5.7: Рівняння Фоккера-Планка

Formula (\(5.6.36\)) - це лише конкретний, високий демпфуючий межа більш загального результату, отриманого Крамерсом. Для того, щоб отримати все це (і багато іншого), нам потрібно узагальнити рівняння Смолуховського до довільних значень затухання\(\eta\). У цьому випадку щільність ймовірності\(w\) є функцією не тільки положення частинки\(\mathbf{q}\) (і часу\(t\)), але й її імпульсу\(\mathbf{p}\) — див. Рівняння (\(2.1.11\)). Таким чином, рівняння неперервності (\(5.6.12-6.6.13\)) потрібно узагальнити до 6D фазового простору\(\{\mathbf{q}, \mathbf{p}\}\). Таке узагальнення є природним:

\[\frac{\partial w}{\partial t} + \nabla_q \cdot \mathbf{j}_q + \nabla_p \cdot \mathbf{j}_p = 0, \label{140}\]

де\(\mathbf{j}_q\) (яка була викликана\(\mathbf{j}_w\) в останньому розділі) - імовірність щільності струму в координатному просторі, і\(\nabla_q\) (яка позначалася як\(\nabla\) в цьому розділі) - звичайний векторний оператор у просторі, в той час як\(\mathbf{j}_p\) щільність струму в просторі імпульсу, і \(\nabla_p\)є аналогічним векторним оператором у цьому просторі:

\[\nabla_q \equiv \sum^3_{j=1} \mathbf{n}_j \frac{\partial }{\partial q_j}, \quad \nabla_p \equiv \sum^3_{j=1} \mathbf{n}_j \frac{\partial }{\partial p_j} . \label{141}\]

При незначних коливаннях\((T \rightarrow 0)\),\(\mathbf{j}_p\) можуть бути складені за допомогою природної аналогії з\(\mathbf{j}_q\) — див. Рівняння (\(5.6.15\)). У нашій новій нотації це відношення говорить:

\[\mathbf{j}_q = w\dot{\mathbf{q}}=w\frac{\mathbf{p}}{m} \label{142}\]

так що природно приймати

\[\mathbf{j}_p = w\dot{\mathbf{p}} = w \langle \pmb{\mathscr{F}} \rangle , \label{143a}\]

де (статистично-ансамбль) усереднена сила\(\langle \pmb{\mathscr{F}} \rangle\) включає не тільки внесок, обумовлений градієнтом потенціалу, але й силу опору, яку\(–\eta \mathbf{v}\) надає навколишнє середовище — див. Рівняння (\(5.5.2\)) та його обговорення:

\[\mathbf{j}_p = w (−\nabla_q U −\eta \mathbf{v} = − w (\nabla_q U +\eta \frac{\mathbf{p}}{m}). \label{143b}\]

Як перевірка розсудливості, легко перевірити, що рівняння без дифузії, отримане в результаті комбінації Eqs. (\ ref {140}), (\ ref {142}) і (\ ref {143a} -\ ref {143b}),

\[\left. \frac{\partial w}{\partial t} \right|_{drift} = - \nabla_q \cdot \left( w \frac{\mathbf{p}}{w}\right) + \nabla_p \cdot \left[ w \left( \nabla_q U + \eta \frac{\mathbf{p}}{m}\right)\right], \label{144}\]

дозволяє наступне конкретне рішення:

\[ w(\mathbf{q},\mathbf{p},t) = \delta [\mathbf{q} − \mathbf{q} (t)]\delta [\mathbf{p} − \langle \mathbf{p} \rangle (t)], \label{145}\]

де статистично усереднені координати і імпульс задовольняють детермінованим рівнянням руху,

\[\langle \dot{\mathbf{q}} \rangle = \frac{\langle \mathbf{p}\rangle } {m}, \quad \langle \dot{\mathbf{p}} \rangle = -\nabla_q U - \eta \frac{\langle\mathbf{p}\rangle}{m}, \label{146}\]

описуючи дрейф частинки, зі звичайними детермінованими початковими умовами.

Для того щоб зрозуміти, як повинна враховуватися дифузія, розглянемо статистичний ансамбль вільних\((\nabla_q U = 0, \eta \rightarrow 0)\) частинок, які рівномірно розподілені в прямому просторі\(\mathbf{q}\) (так\(\nabla_q w = 0)\), що, але можливо, локалізуються в імпульсному просторі. У цьому випадку права частина Рівняння (\ ref {144}) зникає, тобто еволюція густини ймовірності часу\(w\) може бути лише за рахунок дифузії. У відповідній межі\(\langle \pmb{\mathscr{F}} \rangle \rightarrow 0\) рівняння Ланжевена (\(5.6.1\)) для кожної декартової координати зводиться до

\[ m\ddot{q}_j = \tilde{F}_j (t), \quad \text{ i.e. } \dot{p}_j = \tilde{F}_j (t). \label{147}\]

