Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.5: Закон Ньютона про всесвітнє тяжіння

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75285

    • Boundless
    • Boundless
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Закон всесвітнього тяжіння

    Об'єкти з масою відчувають привабливу силу, пропорційну їх масам і обернено пропорційну квадрату відстані.

    цілі навчання

    • Висловлюємо закон всесвітнього тяжіння в математичній формі

    Хоча яблуко, можливо, не вразило голову сера Ісаака Ньютона, як свідчить міф, падіння одного надихнуло Ньютона на одне з великих відкриттів в механіці: Закон Всесвітнього тяжіння. Розмірковуючи, чому яблуко ніколи не опускається боком або вгору або будь-яким іншим напрямком, крім перпендикулярного землі, Ньютон зрозумів, що сама Земля повинна відповідати за рух яблука вниз.

    Теоретизуючи, що ця сила повинна бути пропорційною масам двох задіяних об'єктів, і використовуючи попередню інтуїцію про зворотно-квадратний зв'язок сили між землею і місяцем, Ньютон зміг сформулювати загальний фізичний закон шляхом індукції.

    Закон Всесвітнього тяжіння стверджує, що кожна точка маса притягує будь-яку іншу точкову масу у Всесвіті силою, що вказує по прямій лінії між центрами мас обох точок, і ця сила пропорційна масам предметів і обернено пропорційна їх поділу Це сила притягання завжди вказує всередину, від однієї точки до іншої. Закон поширюється на всі об'єкти з масами, великими чи малими. Два великих об'єкта можна розглядати як точкові маси, якщо відстань між ними дуже велика в порівнянні з їх розмірами або якщо вони сферично симетричні. У цих випадках масу кожного об'єкта можна представити у вигляді точкової маси, розташованої в його центрі мас.

    У той час як Ньютон зміг сформулювати свій Закон Всесвітнього тяжіння і перевірити його експериментально, він міг лише обчислити відносну гравітаційну силу порівняно з іншою силою. Лише до перевірки Генрі Кавендіша гравітаційної константи Закон Всесвітнього тяжіння отримав свою остаточну алгебраїчну форму:

    \[\mathrm{F=G\dfrac{Mm}{r^2}}\]

    де\(\mathrm{F}\) представляє силу в Ньютоні,\(\mathrm{M}\) і\(\mathrm{m}\) представляють дві маси в кілограмах, і\(\mathrm{r}\) являє собою поділ в метрах. \(\mathrm{G}\)являє собою гравітаційну константу, яка має значення\(\mathrm{6.674⋅10^{−11}N(m/kg)^2}\). Через величину\(\mathrm{G}\), гравітаційна сила дуже мала, якщо не беруть участь великі маси.

    зображення

    Сили на дві маси: Всі маси притягуються один до одного. Сила пропорційна масам і обернено пропорційна квадрату відстані.

    Гравітаційне тяжіння сферичних тіл: рівномірна сфера

    Теорема оболонки стверджує, що сферично симетричний об'єкт впливає на інші об'єкти так, ніби вся його маса була зосереджена в його центрі.

    цілі навчання

    • Сформулювати теорему оболонки для сферично симетричних об'єктів

    Універсальна гравітація для сферично симетричних тіл

    Закон Всесвітнього тяжіння стверджує, що гравітаційна сила між двома точками маси пропорційна величинам їх мас і зворотному квадрату їх поділу,\(\mathrm{d}\):

    \[\mathrm{F=\dfrac{GmM}{d^2}}\]

    Однак більшість об'єктів не є точковими частинками. Знаходження сили тяжіння між тривимірними об'єктами вимагає розгляду їх як точок у просторі. Для дуже симетричних форм, таких як сфери або сферичні оболонки, знайти цю точку просто.

