5.5: Коливання та розсіювання

Ще одне важливе припущення цієї теорії полягає в тому, що рух системи не порушує теплової рівноваги навколишнього середовища — добре виконується в багатьох випадках. (Подумайте, наприклад, про типовий механічний маятник — його рух не перегріває повітря навколо нього в будь-якій помітній мірі.) У цьому випадку усереднення по статистичному ансамблю подібних середовищ, при фіксованому, питомому русі цікавить системи, може виконуватися за умови їх теплової рівноваги. ²⁴ Позначу таке «первинне» усереднення звичайними кутовими дужками\(\langle ...\rangle \). На більш пізньому етапі ми можемо провести додаткове, «вторинне» усереднення, над ансамблем багатьох подібних систем, що представляють інтерес, у поєднанні з подібними середовищами. Коли ми це зробимо, таке подвійне усереднення буде позначено подвійними кутовими дужками\(\langle \langle ...\rangle \rangle \).

Дозвольте мені почати з простої класичної системи, 1D гармонічного генератора, рівняння еволюції якого можна представити як

\[m\ddot{q} + \kappa q = \mathscr{F}_{det}(t) + \mathscr{F}_{env}(t) \equiv \mathscr{F}_{det}(t)+\langle \mathscr{F} \rangle + \tilde{\mathscr{F}}(t), \quad \text{ with } \langle \tilde{\mathscr{F}}(t) \rangle = 0, \label{63}\]

де\(q\) - (узагальнена) координата осцилятора,\(\mathscr{F}_{det}(t)\) - детермінована зовнішня сила, тоді як обидві складові сили\(\mathscr{F}_{env}(t)\) представляють вплив навколишнього середовища на рух осцилятора. Знову ж таки, на часовій шкалі швидкоплинних компонентів навколишнього середовища рух осцилятора повільний. Середня складова\(\langle F \rangle\) сили, що чиниться навколишнім середовищем на такий повільно рухається об'єкт, часто не залежить від його координати,\(q\) але залежить від його швидкості\(\dot{q} \). Для більшості таких систем розширення сили Тейлора в малій швидкості має ненульовий лінійний термін:

\[\langle \mathscr{F} \rangle = −\eta \dot{q} , \label{64}\]

де константа зазвичай\(\eta\) називається коефіцієнтом опору (або «кінематичного тертя», або «демпфування»), так що Equation (\ ref {63}) може бути перезаписано як

Рівняння Ланжевена для класичного осцилятора:

\[\boxed{ m \ddot{q} + \eta \dot{q} + \kappa q = \mathscr{F}_{det} (t) + \tilde{\mathscr{F}}(t).} \label{65}\]

Включивши в Equation (\ ref {65}) подання обох змінних у формі Фур'є, подібно до Equation (\(5.4.7\)), і вимагаючи,\(\exp\{-i\omega t\}\) щоб коефіцієнти перед однаковими були рівними по обидва боки рівняння, для їх зображень Фур'є отримаємо наступне співвідношення:

\[ − m \omega^2 q_{\omega} − i \omega \eta q_{\omega} + \kappa q_{\omega} =\mathscr{F}_{\omega} , \label{66}\]

який відразу дає нам\(q_{\omega }\), тобто (випадкову) комплексну амплітуду коливань координат:

\[q_{\omega} = \frac{\mathscr{F}_{\omega}}{(\kappa - m\omega^2) - i \eta \omega} \equiv \frac{\mathscr{F}_{\omega}}{m(\omega^2_0 - \omega^2 ) - i \eta \omega}. \label{67}\]

\[S_q (w) = \frac{1}{m^2 (\omega^2_0 - \omega^2)^2 + \eta^2 \omega^2} S_{\mathscr{F}} ( \omega ). \label{68}\]