Останнє рівняння ідентичне рівнянню 1D з високим демпфуванням (\(5.5.3\)) (з\(\mathscr{F}_{det} = 0)\), з заміною\(q \rightarrow p_j/\eta \), і, отже, відповідний внесок\(\partial w/\partial t\) може бути описаний останнім терміном Equation (\(5.6.18\)), з такою заміною:

\[\left. \frac{\partial w}{\partial t} \right|_{diffusion} = D \nabla^2_{p/\eta} w = \frac{T}{\eta}\eta^2\nabla^2_p w \equiv \eta T \nabla^2_p w. \label{148}\]

Тепер розумне припущення, що в довільному випадку внески дрейфу і дифузії\(\partial w/\partial t\) просто складаються відразу призводить нас до повного рівняння Фоккера-Планка: ⁶⁶

Рівняння Фоккера-Планка:

\[\boxed{ \frac{\partial w}{\partial t} = - \nabla_q \cdot \left(w \frac{\mathbf{p}}{m} \right) + \nabla_p \cdot \left[ w \left( \nabla_q U + \eta \frac{\mathbf{p}}{m}\right)\right] + \eta T \nabla^2_p w. } \label{149}\]

В якості перевірки розсудливості скористаємося цим рівнянням для обчислення стаціонарного розподілу ймовірностей імпульсу частинок з довільним демпфуванням,\(\eta\) але в іншому випадку вільним, в просторі імпульсу, припускаючи (просто для простоти) їх рівномірний розподіл в прямому просторі,\(\nabla_q = 0\). У цьому випадку рівняння (\ ref {149}) зводиться до

\[\nabla_p \cdot \left[ w \left(\eta \frac{\mathbf{p}}{m}\right)\right] + \eta T \nabla^2_p w = 0 , \quad \text{ i.e } \nabla_p \cdot \left(\frac{\mathbf{p}}{m} w+ T\nabla_p w \right) = 0. \label{150}\]

Перша інтеграція над імпульсним простором дає

\[\frac{\mathbf{p}}{m} w + T \nabla_p w = \mathbf{j}_w, \quad \text{ i.e. } w \nabla_p \left(\frac{p^2}{2m}\right) + T \nabla_p w = \mathbf{j}_w, \label{151}\]

де\(\mathbf{j}_w\) - векторна константа, що описує можливий загальний потік ймовірностей в системі. При відсутності такого потоку\(\mathbf{j}_w = 0\), отримуємо

\[\nabla_p \left(\frac{p^2}{2m}\right) + T \frac{\nabla_p w}{w} \equiv \nabla_p \left( \frac{p^2}{2m} + T \ln w \right) = 0, \quad \text{ giving } w = \text{const}\times \exp\left\{ - \frac{p^2}{2mT}\right\}, \label{152}\]

тобто розподіл Максвелла (\(3.1.5\)). Однак результат (\ ref {152}) є більш загальним, ніж результат, отриманий у п. 3.1, оскільки показує, що розподіл залишається однаковим навіть при ненульовому демпфуванні. Легко перевірити, що в більш загальному випадку довільного стаціонарного потенціалу\(U(\mathbf{q})\) рівняння (\ ref {149}) задовольняється стаціонарним розв'язком (\(3.1.25\)), також дає\(\mathbf{j}_w = 0\).

Також нескладно показати, що якщо демпфування велике (у сенсі, передбаченому в останньому розділі), рішення рівняння Фоккера-Планка прагне до наступного добутку

\[w(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\rightarrow \text{const}\times\exp\left\{-\frac{p^2}{2mT}\right\}\times \mathscr{w}(\mathbf{q},t), \label{153}\]

де розподіл прямого простору\(\mathscr{w}(\mathbf{q}, t)\) підпорядковується рівнянню Смолуховського (\(5.6.18\)).

Іншим важливим конкретним випадком є квазіперіодичний рух частинки з низьким демпфуванням у м'якій потенційній ямі. При цьому рівняння Фоккера-Планка описує як дифузію\(\Theta\) ефективної фази такого (загалом нелінійного, «ангармонічного») генератора, так і повільне розслаблення його енергії. Якщо нас цікавить лише останній процес, Equation (\ ref {149}) може бути зведено до так званого рівняння дифузії енергії, ⁶⁷ яке легше вирішити.

Однак у більшості практично цікавих випадків розв'язки рівняння (\ ref {149}) є досить складними. (Дійсно, читачеві слід пам'ятати, що ці рішення втілюють, в конкретному випадку\(T = 0\), всю класичну динаміку частинки.) Через це я представлю (а не виведу) тільки ще один з них: рішення задачі Крамерса (рис.\(5.6.1\)). Діючи майже так само, як в п. 6, можна показати ⁶⁸, що при практично довільному демпфуванні (але все ще в межі\(T << U_0\)) життя метастабільного стану знову задається формулою Арренія (\(5.6.6\)), при цьому час спроби знову виражається першим з Eqs. (\(5.6.36\)), але з відповідними постійними часу\(1/\tau_{1,2}\) замінені на

\[\omega_{1,2} \equiv \left[ \omega_{1,2}^2 + \left( \frac{\eta}{2m}\right)^2 \right]^{1,2} - \frac{\eta}{2m} \rightarrow \begin{cases} \omega_{1,2} & \text{for } \eta << m \omega_{1,2}, \\ 1/\tau_{1,2}, & \text{for } m\omega_{1,2} <<\eta, \end{cases} \label{154}\]

