6.2: Еволюція хвильових пакетів

У розділі 6.1.1 ми розглянули еволюцію загальної хвильової функції під час незалежного від часу гамільтоніана. Розв'язок рівняння Шредінгера дано через лінійну суперпозицію власних енергетичних функцій, кожна з яких набуває залежного від часу фазового фактора. Рішенням тоді було накладення хвиль, кожна з різною частотою.

Тепер ми хочемо вивчити випадок, коли власніфункції утворюють безперервну основу,\( \left\{\varphi_{k}\right\} \rightarrow\{\varphi(k)\}\). Точніше, ми хочемо описати, як розвивається вільна частинка в часі. Ми вже знайшли власні функції вільної частинки гамільтоніана (\( \mathcal{H}=\hat{p}^{2} / 2 m\)): вони були задані власними функціями імпульсу\(e^{i k x} \) і більш коректно описують біжучу хвилю. Частка, локалізована в просторі замість цього, може бути описана\( \psi(x, 0)\) wavepacket спочатку добре локалізована в x-просторі (наприклад, гаусовим хвильовим пакетом).

Як розвивається ця хвильова функція в часі? По-перше, слідуючи Розділу 2.2.1, ми виражаємо хвильову функцію з точки зору імпульсу (та енергії) власних функцій:

\[\psi(x, 0)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \bar{\psi}(k) \mathrm{e}^{i k x} d k, \nonumber\]

Ми побачили, що це еквівалентно перетворенню Фур'є\(\bar{\psi}(k)\), тоді\(\psi(x, 0) \) і\( \bar{\psi}(k)\) є парою Фур'є (можна отримати один від одного за допомогою перетворення Фур'є).

Таким чином, функція\(\bar{\psi}(k)\) отримується шляхом перетворення Фур'є хвильової функції при\(t\) = 0. Зверніть увагу ще раз, що функція\( \bar{\psi}(k)\) є безперервно-змінним еквівалентом коефіцієнтів\(c_{k}(0)\).

Другий крок полягає в тому, щоб еволюціонувати в часі суперпозицію. З попереднього розділу ми знаємо, що кожна енергія власноїфункції еволюціонує шляхом придбання фази\( e^{-i \omega(k) t}\), де\(\omega(k)=E_{k} / \hbar\) знаходиться власна енергія. Тоді часова еволюція хвильової функції

\[\psi(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} \bar{\psi}(k) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \varphi(k)} d k, \nonumber\]

де

\[\varphi(k)=k x-\omega(k) t. \nonumber\]

Для вільної частинки у нас є\( \omega_{k}=\frac{\hbar k^{2}}{2 m}\). Якщо частинка натомість стикається з потенціалом (наприклад, у потенційному бар'єрі або потенційних проблемах з лунками, які ми вже бачили),\( \omega_{k}\) може мати більш складну форму. Ми таким чином розглянемо цей більш загальний випадок.

Тепер, якщо він\(\bar{\psi}(k)\) сильно досяг максимуму навколо\(k=k_{0}\), це розумне наближення до Тейлора розширити\(\varphi(k)\)\(k_{0} \). Потім ми можемо\(\bar{\psi}(k)\) наблизити

\[\bar{\psi}(k) \approx e^{-\frac{\left(k-k_{0}\right)^{2}}{4(\Delta k)^{2}}} \nonumber\]

і дотримуючись термінів до другого порядку в\(k-k_{0}\), ми отримуємо

\[\psi(x, t) \propto \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{\left(k-k_{0}\right)^{2}}{4(\Delta k)^{2}}} \exp \left[-\mathrm{i} k x+\mathrm{i}\left\{\varphi_{0}+\varphi_{0}^{\prime}\left(k-k_{0}\right)+\frac{1}{2} \varphi_{0}^{\prime \prime}\left(k-k_{0}\right)^{2}\right\}\right], \nonumber\]

де

\ [\ почати {вирівняний}
\ varphi_ {0} &=\ варфі\ ліворуч (k_ {0}\ праворуч) =k_ {0} x-\ омега_ {0} t,\
\ varphi_ {0} ^ {\ прайм} &=\ frac {d\ varphi\ ліворуч (k_ {0}\ праворуч)} {d k} =x-v_ {g} t,\\
\ varphi_ {0} ^ {\ прайм\ прайм} &=\ frac {d^ {2}\ варфі\ ліворуч (k_ {0}\ праворуч)} {d k^ {2}} =-\ альфа т,
\ end {вирівняний}\ nonumber\]

\[-\mathrm{i} k x+\mathrm{i}\left\{k_{0} x-\omega_{0} t+\left(x-v_{g} t\right)\left(k-k_{0}\right)+\frac{1}{2} \varphi_{0}^{\prime \prime}\left(k-k_{0}\right)^{2}\right\} \nonumber\]

із

\[\omega_{0}=\omega\left(k_{0}\right), \quad v_{g}=\frac{d \omega\left(k_{0}\right)}{d k}, \quad \alpha=\frac{d^{2} \omega\left(k_{0}\right)}{d k^{2}}, \nonumber\]

Як завжди, дисперсія початкової хвильової функції та її перетворення Фур'є пов'язані:\(\Delta k=1 /(2 \Delta x)\), де\(\Delta x\) початкова ширина хвильового пакета і\(\Delta k\) розкид в імпульсі. Змінюючи змінну інтеграції на\(y=\left(k-k_{0}\right) /(2 \Delta k)\), отримуємо

\[\psi(x, t) \propto \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(k_{0} x-\omega_{0} t\right)} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \beta_{1} y-\left(1+\mathrm{i} \beta_{2}\right) y^{2}} d y \nonumber\]

де

\ [\ почати {вирівняний}
\ бета_ {1} &=2\ Дельта k\ ліворуч (x-x_ {0} -v_ {g} t\ праворуч),\\
\ beta_ {2} &=2\ альфа (\ Дельта k) ^ {2} t,
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Вищевказаний вираз можна переставити, щоб дати

\[\psi(x, t) \propto e^{i\left(k_{0} x-\omega_{0} t\right)-\left(1+i \beta_{2}\right) \beta^{2} / 4} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\left(1+i \beta_{2}\right)\left(y-y_{0}\right)^{2}} d y, \nonumber\]

де\(y_{0}=\mathrm{i} \beta / 2 \) і\(\beta=\beta_{1} /\left(1+\mathrm{i} \beta_{2}\right) \).