У так званій межі низького демпфування (\(\eta << m\omega_0\)) фракція з правого боку Рівняння (\ ref {68}) має різкий пік біля власної частоти генератора\(\omega_0\) (описує відомий ефект високого\(Q\) резонансу) і може бути добре наближена в цьому районі як

\[\frac{1}{m^2(\omega^2_0 - \omega^2)^2 + (\eta \omega )^2} \approx \frac{1}{\eta^2 \omega^2_0 (\xi^2 + 1)}, \quad \text{ with } \xi \equiv \frac{2m(\omega - \omega_0 )}{\eta}. \label{69}\]

\[\langle\langle \tilde{q}^2\rangle\rangle = 2\int^{\infty}_0 S_q (\omega ) d \omega \approx 2 \int_{\omega \approx \omega_0} S_q (\omega ) d\omega = 2S_{\mathscr{F}}(\omega_0) \frac{1}{\eta^2 \omega^2_0} \frac{\eta}{2m} \int^{+\infty}_{-\infty} \frac{d\xi}{\xi^2 +1} . \label{70}\]

Це всім відомий інтеграл таблиці, ³¹ дорівнює\(\pi \), так що, нарешті:

\[\langle\langle \tilde{q}^2\rangle\rangle = 2S_{\mathscr{F}} (\omega_0 ) \frac{1}{\eta^2 \omega^2_0} \frac{\eta}{2m} \pi \equiv \frac{\pi}{m\omega^2_0 \eta} S_{\mathscr{F}} (\omega_0) \equiv \frac{\pi}{\kappa \eta} S_{\mathscr{F}}(\omega_0). \label{71}\]

Але з іншого боку, слабка взаємодія з навколишнім середовищем повинна тримати генератор в термодинамічній рівновазі при тій же температурі\(T\). Оскільки наш аналіз базувався на класичному рівнянні Ланжевена (\ ref {65}), ми можемо використовувати його лише в класичній межі\(\hbar \omega_0 << T\), в якій ми можемо використовувати теорему рівняння рівняння (\(2.2.30\)). У наших нинішніх позначеннях він дає

\[\frac{\kappa}{2} \langle \langle \tilde{q}^2 \rangle \rangle = \frac{T}{2}. \label{72}\]

Порівняння Eqs. (\ ref {71}) і (\ ref {72}), ми бачимо, що спектральна щільність випадкової сили, що чиниться навколишнім середовищем, повинна бути принципово пов'язана з гасінням, яке вона забезпечує:

\[S_{\mathscr{F}} ( \omega_0 ) = \frac{\eta}{\pi} T. \label{73a}\]

Тепер ми можемо стверджувати (досить переконливо: -), що, оскільки це співвідношення не залежить від параметрів генератора\(m\) і\(\kappa \), отже, його власної частоти\(\omega_0 = (\kappa /m)^{1/2}\), воно повинно бути дійсним на будь-якій відносно низькій частоті\((\omega \tau_c << 1)\). Використовуючи Equation (\(5.4.13\))\(\omega \rightarrow 0\) with, його також можна переписати як формулу ефективного низькочастотного коефіцієнта опору:

Відсутність розсіювання без коливань:

\[\boxed{\eta = \frac{1}{T} \int^{\infty}_0 K_{\mathscr{F}} (\tau ) d\tau \equiv \frac{1}{T} \int^{\infty}_0 \langle \tilde{\mathscr{F}}(0) \tilde{\mathscr{F}}(\tau)\rangle d\tau .} \label{73b}\]

Формули (\ ref {73a} -\ ref {73b}) виявляють інтимну, фундаментальну залежність між флуктуаціями і дисипацією, що забезпечується теплорівноважним середовищем. Випугаючи знаменитий політичний гасло, існує «без коливань без розсіювання» — і навпаки. Це означає, зокрема, що феноменологічний опис дисипації ледь силою опору в класичній механіці ³² діє (приблизно) лише тоді, коли енергетична шкала процесу набагато більше\(T\). Наскільки мені відомо, цей факт був вперше визнаний у 1905 році А.Ейнштейном, ³³ для наступного конкретного випадку.

Давайте застосуємо наш результат (\ ref {73a} -\ ref {73b}) до вільної 1D броунівської частинки, взявши\(\kappa = 0\) і\(\mathscr{F}_{det}(t) = 0\). У цьому випадку обидва відносини (\ ref {71}) і (\ ref {72}) дають нескінченності. Щоб зрозуміти причину такої розбіжності, повернемося до рівняння Ланжевена (\ ref {65}) не тільки\(\kappa = 0\) і\(\mathscr{F}_{det}(t)= 0\), але й\(m \rightarrow 0\) — просто заради простоти. (Останнє наближення, яке часто називають границею перекриття, цілком доречно, наприклад, для руху дрібних частинок у в'язких рідинях — як, наприклад, в експериментах Р.Брауна.) У цьому наближенні рівняння (\ ref {65}) зводиться до простого рівняння,

\[\eta \dot{q} = \tilde{\mathscr{F}} (t), \quad \text{ with } \langle \tilde{\mathscr{F}}(t)\rangle =0 , \label{74}\]