де\(\omega_{1,2} \equiv (\kappa_{1,2}/m)^{1/2}\), і\(\kappa_{1,2}\) є ефективними пружинними константами, визначеними Eqs. (\(5.6.30\)) і (\(5.6.32\)). Таким чином, важлива особлива межа низького демпфування, Eqs. (\(5.6.6\)) і (\ ref {154}) дають відому формулу

Формула Крамерса для низького демпфування:

\[\boxed{\tau = \frac{2\pi}{(\omega_1\omega_2)^{1/2}} \exp\left\{\frac{U_0}{T}\right\}. } \label{155}\]

Цей результат Крамерса для класичної теплової активації системи без розсіювання над потенційним бар'єром можна порівняти з результатом її квантово-механічного тунелювання через бар'єр. ⁶⁹ Наближення WKB для останнього ефекту дає вираз

\[\tau_Q = \tau_A \exp\left\{-2 \int_{\kappa^2(q)>0} \kappa (q)dq\right\}, \quad \text{ with } \frac{\hbar^2\kappa^2 (q)}{2m} \equiv U(q) - E, \label{156}\]

показуючи, що в цілому класична та квантова тривалість життя метастабільного стану мають різні залежності від форми бар'єру. Наприклад, для майже прямокутного потенційного бар'єру показник, що визначає класичний час життя (\ ref {155}) залежить (лінійно) лише від висоти бар'єру\(U_0\), тоді як визначення квантового життя (\ ref {156}) пропорційно ширині бар'єру та величині квадратний корінь з\(U_0\). Однак у важливому випадку «м'яких» потенційних профілів, характерних для випадку ледь виникають (або майже зникають) квантових ямок (рис.\(\PageIndex{1}\)), класичні та квантові результати тісно пов'язані між собою.

Рисунок\(\PageIndex{1}\): Профіль кубічно-параболічного потенціалу та його параметри.

\[U(q) = aq - \frac{b}{3} q^3. \label{157}\]

(Для втечі частинки в позитивному напрямку\(q\) -осі, ми повинні мати\(a, b > 0\).) Легкий розрахунок дає всі істотні параметри цієї кубічної параболи: позиції її мінімуму і максимуму:

\[q_2 = −q_1 = (a / b)^{1/2}, \label{158}\]

висота бар'єру над дном колодязя:

\[U_0 \equiv U (q_2) - U(q_1) = \frac{4}{3} \left(\frac{a^3}{b}\right)^{1/2}, \label{159}\]

і ефективні пружинні константи в цих точках:

\[\kappa_1 = \kappa_2 \equiv \left| \frac{d^2 U}{dq^2} \right|_{q_{1,2}} = 2(ab)^{1/2}. \label{160}\]

Останній вираз показує, що для цього потенційного профілю частоти, що\(\omega_{1,2}\) беруть участь у Equation (\ ref {155}), рівні один одному, так що цей результат може бути перезаписаний як

М'яка свердловина: термічний термін служби

\[\boxed{ \tau = \frac{2\pi}{\omega_0} \exp \left\{\frac{U_0}{T}\right\}, \quad \text{ with } \omega^2_0 \equiv \frac{2(ab)^{1/2}}{m}.} \label{161}\]

З іншого боку, для того ж профілю наближення WKB (\ ref {156}) (що є точним, коли висота енергії метастабільного стану над дном свердловини\(E – U(q_1) \approx \hbar \omega_0/2\), значно нижча за висоту бар'єру\(U_0\)) дає ⁷¹

М'яка свердловина: квантовий термін служби

\[\boxed{ \tau_Q = \frac{2\pi}{\omega_0} \left( \frac{\hbar \omega_0}{864 U_0} \right)^{1/2} \exp \left\{ \frac{36}{5} \frac{U_0}{ \hbar \omega_0} \right\}.} \label{162}\]

Порівняння домінуючих експоненціальних факторів у цих двох результатах показує, що теплова активація дає менший термін служби (тобто домінує в метастабільному стані розпаду), якщо температура вище значення кросовера

\[T_c = \frac{36}{5} \hbar \omega \equiv 7.2 \hbar \omega . \label{163}\]

Цей вираз для кубічного -параболічного бар'єру можна порівняти з аналогічним кросовером для квадратично-параболічного бар'єру, ⁷² для якого\(T_c = 2\pi \hbar \omega_0 \approx 6.28 \hbar \omega_0\). Ми бачимо, що числові коефіцієнти квантової до класичної температури кросовера для цих двох різних профілів м'якого потенціалу близькі один до одного - і набагато більші за 1, що може бути результатом наївної оцінки.