    Теорема про оболонку

    Ісаак Ньютон довів теорему Шелл, яка стверджує, що:

    1. Сферично симетричний об'єкт впливає на інші об'єкти гравітаційно так, ніби вся його маса зосереджена в його центрі,
    2. Якщо об'єкт являє собою сферично симетричну оболонку (тобто порожнисту кулю), то чиста гравітаційна сила на тілі всередині нього дорівнює нулю.

    Оскільки сила є векторною величиною, векторне підсумовування всіх частин оболонки/сфери сприяє чистій силі, і ця чиста сила є еквівалентом одного вимірювання сили, взятого з середньої точки сфери, або центру маси (СОМ). Так при знаходженні сили тяжіння, що чиниться на кулю в 10 кг, відстань, виміряну від кулі, береться від центру мас кулі до земного центру мас.

    Враховуючи, що сфера може розглядатися як сукупність нескінченно тонких, концентричних, сферичних оболонок (як шари цибулі), то можна показати, що наслідок Теореми оболонки полягає в тому, що сила, що діє в об'єкті всередині твердої сфери, залежить лише від маси сфери всередині радіуса, на якому знаходиться об'єкт. Це тому, що оболонки з більшим радіусом, ніж той, на якому знаходиться об'єкт, не вносять сили до об'єкта всередині них (Заява 2 теореми).

    При розгляді гравітаційної сили, що чиниться на об'єкт у точці всередині або зовні рівномірного сферично симетричного об'єкта радіуса RR, є дві прості та чіткі ситуації, які необхідно вивчити: випадок порожнистої сферичної оболонки та твердої сфери з рівномірно розподілена маса.

    Випадок 1: порожниста сферична оболонка

    Гравітаційна сила, що діє сферично симетричною оболонкою на точкову масу всередині неї, є векторною сумою гравітаційних сил, що діють кожною частиною оболонки, і ця векторна сума дорівнює нулю. Тобто маса мм в межах сферично симетричної оболонки маси\(\mathrm{M}\), не відчуватиме чистої сили (Заява 2 теореми оболонки).

    Чиста гравітаційна сила, яку сферична\(\mathrm{M}\) оболонка маси чинить на тіло поза ним, є векторною сумою гравітаційних сил, що діють кожною частиною оболонки на зовнішній об'єкт, які складаються до чистої сили, що діє так, ніби маса\(\mathrm{M}\) зосереджена на точці в центр сфери (Заява 1 теореми оболонки).

    зображення

    Діаграма, що використовується в доведенні теореми оболонки: Ця діаграма окреслює геометрію, розглянуту при доведенні Теореми оболонки. Зокрема, в цьому випадку сферична оболонка маси\(\mathrm{M}\) (ліва сторона фігури) чинить силу на масу\(\mathrm{m}\) (права сторона фігури) поза нею. Площа поверхні тонкого зрізу сфери показана кольором. (Примітка: Доказ теореми тут не представлений. Зацікавлені читачі можуть вивчити далі, використовуючи джерела, перелічені в нижній частині цієї статті.)

    Випадок 2: Тверда, однорідна сфера

    Друга ситуація, яку ми розглянемо, - це тверда однорідна сфера маси\(\mathrm{M}\) і радіуса\(\mathrm{R}\), що надає силу на тіло маси\(\mathrm{m}\) в радіусі\(\mathrm{d}\) всередині нього (тобто\(\mathrm{d<R}\)). Ми можемо використовувати результати та наслідки теореми Шелл для аналізу цього випадку. Внесок усіх оболонок сфери на радіусі (або відстані), більшому за dd від центру мас сфери, можна ігнорувати (див. вище наслідок Теореми оболонки). Релевантна лише маса сфери в межах потрібного радіуса\(\mathrm{M<d}\) (тобто маса сфери всередині dd), і може розглядатися як точкова маса в центрі сфери. Отже, гравітаційна сила, що діє на точкову масу мм, становить:

    \[\mathrm{F=\dfrac{GmM_{<d}}{d^2}}\]

    де можна показати, що\(\mathrm{M_{<d}=\frac{4}{3}πd^3ρ}\)

    (\(\mathrm{ρ}\)Масова щільність сфери, і ми припускаємо, що вона не залежить від радіуса. Тобто маса сфери розподілена рівномірно.)