які можуть бути легко інтегровані, щоб дати зміщення частинки протягом кінцевого часового інтервалу\(t\):

\[\Delta q(t) \equiv q(t) - q(0) = \frac{1}{\eta} \int^t_0 \tilde{\mathscr{F}} (t') dt'. \label{75}\]

Очевидно, що при повному статистичному усередненні зміщення ефекти флуктуації зникають, але це не означає, що частинка не рухається - лише те, що вона має рівні ймовірності зміщення в будь-якому з двох можливих напрямків. Щоб це побачити, обчислимо дисперсію зміщення:

\[\left\langle\left\langle\Delta \tilde{q}^{2}(t)\right\rangle\right)=\frac{1}{\eta^{2}} \int_{0}^{t} d t^{\prime} \int_{0}^{t} d t^{\prime \prime}\left(\widetilde{\mathscr{F}}\left(t^{\prime}\right), \widetilde{\mathscr{F}}\left(t^{\prime \prime}\right)\right\rangle \equiv \frac{1}{\eta^{2}} \int_{0}^{t} d t^{\prime} \int_{0}^{t} d t^{\prime \prime} K_{\mathscr{F}}\left(t^{\prime}-t^{\prime \prime}\right). \label{76} \]

Як ми вже знаємо\(\tau >> \tau_c\), іноді кореляційна функція може бути добре наближена дельта-функцією — див. Рівняння (\(5.4.17\)). У цьому наближенні, з\(S_{\mathscr{F}}(0)\) вираженим рівнянням (\ ref {73a}), отримаємо

\[\left\langle\left\langle\Delta \widetilde{q}^{2}(t)\right\rangle\right\rangle=\frac{2 \pi}{\eta^{2}} S_{\mathscr{F}}(0) \int_{0}^{t} d t^{\prime} \int_{0}^{\prime} d t^{\prime \prime} \delta\left(t^{\prime \prime}-t^{\prime}\right)=\frac{2 \pi}{\eta^{2}} \frac{\eta T}{\pi} \int_{0}^{t} d t^{\prime}=\frac{2 T}{\eta} t \equiv 2 D t, \label{77}\]

із

Ставлення Ейнштейна:

\[ \boxed{D = \frac{T}{\eta}.} \label{78}\]

Остаточна форма Рівняння (\ ref {77}) описує відомий закон дифузії («випадкова прогулянка») одномерної системи, при цьому відхилення rms від точки походження зростає як\((2Dt)^{1/2}\). Коефіцієнт\(D\) цього відношення називається коефіцієнтом дифузії, а Рівняння (\ ref {78}) описує надзвичайно просте і важливе відношення ³⁴ Ейнштейна між цим коефіцієнтом і коефіцієнтом опору. Часто це співвідношення переписується, в одиницях СІ температури, як\(D = \mu k_BT_K\), де\(\mu \equiv 1/\eta\) знаходиться рухливість частинки. Фізичний сенс\(\mu\) стає зрозумілим з виразу для детермінованої швидкості («дрейф» частинки), яке випливає з усереднення обох сторін рівняння (\ ref {74}) після відновлення\(\mathscr{F}_{det}(t)\) в ньому терміна:

\[\nu_{drift} \equiv \langle \langle \dot{q}(t)\rangle\rangle = \frac{1}{\eta} \mathscr{F}_{det}(t) \equiv \mu \mathscr{F}_{det}(t), \label{79}\]

