) і нехай\(\tilde{S}\) буде множиною всіх точок, одержуваних від неї послідовністю операцій перекладу точок 1 одиниці вправо і обертання їх через кут\(\theta\) близько\(O\). Якщо ми позначимо такі переклади і обертання\(R\) відповідно\(T\) і, то типова точка нашого множини\(\tilde{S}\) може бути позначена\(T^{a}R^{b}T^{c}R^{d} \cdot\cdot\cdot\). Далі ми зауважимо, що кожна точка\(\tilde{S}\) повинна мати унікальне уявлення в цій формі. Дійсно,\(T\) означає додавання 1 до комплексного числа, відповідного точці, і\(R\) означає множення на\(e^{i\theta}\). Отже, всі наші точки є поліномами в\(e^{i\theta}\) з позитивними коефіцієнтами, скажімо\(z = P (e^{i\theta})\). Але тепер, якщо точка має подвійне подання, то\(P (e^{i\theta}) = R(e^{i\theta})\) і ми отримаємо многочлен, в\(e^{i\theta}\) якому зводить нанівець трансцендентний характер\(e^{i\theta}\).

\(\tilde{T}\)Дозвольте позначити підмножину, з\(\tilde{S}\) яких складається з тих точок,\(\tilde{S}\) для яких остання операція, необхідна для досягнення їх є а\(T\), і нехай\(\tilde{R}\) позначають підмножину, які складаються з тих точок,\(\tilde{S}\) для яких остання операція необхідна для їх досягнення є\(R\). Чітко\(\tilde{S} = \tilde{T} \cup \tilde{R}\) і\(\tilde{T} \cap \tilde{R} = \emptyset\). Переклад однієї одиниці вправо посилає\(\tilde{S}\) в\(\tilde{T}\), тобто він змушує\(\tilde{R}\) зникнути!\(\tilde{S}\) З іншого боку, обертання площини через\(\theta\) посилає\(\tilde{S}\) в\(\tilde{R}\) роблячи\(\tilde{T}\) зникають!

Поки ми обговорювали лише існування трансцендентних чисел. Найпростіший підхід до фактичної побудови таких чисел - через теорему, зумовлену Ліувілем.

Ми говоримо, що алгебраїчне число має ступінь,\(n\) якщо воно задовольняє поліноміальному рівнянню ступеня\(n\). Ми говоримо, що\(\lambda\) дійсне число наближене до порядку за\(n\) умови нерівності

\(|\lambda - \dfrac{a}{b}| < \dfrac{c}{b^n}\)

має нескінченність рішень для якоїсь константи\(c\). Теорема Ліувіля стверджує, що дійсне алгебраїчне число ступеня не\(n\) наближається до будь-якого порядку більше\(n\).

\(\lambda\)Припустимо, має ступінь\(n\). Тоді він задовольняє рівнянню

\(f(\lambda) = a_0 \lambda^n + a_1 \lambda^{n - 1} + \cdot\cdot\cdot + a_n = 0.\)

Є\(M = M(\lambda)\) такий номер, що\(|f'(x)| < M\) де\(\lambda - 1 < x < \lambda + 1\). Припустимо, що тепер\(\dfrac{p}{1} \ne \lambda\) це наближення до\(\lambda\). Ми можемо припустити, що наближення досить добре, щоб гарантувати, що\(\dfrac{p}{q}\) лежить в інтервалі\(\lambda - 1, \lambda + 1)\),

і ближче,\(\lambda\) ніж будь-який інший корінь\(f(x) = 0\), так що\(f(p/q) \ne 0\).

Наочно (див. Рис. 2),

\(|f(\dfrac{p}{q})| = \dfrac{1}{q^n} |a_0p^n + a_1 p^{n - 1} q + \cdot\cdot\cdot + a_n q^n| \ge \dfrac{1}{q^n}\)

і

\(|dfrac{f(p/q)}{\lambda - p/q}| < M\)

щоб

\(|\lambda - \dfrac{p}{q}| > \dfrac{c}{q^n}\)

і теорема доведена.

Хоча теореми Ліувіля вистачає для побудови багатьох трансцендентних чисел, великий інтерес зосереджується на певних уточненнях. Зокрема, бажано мати теорему наступного типу. Якщо\(\lambda\) має ступінь,\(n\) то

\(|\lambda - \dfrac{p}{q}| < \dfrac{M}{q^{f(n)}}\)

має не більше кінцевої кількості рішень. Тут\(f(n)\) можна сприймати як\(n\) теорему Ліувіля. Чи можна його зменшити? Таким чином, про 1909, вперше показав, що можна взяти\(f(n) = \dfrac{n}{2}\) і Зігель (1921) показав, що ми можемо взяти\(f(n) = 2\sqrt{n}\). Це було трохи покращено Дайсоном і Шнайдером до\(\sqrt{2n}\). Зовсім недавно (1955) Ф.К. Рот створив сенсацію, доводячи, що ми можемо прийняти\(f(n) = 2 + \epsilon\). Його доказ довгий і складний. Те, що ми не можемо прийняти\(f(n) = 2\) (отже, результат Рота є найкращим чином) можна побачити з наступного результату через Діріхле.

Для ірраціональних\(\lambda\) існує нескінченно багато рішень

\(|\lambda - \dfrac{p}{q}| < \dfrac{1}{q^2}.\)

Доказ не є складним,\(\lambda\) Дозволяти бути ірраціональним і розглянути\(n\), для фіксованих, числа (\(\lambda\)\(2 \lambda\)), (),..., (\(n \lambda\)), де\((x)\) означає «дробова частина\(x\)». Ці\(n\) точки є окремими точками на\(0, 1)\); отже, існують дві з них говорять\(i\lambda\) і відстань\(j \lambda\) яких один від одного\(\le \dfrac{1}{n}\). Таким чином, ми маємо

\((i\lambda) - (j \lambda) < \dfrac{1}{n}\)

або

\(k \lambda - m \le \dfrac{1}{n}\)(\(k\)і\(m\) цілі числа\(\le n\))

і

\(|\lambda - \dfrac{m}{k}| \le \dfrac{1}{nk} \le \dfrac{1}{n^2},\)

як потрібно.

Тепер повернемося до застосування теореми Ліувіля до побудови трансцендентних чисел.

Розглянемо

\(\dfrac{1}{10^{1!}} + \dfrac{1}{10^{2!}} + \cdot\cdot\cdot + \dfrac{1}{10^{p!}} = \lambda_p\)

а також дійсне число\(\lambda = \lambda_{\infty}\). Легко перевіряється, що\(|\lambda_{\infty} - \lambda_p| < \dfrac{1}{\lambda^{n + 1}\) для кожного\(p\). Отже\(\lambda\), наближається до порядку\(n\) для будь-якого\(n\) і, отже, не є алгебраїчним.