    Тому, об'єднавши вищевказані два рівняння, отримаємо:

    \[\mathrm{F=\dfrac{4}{3}πGmρd}\]

    що показує, що маса мм відчуває силу, яка лінійно пропорційна його відстані, dd, від центру маси сфери.

    Як і у випадку з порожнистими сферичними оболонками, чиста гравітаційна сила, яку тверда сфера рівномірно розподіленої маси\(\mathrm{M}\) чинить на тіло поза ним, є векторною сумою гравітаційних сил, що діють кожною оболонкою сфери на зовнішній об'єкт. Отримана чиста гравітаційна сила діє так, ніби маса\(\mathrm{M}\) зосереджена на точці в центрі сфери, яка є центром маси, або СОМ (заява 1 теореми оболонки). Більш загально, цей результат вірний, навіть якщо маса\(\mathrm{M}\) розподілена не рівномірно, але її щільність змінюється радіально (як у випадку з планетами).

    Вага Землі

    Коли тіла мають просторову протяжність, гравітаційна сила розраховується шляхом підсумовування внесків точкових мас, які їх складають.

    цілі навчання

    • Опишіть, як розраховується гравітаційна сила для тіл з просторовою протяжністю

    Закон Ньютона всесвітнього тяжіння стверджує, що кожна точкова маса у Всесвіті притягує кожну іншу точкову масу силою, яка прямо пропорційна добутку їх мас, і обернено пропорційна квадрату відстані між ними.

    У сучасній мові закон стверджує наступне: Кожна точка маса притягує кожну іншу масу точки силою, що вказує уздовж лінії, що перетинає обидві точки. Сила пропорційна добутку двох мас і обернено пропорційна квадрату відстані між ними:

    \[\mathrm{F=G\dfrac{m_1m_2}{r^2}}\]

    де\(\mathrm{F}\) сила між масами,\(\mathrm{G}\) - гравітаційна константа,\(\mathrm{m_1}\) є першою масою,\(\mathrm{m_2}\) є другою масою і\(\mathrm{r}\) відстань між центрами мас.

    Якщо розглянуті тіла мають просторову протяжність (а не є теоретичними точковими масами), то гравітаційна сила між ними обчислюється шляхом підсумовування внесків умовних точкових мас, які складають тіла. У межі, коли складові точкові маси стають «нескінченно малими», це тягне за собою інтеграцію сили (у векторній формі, див. Нижче) над межами двох тіл.

    Таким чином можна показати, що об'єкт зі сферично-симетричним розподілом маси надає таке ж гравітаційне тяжіння на зовнішні тіла, як якщо б вся маса об'єкта була зосереджена в точці в його центрі.

    Для точок всередині сферично-симетричного розподілу речовини теорема Ньютона Shell може бути використана для пошуку сили тяжіння. Теорема розповідає про те, як різні частини розподілу маси впливають на гравітаційну силу, виміряну в точці, розташованій на відстані\(\mathrm{r_0}\) від центру розподілу мас:

    1. Частина маси, яка розташована на радіусах,\(\mathrm{r<r_0}\) викликає таку ж силу,\(\mathrm{r_0}\) як якщо б вся маса, укладена в радіусній сфері,\(\mathrm{r_0}\) була зосереджена в центрі розподілу маси (як зазначалося вище).
    2. Частина маси, яка знаходиться на радіусах, не\(\mathrm{r>r_0}\) чинить чистої гравітаційної сили на відстані\(\mathrm{r_0}\) від центру. Тобто окремі гравітаційні сили, що чинилися елементами сфери там, на точці в\(\mathrm{r_0}\), скасовують один одного.