Ще одним відомим варіантом загального рівняння (\ ref {73a} -\ ref {73b}) є тепловий (або «Джонсон», або «Johnson Nyquist», або просто «Nyquist») шум в резистивних електронних пристроях. Розглянемо двоклемну схему «зонда» без дисипації, яка грає роль гармонічного генератора в нашому аналізі, проведеному вище, підключений до резистивного пристрою (рис.\(\PageIndex{1}\)), що грає роль середовища зондового ланцюга. (Шум генерується тепловим рухом численних електронів, випадковим чином рухаються всередині резистивного пристрою.) Для цієї системи одним зручним вибором сполучених змінних (узагальненої координати і узагальненої сили) є, відповідно, електричний заряд,\(Q \equiv \int I(t)dt\) який пройшов через ланцюг «зонда» за часом\(t\), і напруга\(\mathscr{V}\) на його висновках, з полярністю, показаною в Малюнок\(\PageIndex{1}\). (Дійсно, продукт\(\mathscr{V}dQ\) - це елементарна\(d\mathscr{W}\) робота, яку виконує навколишнє середовище на ланцюзі зонда.)

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Резистивний пристрій як дисипативне середовище ланцюга зонда з двома клемами.

Здійснюючи відповідні заміни,\(q \rightarrow Q\) і\(\mathscr{F} \rightarrow \mathscr{V}\) в Equation (\ ref {64}) ми бачимо, що воно стає

\[\langle \mathscr{V} \rangle = -\eta \dot{Q} \equiv - \eta I. \label{80}\]

Порівнюючи це відношення із законом Ома\(\mathscr{V} = R(-I)\), ³⁶ ми бачимо, що в цьому випадку коефіцієнт\(\eta\) має фізичне відчуття звичайного омічного опору нашого\(R\) дисипативного пристрою, ³⁷ так що Equation (\ ref {73a}) стає

\[S_{\mathscr{V}} (\omega ) = \frac{R}{\pi}T. \label{81a}\]

Використовуючи останню рівність у Equation (\(5.4.16\)) та перенесення до одиниць температури SI (\(T = k_BT_K\)), ми можемо довести цю відому формулу Найквіста ³⁸ до її найпопулярнішої форми:

Формула Найквіста:

\[\boxed{\left\langle \tilde{\mathscr{V}}^2 \right\rangle_{\Delta \nu} = 4k_BT_K R \Delta \nu. } \label{81b}\]

Зверніть увагу, що згідно з Equation (\ ref {65}), цей результат дійсний лише при незначній швидкості зміни координати\(q\) (в нашому поточному випадку незначний струм\(I\)), тобто рівняння (\ ref {81a} -\ ref {81c}) виражає коливання напруги так, як це було б виміряно практично ідеальним вольтметр, при цьому його вхідний опір набагато вище\(R\).

З іншого боку, використовуючи інший вибір узагальненої координати і сили\(q \rightarrow \Phi \),\(\mathscr{F} \rightarrow I\) (де\(\Phi \equiv \int \mathscr{V}(t)dt\) узагальнений магнітний потік, так що\(d\mathscr{W} = I\mathscr{V}(t)dt \equiv Id\Phi \)), отримаємо\(\eta \rightarrow 1/R\), а Рівняння (\ ref {73a} -\ ref {73b}) видає теплові коливання струму через резистивний пристрій, вимірюється практично ідеальним амперметром, тобто при\(\mathscr{V} \rightarrow 0\):

\[S_I (\omega ) = \frac{1}{\pi R} T, \quad \text{ i.e. } \left\langle \tilde{I}^2 \right\rangle_{\Delta \nu} = \frac{4k_BT_K}{R} \Delta \nu . \label{81c}\]

Характер Eqs. (\ ref {81a} -\ ref {81c}) настільки фундаментальні, що можуть бути використані, зокрема, для так званої шумової термометрії Джонсона. ³⁹ Зауважте, однак, що ці відносини справедливі лише для шуму в тепловій рівновазі. У електричних ланцюгах, які можуть бути легко виведені з рівноваги прикладеною напругою\(\mathscr{V}\), інші типи шуму часто важливі, зокрема шум пострілу, який виникає в коротких провідниках, наприклад, тунельних переходах, при прикладеній напрузі з\(|\mathscr{V} | >> T /q\), через дискретність носії заряду. ⁴⁰ Простий аналіз (залишений для вправи читача) показує, що цей шум може характеризуватися коливаннями струму з наступною низькочастотною спектральною щільністю:

Формула Шотткі:

\[ \boxed{ S_I (\omega ) = \frac{\left| q \tilde{I}\right|}{2\pi}, \quad \text{ i.e. } \left\langle \tilde{I}^2 \right\rangle_{\Delta \nu} = 2 \left| q \tilde{I} \right\rangle \Delta \nu , } \label{82}\]