Знову змінюючи змінну інтеграції на\(z=\left(1+\mathrm{i} \beta_{2}\right)^{1 / 2}\left(y-y_{0}\right)\), отримуємо

\[\psi(x, t) \propto\left(1+\mathrm{i} \beta_{2}\right)^{-1 / 2} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(k_{0} x-\omega_{0} t\right)-\left(1+\mathrm{i} \beta_{2}\right) \beta^{2} / 4} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-z^{2}} d z. \nonumber\]

Інтеграл тепер просто зводиться до числа. Значить, отримуємо

\[\psi(x, t) \propto \frac{e^{i\left(k_{0} x-\omega_{0} t\right)} e^{-\frac{\left(x-x_{0}-v_{g} t\right)^{2}\left[1-i 2 \alpha \Delta k^{2} t\right]}{4 \sigma(t)^{2}}}}{\sqrt{1+i 2 \alpha(\Delta k)^{2} t}}, \nonumber\]

де

\[\sigma^{2}(t)=(\Delta x)^{2}+\frac{\alpha^{2} t^{2}}{4(\Delta x)^{2}}. \nonumber\]

Зауважте, що навіть якщо ми зробили наближення раніше Тейлором, розширюючи фазовий коефіцієнт\(\varphi(k)\) приблизно\(k=k_{0}\), вищезгадана хвильова функція все ще ідентична нашій вихідній хвильовій функції при\(t\) = 0.

Записується щільність ймовірності нашої частинки як функції часу

\[|\psi(x, t)|^{2} \propto \sigma^{-1}(t) \exp \left[-\frac{\left(x-x_{0}-v_{g} t\right)^{2}}{2 \sigma^{2}(t)}\right]. \nonumber\]

Отже, розподіл ймовірностей - це гаусова, характерної ширини\(\sigma(t) \) (збільшується в часі), яка досягає піку при\(x=x_{0}+v_{g} t \). Тепер найбільш імовірне положення нашої частинки явно збігається з піком функції розподілу. Таким чином, найбільш імовірне положення частки задається

\[x=x_{0}+v_{g} t. \nonumber\]

Видно, що частка ефективно рухається з рівномірною швидкістю.

\[v_{g}=\frac{d \omega}{d k}, \nonumber\]

який відомий як групова швидкість. Іншими словами, плоска хвиля рухається з фазовою швидкістю\(v_{p}=\omega / k\), тоді як хвильовий пакет рухається з груповою швидкістю,\(v_{g}=d \omega / d t v_{g}=d \omega / d t\). З співвідношення дисперсії для хвиль частинок групова швидкість дорівнює

\[v_{g}=\frac{d(\hbar \omega)}{d(\hbar k)}=\frac{d E}{d p}=\frac{p}{m}. \nonumber\]

яка ідентична класичній швидкості частинок. Отже, співвідношення дисперсії виявляється узгодженим з класичною фізикою, зрештою, як тільки ми розуміємо, що частинки повинні бути ідентифіковані за допомогою хвильових пакетів, а не плоских хвиль.

Зверніть увагу, що ширина нашого хвильового пакету зростає з часом: характерний час для хвильового пакету початкової ширини, щоб\( \Delta x \Delta x\) подвоїти в просторовій мірі, дорівнює

\[t_{2} \sim \frac{m(\Delta x)^{2}}{\hbar}. \nonumber\]

Так, якщо електрон спочатку локалізований в області атомного масштабу (тобто\( \Delta x \sim 10^{-10} \mathrm{~m}\)), то час подвоєння становить всього близько 10 ⁻¹⁶ с. ясно, що хвильові пакети частинок (для вільно рухаються частинок) поширюються дуже швидко.

Швидкість поширення хвильового пакету в кінцевому рахунку регулюється другою\( \omega(k)\) похідною щодо\(k\),\( \frac{\partial^{2} \omega}{\partial k^{2}}\). Ось чому зв'язок між\(\omega\) і\(k \), як правило, відомий як відношення дисперсії, оскільки він регулює, як хвильові пакети розходяться з плином часу.

Якщо розглядати світлові хвилі, то\( \omega\) це лінійна функція\(k\) і друга похідна по\(\omega\) відношенню до\(k\) дорівнює нулю. Це означає, що немає розсіювання хвильових пакетів, хвильові пакети поширюються без зміни форми. Це, звичайно, вірно для будь-якої іншої хвилі, для якої\(\omega(k) \propto k \). Ще одна властивість лінійних дисперсійних відносин полягає в тому, що фаза-швидкість\(v_{p}=\omega / k \), і групова швидкість,\( v_{g}=d \omega / d k\) ідентичні. Таким чином, світловий імпульс поширюється з тією ж швидкістю плоскої світлової хвилі; обидва поширюються через вакуум з характерною швидкістю\( c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\).

Звичайно, співвідношення дисперсії для хвиль частинок не є лінійним\(k\) (наприклад, для вільних частинок є квадратичним). Отже, плоскі хвилі частинок та хвильові пакети частинок поширюються з різними швидкостями, а хвильові пакети частинок також поступово розсіюються з плином часу.