6.1: Залежне від часу рівняння Шредінгера
- Page ID
- 79410
Коли ми вперше представили квантову механіку, ми побачили, що четвертий постулат QM стверджує, що: Еволюція замкнутої системи є унітарною (оборотною). Еволюція задається залежним від часу рівнянням Шрё Дінгера
\[i \hbar \frac{\partial|\psi\rangle}{\partial t}=\mathcal{H}|\psi\rangle \nonumber\]
де\( \mathcal{H}\) - гамільтоніан системи (енергетичний оператор) і\( \hbar\) - зменшена постійна Планка (\(\hbar=h / 2 \pi \)з\(h\) постійною Планка, що дозволяє перетворювати з одиниць енергії в частотні одиниці).
Ми зосередимося головним чином на рівнянні Шредінгера для опису еволюції квантово-механічної системи. Однак твердження про те, що еволюція замкнутої квантової системи є унітарною, є більш загальним. Це означає, що стан системи в більш пізній час\(t\) задається тим\( \), де\( U(t)\) знаходиться унітарний оператор. Оператор є унітарним, якщо його сполучений U † (отриманий шляхом взяття транспонування і комплексного сполучений оператора,\(U^{\dagger}=\left(U^{*}\right)^{T}\)) дорівнює його оберненому:\(U^{\dagger}=U^{-1}\) і\(U U^{\dagger}=\mathbb{1}\).
Зверніть увагу, що вираз\( |\psi(t)\rangle=U(t)|\psi(0)\rangle\) являє собою інтегральне рівняння, що зв'язує стан за часом нуль зі станом в момент часу\(t\). Наприклад, класично ми могли б написати, що\( x(t)=x(0)+v t\) (де\(v\) швидкість, для постійної швидкості). Ми також можемо написати диференціальне рівняння, яке надає ту саму інформацію: рівняння Шредінгера. Класично, наприклад, (у прикладі вище) еквівалентним диференціальним рівнянням буде\(\frac{d x}{d t}=v \) (загалом ми мали б рівняння Ньютона, що пов'язує прискорення з силою). У QM ми маємо диференціальне рівняння, яке керує еволюцією замкнутих систем. Це рівняння Шредінгера:
\[\boxed{i \hbar \frac{\partial \psi(x, t)}{\partial t}=\mathcal{H} \psi(x, t)} \nonumber\]
де\( \mathcal{H}\) знаходиться гамільтоніан системи. Розв'язок цього рівняння з частинними похідними дає\(\psi(x, t) \) хвильову функцію в будь-який більш пізній час, коли\( \psi(x, 0)\) відомо.
Розв'язки рівняння Шредінгера
Спочатку ми намагаємося знайти рішення у випадку, коли гамільтоніан\( \mathcal{H}=\frac{\hat{p}^{2}}{2 m}+V(x, t)\) такий, що потенціал\(V(x, t)\) є незалежним від часу (ми можемо потім писати\(V (x)\)). У цьому випадку ми можемо використовувати поділ змінних для пошуку рішень. Тобто ми шукаємо рішення, які є добутком функції лише позиції та функції лише часу:
\[\psi(x, t)=\varphi(x) f(t) \nonumber\]
Потім, коли ми беремо часткові похідні, ми маємо, що
\[\frac{\partial \psi(x, t)}{\partial t}=\frac{d f(t)}{d t} \varphi(x), \quad \frac{\partial \psi(x, t)}{\partial x}=\frac{d \varphi(x)}{d x} f(t) \ \text { and } \ \frac{\partial^{2} \psi(x, t)}{\partial x^{2}}=\frac{d^{2} \varphi(x)}{d x^{2}} f(t) \nonumber\]
Рівняння Шредінгера спрощує
\[i \hbar \frac{d f(t)}{d t} \varphi(x)=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \varphi(x)}{x^{2}} f(t)+V(x) \varphi(x) f(t) \nonumber\]
Діливши на\(\psi(x, t) \) ми маємо:
\[i \hbar \frac{d f(t)}{d t} \frac{1}{f(t)}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \varphi(x)}{x^{2}} \frac{1}{\varphi(x)}+V(x) \nonumber\]
Тепер LHS є функцією лише часу, тоді як RHS є функцією лише позиції. Щоб рівняння утримувалося, обидві сторони повинні бути рівні постійній (константа поділу):
\[i \hbar \frac{d f(t)}{d t} \frac{1}{f(t)}=E,-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \varphi(x)}{x^{2}} \frac{1}{\varphi(x)}+V(x)=E \nonumber\]
Два рівняння, які ми знаходимо, є простим рівнянням у змінній часу:
\[\frac{d f(t)}{d t}=-\frac{i}{\hbar} E f(t), \ \rightarrow \ f(t)=f(0) e^{-i \frac{E t}{\hbar}} \nonumber\]
і
\[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \varphi(x)}{x^{2}} \frac{1}{\varphi(x)}+V(x)=E \nonumber\]
що ми вже бачили як незалежне від часу рівняння Шредінгера. Ми широко вивчали розв'язки цього останнього рівняння, оскільки вони є власними функціями енергетично-власної задачі, що дає стаціонарні (рівноважні) стани квантових систем. Зауважте, що для цих стаціонарних рішень\(\varphi(x) \) ми все ще можемо знайти відповідну загальну хвильову функцію, наведену\( \psi(x, t)=\varphi(x) f(t)\), як зазначено вище, яка описує також еволюцію часу системи:
\[\boxed{\psi(x, t)=\varphi(x) e^{-i \frac{E t}{\hbar}}} \nonumber\]
Чи означає це, що держави, які досі ми називали стаціонарними, замість цього розвиваються у часі?