де\(q\) - електричний заряд одного носія струму. Це формула Шотткі, ⁴¹ дійсна для будь-якого співвідношення між середнім\(I\) і\(\mathscr{V}\). Порівняння Eqs. (\ ref {81c}) і (\ ref {82}) для пристрою, який підпорядковується закону Ома, показує, що шум пострілу має таку ж інтенсивність, як і тепловий шум з ефективною температурою

\[T_{ef} = \frac{\left|q \bar{\mathscr{V}}\right|}{2} >> T. \label{83}\]

Це співвідношення може бути інтерпретовано як результат перегріву носія заряду застосованим електричним полем, і пояснює, чому формула Шотткі (\ ref {82}) діє лише в провідниках, значно коротших, ніж довжина\(l_e\) релаксації енергії носіїв заряду. ⁴² (Іншим механізмом придушення дробових шумів, який може стати помітним у високопровідних нанорозмірних пристроях, є статистика електронів Фермі-Дірака. ⁴³)

Тепер повернемося на хвилину до болометричного радіометра Діке (див. \(5.3.3-5.3.4\)та їх обговорення в розділі 4), а також використовувати формалізм Ланжевена для завершення його аналізу. Для цієї системи рівняння Ланжевена є продовженням звичайного рівняння теплового балансу:

\[C_V \frac{dT}{dt} + \mathscr{G} (T-T_0)=\mathscr{P}_{det}(t)+ \tilde{\mathscr{P}}(t), \label{84}\]

де\(\mathscr{P}_{det} \equiv \langle \mathscr{P}\rangle\) описується (детермінована) потужність поглиненого випромінювання і\(\tilde{\mathscr{P}}\) являє собою ефективне джерело коливань температури. Тепер ми можемо використовувати Equation (\ ref {84}) для обчислення спектральної\(S_T(\omega )\) щільності коливань температури абсолютно аналогічно тому, як це було зроблено з Equation (\ ref {65}), припускаючи, що частотний спектр джерела флуктуацій набагато ширший, ніж внутрішня смуга пропускання \(1/\tau = \mathscr{G}/C_V\)болометра, так що його спектральна щільність на частотах\(\omega \tau \sim 1\) може бути добре наближена його низькочастотним значенням\(S_{\mathscr{P}}(0)\):

\[S_T (\omega ) = \left| \frac{1}{-i\omega C_V + \mathscr{G}}\right|^2 S_{\mathscr{P}} (0). \label{85}\]

Потім, вимагаючи дисперсії коливань температури, обчислюється за цією формулою і рівнянням (\(5.4.15\)),

\ [\ почати {вирівняти} & (\ дельта Т) ^ {2}\ equiv\ лівий\ ланкут\ широкий кут {T} ^ {2}\ правий\ діапазон = 2\ int_ {0} ^ {\ infty} S_ {T} (\ омега) d\ омега=2 S_ {\ mathscr {P}} (0)\ int_ {0} ^ {\ inff ти}\ ліворуч |\ frac {1} {-i\ омега C_ {V} +\ mathscr {G}}\ праворуч |^ {2} d\ омега\ номер\
&\ equiv 2 S_ {\ mathscr {P}} (0)\ frac {1} {C _ {V} ^ {2}}\ int _ {0} ^ {\ infty}\ frac {d\ омега} {\ омега^ {2} +\ лівий (\ mathscr {G}/C_ {V}\ праворуч) ^ {2}} =\ frac {\ pi S_ {\ mathscr {P}} (0)} {\ mathscr {G} S C_ {V}},\ мітка {86}\ end {вирівняти}\]

щоб збігатися з нашим більш раннім результатом «термодинамічного флуктуації» (\(5.3.9\)), отримуємо

\[S_{\mathscr{P}}(0) = \frac{\mathscr{G}}{\pi} T^2_0. \label{87}\]

R.m.s. значення «шуму потужності» в межах смуги пропускання\(\Delta \nu << 1/\tau\) (див. Рис.\(5.3.4\)) стає рівним потужності детермінованого сигналу\(\mathscr{P}_{det}\) (або, точніше, головній гармоніці його закону модуляції) при

\[\mathscr{P} = \mathscr{P}_{min} \equiv \left( \left\langle \tilde{\mathscr{P}}^2 \right\rangle_{\Delta \nu} \right)^{1/2} = (2S_{\mathscr{P}} (0) \Delta \omega )^{1/2} = 2 (\mathscr{G} \Delta \nu )^{1/2} T_0 . \label{88}\]