    Як наслідок, наприклад, всередині оболонки рівномірної товщини і щільності немає чистого гравітаційного прискорення ніде всередині порожнистої сфери. Крім того, всередині рівномірної сфери гравітація зростає лінійно з відстанню від центру; збільшення за рахунок додаткової маси в 1,5 рази менше зменшення через більшу відстань від центру. Таким чином, якщо сферично симетричне тіло має рівномірне ядро і рівномірну мантію з щільністю, яка менше, ніж\(\mathrm{\frac{2}{3}}\) у ядра, то гравітація спочатку зменшується назовні за межі, а якщо сфера досить велика, далі назовні знову збільшується гравітація, і в кінцевому підсумку вона перевищує гравітацію на кордоні ядра/мантії.

    Гравітація Землі може бути найвищою на кордоні ядра/мантії, як показано на малюнку 1:

    зображення

    Гравітаційне поле Землі: Діаграма напруженості гравітаційного поля всередині Землі.

    Ключові моменти

    • Натхнення сера Ісаака Ньютона для Закону Всесвітнього тяжіння було від скидання яблука з дерева.
    • Проникливість Ньютона про зворотно-квадратну властивість гравітаційної сили було від інтуїції про рух землі і Місяця.
    • Математична формула гравітаційної сили -\(\mathrm{G}\) це\(\mathrm{F=G\frac{Mm}{r^2}}\) де гравітаційна константа.
    • Оскільки сила є векторною величиною, векторне підсумовування всіх частин оболонки сприяє чистій силі, і ця чиста сила є еквівалентом одного вимірювання сили, взятого з середини сфери, або центру маси (СОМ).
    • Гравітаційна сила на об'єкт всередині порожнистої сферичної оболонки дорівнює нулю.
    • Гравітаційна сила на об'єкт в межах однорідної сферичної маси лінійно пропорційна його відстані від центру мас сфери (СОМ).
    • Закон Ньютона всесвітнього тяжіння стверджує, що кожна точкова маса у Всесвіті притягує кожну іншу точкову масу силою, яка прямо пропорційна добутку їх мас і обернено пропорційна квадрату відстані між ними.
    • Другий крок в обчисленні земної маси прийшов з розвитком закону Ньютона про всесвітнє тяжіння.
    • Прирівнюючи другий закон Ньютона до його закону всесвітнього тяжіння, і вводячи для прискорення a експериментально перевірене значення 9,8\(\mathrm{\frac{m}{s^2}}\), маса землі обчислюється таким чином\(\mathrm{5.96 \times 10^{24} kg}\), що робить вагу землі обчислюваною з урахуванням будь-якого гравітаційного поля.
    • Гравітація Землі може бути найвищою на кордоні ядра/мантії

    Ключові умови

    • індукція: Використовуйте індуктивні міркування для узагальнення та інтерпретації результатів застосування закону гравітації Ньютона.
    • зворотний: протилежний за дією або природою чи порядком.
    • центр маси: Центр маси (COM) - це унікальна точка в центрі розподілу маси в просторі, яка має властивість, що зважені вектори положення відносно цієї точки дорівнюють нулю.
    • точка маса: Теоретична точка з присвоєною йому масою.
    • вага: Сила на об'єкт, обумовлена гравітаційним притяганням між ним і Землею (або будь-яким астрономічним об'єктом на нього в першу чергу впливає).
    • гравітаційна сила: дуже далека, але відносно слабка фундаментальна сила тяжіння, яка діє між усіма частинками, які мають масу; вважається, що опосередкована гравітонами.

    ЛІЦЕНЗІЇ ТА АВТОРСТВА

    CC ЛІЦЕНЗОВАНИЙ КОНТЕНТ, РАНІШЕ ДІЛИВСЯ

    CC ЛІЦЕНЗОВАНИЙ ВМІСТ, СПЕЦИФІЧНА АТРИБУЦІЯ