12.2: Аналіз з використанням законів Ньютона

Last updated
Save as PDF

Page ID: 73934

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Прискорення маси в будь-який момент задається другим законом Ньютона:

\[a=\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{F}{M}=-\frac{k x}{M}\label{12.6}\]

Рівняння цього типу відоме як диференціальне рівняння, оскільки воно включає в себе похідну від залежної змінної x Рівняння такого типу, як правило, важче вирішити, ніж алгебраїчні рівняння, оскільки універсальних методів розв'язання всіх форм таких рівнянь не існує. Насправді, справедливо сказати, що рішення більшості диференціальних рівнянь спочатку були отримані шляхом ворожіння!

У нас вже є основа, на якій можна зробити інтелектуальне припущення для розв'язку рівняння (\ ref {12.6}), оскільки ми знаємо, що маса коливається вперед і назад з періодом, незалежним від амплітуди коливання. Функція, яка може заповнити рахунок, є функція косинуса. Спробуємо підставити\(x=\cos (\omega t)\), де\(\omega\) константа, в це рівняння. Друга похідна від x щодо\(t\) is\(-\omega^{2} \cos (\omega t)\), тому виконання цієї підстановки призводить до

\[-\omega^{2} \cos (\omega t)=-\frac{k}{M} \cos (\omega t)\label{12.7}\]

Зверніть увагу, що функція косинус скасовується, залишаючи нас з\(-\omega^{2}=-k / M\). Таким чином, здогадка працює, якщо ми встановимо

\[\omega=\left(\frac{k}{M}\right)^{1 / 2}\label{12.8}\]

Константа\(\omega\) - це кутова частота коливань для осцилятора, з якої ми робимо висновок про період коливань\(\mathrm{T}=2 \Pi(\mathrm{Mk})^{1 / 2}\). Це узгоджується з більш раннім приблизним результатом рівняння 12.5, за винятком того, що наближення має числовий коефіцієнт 8, а не\(2 \Pi \approx 6\). Таким чином, раніше здогадатися тільки про\(30 \%\)!

Легко показати, що також\(x=B \cos (\omega t)\) є розв'язком рівняння (\ ref {12.6}), де B - будь-яка константа і\(\omega=(\mathrm{k} / \mathrm{M})^{1 / 2}\). Це підтверджує, що частота коливань і період не залежать від амплітуди. Крім того, функція синуса однаково дійсна як рішення:\(x=A \sin (\omega t)\), де A - інша константа. Насправді найбільш загальним можливим рішенням є всього лише поєднання цих двох, тобто.

\[x=A \sin (\omega t)+B \cos (\omega t)=C \cos (\omega t-\phi)\label{12.9}\]

Значення А і В залежать від положення і швидкості маси в момент t = 0. У правій частині рівняння (\ ref {12.9}) показано альтернативний спосіб запису загального розв'язку гармонічного осцилятора, який використовує функцію косинуса з фазовим коефіцієнтом\(\phi\).