Цей результат показує, що наше попереднє прогнозування (\(5.3.13\)) може бути покращено суттєвим коефіцієнтом порядку\((\Delta \nu /\nu )^{1/2}\), де зменшення вихідної пропускної здатності обмежується лише часом накопичення сигналу\(\Delta t \sim 1/\Delta \nu \), тоді як збільшення\(\nu\) обмежується швидкістю (зазвичай, механічні) пристрої, що виконують модуляцію потужності. У практичних системах цей фактор може поліпшити чутливість на пару порядків, дозволяючи спостерігати за вкрай слабким випромінюванням. Можливо, найбільш вражаючим прикладом є недавні вимірювання випромінювання CMB, яке відповідає температурі чорного тіла\(T_K \approx 2.726\) K, з точністю\(\delta T_K \sim 10^{-6}\) K, використовуючи мікрохвильові приймачі з фізичною температурою всіх їх компонентів набагато вище\(\delta T\). Спостережувана слабка (\(\sim 10^{-5}\)К) анізотропія випромінювання CMB є основною експериментальною основою всієї сучасної космології. ⁴⁴

Повертаючись до обговорення нашого основного результату, Equation (\ ref {73a} -\ ref {73b}), дозвольте зауважити, що його можна легко узагальнити до випадку, коли відповідь середовища відрізняється від омічної форми (\ ref {64}). Ця можливість практично очевидна з Equation (\ ref {66}): за його виведенням другий член з лівого боку є лише компонентом Фур'є середньої реакції середовища на зміщення системи:

\[\langle \mathscr{F}_{\omega} \rangle = i \omega \eta q_{\omega} . \label{89}\]

Тепер нехай відповідь буде ще лінійною, але має довільну частотну дисперсію,

\[\langle \mathscr{F}_{\omega} \rangle = \chi (\omega ) q_{\omega} . \label{90}\]

де функція\(\chi (\omega )\), звана узагальненою сприйнятливістю (в нашому випадку середовища) може бути складною, тобто мати як уявну, так і реальну частини:

\[ \chi (\omega ) = \chi '(\omega ) + i\chi^{\prime\prime}(\omega ). \label{91}\]

\[S_{\mathscr{F}} (\omega ) = \frac{\chi^{\prime\prime} (\omega )}{\pi \omega } T. \label{92}\]

Це фундаментальне співвідношення ⁴⁶ може бути використано не тільки для обчислення інтенсивності флуктуацій від відомої узагальненої відповідальності (тобто детермінованої реакції системи на мале збурення), а й у зворотному — для обчислення такої лінійної реакції від відомих флуктуацій. Останнє використання особливо привабливо при чисельному моделюванні складних систем, наприклад, заснованих на підходах молекулярної динаміки, оскільки воно обходить необхідність вилучення слабкої реакції на невелике збурення з галасливого фону.

Тепер давайте обговоримо, яке узагальнення рівняння (\ ref {92}) необхідно, щоб цей фундаментальний результат був придатним для довільних температур\(T \sim \hbar \omega \). Розрахунки, які ми провели, базувалися на явно класичному рівнянні руху, Equation (\ ref {63}). Однак квантова механіка показує ⁴⁷, що подібне рівняння справедливо для відповідних операторів зображення Гейзенберга, так що повторюючи всі аргументи, що ведуть до рівняння Ланжевена (\ ref {65}), ми можемо написати його квантово-механічну версію

Рівняння Гейзенберга-Ланжевена:

\[\boxed{m \ddot{\hat{q}} + \eta \dot{\hat{q}} + \kappa \hat{q} = \hat{\mathscr{F}}_{det} + \hat{\tilde{\mathscr{F}}}. } \label{93}\]

Це так зване рівняння Гейзенберга-Ланжевена (або «квантового Ланжевена») - в даному конкретному випадку для гармонічного осцилятора.