Відповідь - так, але з застереженням. Хоча самі стани розвиваються, як зазначено вище, будь-яка вимірна величина (наприклад, щільність ймовірності\(|\psi(x, t)|^{2} \) або очікувані значення спостережуваних, все ще\( \left.\langle A\rangle=\int \psi(x, t)^{*} A[\psi(x, t)]\right)\) незалежні від часу. (Перевірте це!)
Таким чином, ми правильно називали ці стани стаціонарними і нехтували на практиці їх еволюцією часу при вивченні властивостей описуваних ними систем.
Зверніть увагу, що хвильова функція, побудована з однієї енергії власноїфункції\( \psi(x, t)=\varphi(x) f(t)\), є лише певним рішенням рівняння Шредінгера, але багато інших можливі. Це будуть складні функції простору і часу, форма яких буде залежати від конкретної форми потенціалу\(V (x)\). Як ми можемо описати ці загальні рішення? Ми знаємо, що в цілому ми можемо написати основу, задану власною функцією гамільтоніана. Це функції\(\{\varphi(x)\}\) (як визначено вище незалежним від часу рівнянням Шредінгера). Свій стан гамільтоніана не еволюціонує. Однак ми можемо записати будь-яку хвильову функцію як
\[\psi(x, t)=\sum_{k} c_{k}(t) \varphi_{k}(x) \nonumber\]
Це якраз відповідає вираженню хвильової функції в основі, заданої власними енергетичними функціями. Як завжди, коефіцієнти\(c_{k}(t)\) можна отримати в будь-який момент часу, взявши внутрішній твір:\( \left\langle\varphi_{k} \mid \psi(x, t)\right\rangle\).
У чому полягає еволюція такої функції? Підставляючи в рівняння Шредінгера, ми маємо
\[i \hbar \frac{\partial\left(\sum_{k} c_{k}(t) \varphi_{k}(x)\right)}{\partial t}=\sum_{k} c_{k}(t) \mathcal{H} \varphi_{k}(x) \nonumber\]
що стає
\[i \hbar \sum_{k} \frac{\partial\left(c_{k}(t)\right)}{\partial t} \varphi_{k}(x)=\sum_{k} c_{k}(t) E_{k} \varphi_{k}(x) \nonumber\]
Для кожного\(\varphi_{k} \) ми маємо рівняння лише в коефіцієнтах
\[i \hbar \frac{d c_{k}}{d t}=E_{k} c_{k}(t) \ \rightarrow \ c_{k}(t)=c_{k}(0) e^{-i \frac{E_{k} t}{\hbar}} \nonumber\]
Загальний розв'язок рівняння Шредінгера тоді
\[\psi(x, t)=\sum_{k} c_{k}(0) e^{-i \frac{E_{k} t}{\hbar}} \varphi_{k}(x) \nonumber\]
Ми можемо визначити власні частоти\(\hbar \omega_{k}=E_{k}\) з власних енергій. Таким чином, ми бачимо, що хвильова функція - це суперпозиція хвиль, що\(\varphi_{k}\) поширюються в часі кожна з різною частотою\( \omega_{k}\).
Таким чином, поведінка квантових систем - навіть частинок - часто схожа на поширення хвиль. Одним із прикладів є дифракційна картина електронів (і навіть більш важких предметів) при розсіюванні з щілини. Ми бачили приклад у відеоролику дифракції електронів на початку класу.