Подальші операції, однак, вимагають певної обережності, оскільки права частина рівняння тепер є оператором і має деякі нетривіальні властивості. Наприклад, «значення» оператора Гейзенберга, що представляють одну і ту ж змінну f (t) в різний час, необов'язково коммутіруют:

\[\hat{\tilde{f}}(t) \hat{\tilde{f}}(t') \neq \hat{\tilde{f}}(t') \hat{\tilde{f}}(t), \quad \text{ if } t' \neq t . \label{94}\]

\[K_f ( \tau ) \equiv \frac{1}{2} \left\langle \hat{\tilde{f}}(t) \hat{\tilde{f}}(t+\tau ) + \hat{\tilde{f}}(t+\tau ) \hat{\tilde{f}}(t) \right\rangle \equiv \frac{1}{2} \left\langle \left\{ \hat{\tilde{f}}(t), \hat{\tilde{f}}(t+\tau ) \right\} \right\rangle , \label{95}\]

(Де\(\{...,...\}\) позначає антикомутатор двох операторів), і, аналогічно, симетричну спектральну щільність\(S_f(\omega )\), визначену наступним співвідношенням:

\[S_f ( \omega ) \delta (\omega - \omega' ) \equiv \frac{1}{2} \left\langle \hat{f}_{\omega} \hat{f}^*_{\omega'} + \hat{f}^*_{\omega'}\hat{f}_{\omega} \right\rangle \equiv \frac{1}{2} \left\langle \left\{ \hat{f}_{\omega}, \hat{f}^*_{\omega'} \right\} \right\rangle , \label{96}\]

з\(K_f(\tau )\)\(S_f(\omega )\) перетворенням Фур'є (\(5.4.14\)).

Тепер ми можемо повторити весь аналіз, який був проведений для класичного випадку, і знову отримати Equation (\ ref {71}), але тепер цей вираз доводиться порівнювати не з теоремою рівноділення, а з його квантово-механічним узагальненням (\(5.1.15\)), яке в наших нинішніх позначеннях читає

\[\langle\langle \tilde{q}^2 \rangle\rangle = \frac{\hbar \omega_0}{2\kappa} \coth \frac{\hbar \omega_0}{2T}. \label{97}\]

В результаті отримаємо наступне квантово-механічне узагальнення рівняння (\ ref {92}):

ФДТ:

\[\boxed{ S_{\mathscr{F}} (\omega ) = \frac{\hbar \chi^{\prime\prime} (\omega )}{2\pi} \coth \frac{\hbar \omega}{2T}. } \label{98}\]

Це дуже відома теорема коливань дисипації, яку зазвичай називають так само, як FDT, вперше отримана в 1951 році Гербертом Бернардом Калленом та Теодором Велтоном - дещо іншим способом.

Як би природно це не здавалося, це узагальнення зв'язку між коливаннями та розсіюванням створює дуже цікаву концептуальну дилему. Нехай, для наочності, температура буде відносно низькою,\(T << \hbar \omega \); тоді Рівняння (\ ref {98}) дає незалежний від температури результат

Квантовий шум:

\[\boxed{S_{\mathscr{F}} (\omega ) = \frac{\hbar \chi^{\prime\prime} (\omega )}{2\pi } , } \label{99}\]

який описує те, що часто називають квантовим шумом. Згідно з квантовим рівнянням Ланжевена (\ ref {93}), джерелом «флуктуацій» координати і імпульсу кванта є нічого, крім випадкової сили, що чиниться навколишнім середовищем, зі спектральною щільністю (\ ref {99}), пропорційною уявній частині сприйнятливості (тобто демпфування) гармонічний осцилятор, зі значеннями rms

\[\delta q \equiv \langle\langle \tilde{q}^2 \rangle \rangle^{1/2} = \left( \frac{\hbar}{2m\omega_0}\right)^{1/2}, \quad \delta p \equiv \langle\langle \tilde{p}^2 \rangle \rangle^{1/2} = \left( \frac{\hbar m\omega_0}{2}\right)^{1/2}, \label{100}\]

і загальна енергія\(\hbar \omega_0/2\). З іншого боку, основна квантова механіка говорить нам, що саме ці формули описують основний стан генератора без дисипації, не пов'язаного з будь-яким середовищем, і є прямим наслідком основного комутаційного відношення

\[ [ \hat{q}, \hat{p} ] = i\hbar . \label{101}\]

Отже, що є справжнім джерелом невизначеності, описаної Eqs. (\ ref {100})?