Яка ймовірність вимірювання певної енергії\(E_{k} \) за один раз\(t\)? Він задається коефіцієнтом\(\varphi_{k}\) власноїфункції,\(\left|c_{k}(t)\right|^{2}=\left|c_{k}(0) e^{-i \frac{E_{k} t}{\hbar}}\right|^{2}=\left|c_{k}(0)\right|^{2}\). Це означає, що ймовірність для даної енергії постійна, не змінюється в часі. Тоді енергія - це так звана константа руху. Це справедливо лише для власних енергетичних значень, а не для інших спостережуваних».
Розглянемо замість цього ймовірність знаходження системи на певній позиції,\( p(x)=|\psi(x, t)|^{2}\). Це, звичайно, змінюється в часі. Наприклад, нехай
\[ \psi(x, 0)=c_{1}(0) \varphi_{1}(x)+c_{2}(0) \varphi_{2}(x), \nonumber\]
із
\[\left|c_{1}(0)\right|^{2}+\left|c_{2}(0)\right|^{2}=\left|c_{1}\right|^{2}+\left|c_{2}\right|^{2}=1 \nonumber\]
і\(\varphi_{1,2} \) нормовані енергетичні власні функції. Тоді в більш пізній час ми маємо
\[ \psi(x, 0)=c_{1}(0) e^{-i \omega_{1} t} \varphi_{1}(x)+c_{2}(0) e^{-i \omega_{2} t} \varphi_{2}(x). \nonumber\]
Що таке\( p(x, t)\)?
Рішення
\[\begin{array}{c} \left|c_{1}(0) e^{-i \omega_{1} t} \varphi_{1}(x)+c_{2}(0) e^{-i \omega_{2} t} \varphi_{2}(x)\right|^{2} \\ =\left|c_{1}(0)\right|^{2}\left|\varphi_{1}(x)\right|^{2}+\left|c_{2}(0)\right|^{2}\left|\varphi_{2}(x)\right|^{2}+c_{1}^{*} c_{2} \varphi_{1}^{*} \varphi_{2} e^{-i\left(\omega_{2}-\omega_{1}\right) t}+c_{1} c_{2}^{*} \varphi_{1} \varphi_{2}^{*} e^{i\left(\omega_{2}-\omega_{1}\right) t} \\ =\left|c_{1}\right|^{2}+\left|c_{2}\right|^{2}+2 \operatorname{Re}\left[c_{1}^{*} c_{2} \varphi_{1}^{*} \varphi_{2} e^{-i\left(\omega_{2}-\omega_{1}\right) t}\right] \end{array} \nonumber\]
Останній термін описує хвильові інтерференції між різними компонентами початкової хвильової функції.
Вирази, знайдені вище для завищеної від часу хвильової функції, дійсні лише в тому випадку, якщо потенціал сам по собі незалежний від часу. Якщо це не так, рішення отримати ще складніше.
Унітарна еволюція
Ми побачили дві еквівалентні формулювання квантової механічної еволюції: рівняння Шредінгера та рівняння Гейзенберга. Зараз ми представляємо третю можливу формулювання: слідуючи 4-му постулату, ми виражаємо еволюцію стану в терміні унітарного оператора, званого пропагатором:
\[\psi(x, t)=\hat{U}(t) \psi(x, 0) \nonumber\]
с\(\hat{U}^{\dagger} \hat{U}=\mathbb{1} \). (Зверніть увагу, що апріорі унітарний оператор також\(\hat{U}\) може бути функцією простору). Ми можемо показати, що це еквівалентно рівнянню Шредінгера, перевіривши, що\( \psi(x, t)\) вище є рішенням:
\[i \hbar \frac{\partial \hat{U} \psi(x, 0)}{\partial t}=\mathcal{H} \hat{U} \psi(x, 0) \quad \rightarrow \quad i \hbar \frac{\partial \hat{U}}{\partial t}=\mathcal{H} \hat{U} \nonumber\]
де на другому кроці ми використовували той факт, що оскільки рівняння тримає для будь-якої хвильової функції,\( \psi\) воно повинно триматися для самого оператора. Якщо гамільтоніан незалежний від часу, друге рівняння можна легко вирішити, отримавши:
\[i \hbar \frac{\partial \hat{U}}{\partial t}=\mathcal{H} \hat{U} \quad \rightarrow \quad \hat{U}(t)=e^{-i \mathcal{H} t / \hbar} \nonumber\]
де ми встановлюємо\(\hat{U}(t=0)=\mathbb{1} \). Зверніть увагу, що за бажанням\(\hat{U} \) є унітарним,\( \hat{U}^{\dagger} \hat{U}=e^{i \mathcal{H} t / \hbar} e^{-i \mathcal{H} t / \hbar}=\mathbb{1}\).