Найкраща роздільна здатність цього парадоксу, яку я можу запропонувати, полягає в тому, що будь-яка інтерпретація Eqs. (\ ref {100}) є законним, з їх відносною зручністю в залежності від конкретної програми. Можна сказати, що оскільки права частина квантового рівняння Ланжевена (\ ref {93}) є квантово-механічним оператором, а не класичною силою, вона «несе в собі відношення невизначеності». Однак це (правда, опортуністичне: -) дозвіл залишає відкритим наступне питання: чи є квантовий шум (\ ref {99}) спостережуваного середовища\(\mathscr{F}\) безпосередньо, без будь-якого зондового генератора піддається йому? Експериментальне вирішення цієї дилеми не зовсім просте, оскільки звичайні наукові прилади мають власну невизначеність наземного стану, тобто власні квантові флуктуації, які можна легко сплутати з тими, що досліджуваної системи. На щастя, цю складність можна подолати, наприклад, використовуючи унікальні властивості змішування частот («вниз - перетворення») переходів Джозефсона. Спеціальні низькотемпературні експерименти з використанням такого зниження перетворення ⁴⁹ підтвердили, що шум (\ ref {99}) є реальним і вимірним.

\[\left\langle \left[ \hat{\tilde{\mathscr{F}}}(t), \hat{\tilde{\mathscr{F}}}(t+\tau ) \right]\right\rangle = i\hbar \mathscr{G} (\tau ), \label{102}\]

де\(\mathscr{G}(\tau )\) - тимчасова функція Гріна навколишнього середовища, визначена наступним співвідношенням:

\[\langle \mathscr{F}(t)\rangle = \int^{\infty}_0 \mathscr{G}(\tau ) q (t - \tau ) d \tau \equiv \int^t_{-\infty} \mathscr{G} (t-t') q(t')dt'. \label{103}\]

Підключивши до цього співвідношення перетворення Фур'є всіх трьох функцій часу, що беруть участь у рівнянні (\ ref {103}), нескладно перевірити, що ця функція Гріна є лише зображенням Фур'є комплексної сприйнятливості,\(\chi (\omega )\) визначеної рівнянням (\ ref {90}):

\[\int^{\infty}_0 \mathscr{G}(\tau ) e^{i\omega \tau} d\tau = \chi (\omega ); \label{104}\]

тут 0 використовується як нижня межа замість (\(–\infty \)) лише для того, щоб підкреслити, що завдяки принципу причинності функція Гріна повинна дорівнювати нулю для\(\tau < 0\). ⁵¹

Щоб виявити реальну красу рівняння (\ ref {102}), ми можемо використати теорему Вінера-Хінчіна (\(5.4.14\)) для перезапису теореми флуктуації-дисипації (\ ref {98}) у подібній часовій області:

\[\left\langle \left\{ \hat{\tilde{\mathscr{F}}}(t), \hat{\tilde{\mathscr{F}}}(t+\tau ) \right\} \right\rangle = 2K_{\mathscr{F}}(\tau ). \label{105}\]

де симетризована кореляційна функція\(K_{\mathscr{F}}(\tau )\) найбільш просто описується її перетворенням Фур'є, яке, згідно Equation (\(5.4.13\)), дорівнює\(\pi S_{\mathscr{F}}(\omega )\), так що за допомогою FDT ми отримаємо

\[\int^{\infty}_{0} K_{\mathscr{F}} (\tau ) \cos \omega \tau d \tau = \frac{\hbar \chi^{\prime\prime} (\omega )}{2} \coth \frac{\hbar \omega }{2T}. \label{106}\]

Порівняння Eqs. (\ ref {102}) і (\ ref {104}), з одного боку, і Eqs (\ ref {105}) - (\ ref {106}), з іншого боку, показує, що як комутаційні, так і антикомутаційні властивості оператора сили Гейзенберга-Лангевена в різні моменти часу визначаються однаковою узагальненою\(\chi (\omega )\) сприйнятливістю середовища. Однак усереднений антикомутатор також залежить від температури, тоді як усереднений комутатор - принаймні явно, оскільки складна сприйнятливість навколишнього середовища може бути залежною і від температури.