5.4: Коливання як функції часу

У попередніх розділах усереднення\(\langle ...\rangle\) будь-якої функції передбачалося над відповідним статистичним ансамблем багатьох подібних систем. Однак, як обговорювалося в п. 2.1, більшість фізичних систем, що представляють інтерес, є ергодичними. Якщо така система також є стаціонарною, тобто статистичні середні її змінні з часом не змінюються, то усереднення також можна розуміти як таке протягом досить тривалого часового інтервалу. У цьому випадку ми можемо думати про коливання будь-якої змінної\(f\) як про випадковий процес, що відбувається лише в одній системі, але розвивається в часі:\(\tilde{f} = \tilde{f}(t)\).

Існує два математично рівнозначних підходи до опису таких випадкових функцій часу, які називаються картиною часової області та картиною частотної області, їх відносна зручність залежно від конкретної задачі, що підлягає розв'язанню. У часовій області нам потрібно охарактеризувати випадкове коливання\(\tilde{f} (t)\) деякою детермінованою функцією часу. Очевидно, що середнє значення\(\langle \tilde{f}(t)\rangle\) не може бути використано для цієї мети, оскільки воно дорівнює нулю — див. Рівняння (\(5.1.2\)). Звичайно, дисперсія (\(5.1.3\)) не дорівнює нулю, але якщо система стаціонарна, то середнє значення також не може залежати від часу. Через це розглянемо наступні середні показники:

\[\langle \tilde{f}(t)\tilde{f}(t')\rangle . \label{46}\]

Як правило, це функція двох аргументів. Однак в стаціонарній системі середнє значення like (\ ref {46}) може залежати тільки від різниці,

\[ \tau \equiv t' − t , \label{47}\]

між двома часами спостереження. У цьому випадку середнє значення (\ ref {46}) називається кореляційною функцією змінної\(f\):

Кореляційна функція:

\[\boxed{ K_f (\tau ) \equiv \langle \tilde{f}(t) \tilde{f}(t+\tau ) \rangle. } \label{48}\]

Знову ж таки, тут усереднення можна розуміти як те, що або над статистичним ансамблем макроскопічно подібних систем, або протягом досить тривалого інтервалу аргументу часу\(t\), при цьому аргумент залишається\(\tau\) постійним. Назва кореляційної функції ¹⁵ дуже добре вловлює уявлення про це поняття:\(K_f(\tau )\) характеризує взаємний зв'язок між флуктуаціями змінної\(f\) в два рази, розділених заданим інтервалом\(\tau \). Перерахуємо основні властивості цієї функції. ¹⁶

Перш за все,\(K_f (\tau )\) повинна бути рівномірна функція затримки часу\(\tau \). Дійсно, ми можемо написати

\[ K_f (-\tau ) = \langle \tilde{f}(t) \tilde{f}(t-\tau ) \rangle \equiv \langle \tilde{f}(t-\tau ) \tilde{f}(t) \rangle = \langle \tilde{f}(t') \tilde{f}(t'+\tau ) \rangle , \label{49}\]

с\(t' \equiv t – \tau \). Для стаціонарних процесів це середнє значення не може залежати від загального зсуву двох часів спостереження, так що середні значення (\ ref {48}) та (\ ref {49}) мають дорівнювати:

\[K_f (-\tau ) = K_f (\tau ). \label{50}\]

По-друге, при\(\tau \rightarrow 0\) кореляційній функції прагне до дисперсії:

\[K_f (0) = \langle \tilde{f}(t)\tilde{f}(t)\rangle = \langle \tilde{f}^2 \rangle \geq 0. \label{51}\]

У протилежній межі, коли\(\tau\) набагато більше певного\(\tau_c\) характерного часу кореляції системи, ¹⁷ кореляційна функція повинна прагнути до нуля, оскільки коливання, розділені таким інтервалом часу, є практично незалежними (некорельованими). Як результат, кореляційна функція зазвичай виглядає як один із графіків, намальованих на малюнку\(\PageIndex{1}\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Кореляційна функція флуктуацій: два типових приклади.

Зверніть увагу, що на часовій шкалі набагато довше\(\tau_c\), ніж будь-яка фізично-реалістична кореляційна функція може бути добре апроксимована з дельта-функцією\(\tau \). (Наприклад, для процесу, який є сумою незалежних дуже коротких імпульсів, наприклад, сили тиску газу, що чиниться на стінці контейнера (рис.\(5.3.1\)), таке наближення є законним на часових масштабах набагато довше, ніж тривалість одного імпульсу, наприклад, час взаємодії частинки з на стінці при вплив.)

\[\tilde{f} (t) = \int^{+ \infty}_{- \infty} f_{\omega} e^{-i\omega t} d\omega , \label{52}\]

з взаємним перетворенням

\[f_{\omega} = \frac{1}{2 \pi } \int^{+\infty}_{-\infty} \tilde{f}(t) e^{i \omega t} dt. \label{53}\]

Якщо функція\(\tilde{f} (t)\) випадкова (як це відбувається у випадку коливань), з нульовим середнім значенням, її перетворення\(f_{\omega}\) Фур'є також є випадковою функцією (тепер частотною), також зі зникаючим статистичним середнім. Дійсно, зараз думаючи про операцію\(\langle ...\rangle\) як про ансамбль усереднення, ми можемо написати

\[\langle f_{\omega} \rangle = \left\langle \frac{1}{2\pi} \int^{+\infty}_{-\infty} \tilde{f}(t) e^{i\omega t} dt \right\rangle = \frac{1}{2\pi} \int^{+\infty}_{-\infty} \langle \tilde{f}(t)\rangle e^{i\omega t} dt = 0 . \label{54}\]

Найпростіше ненульове середнє може бути сформовано аналогічно рівнянню (\ ref {46}), але з урахуванням складнозмінного характеру зображень Фур'є:

\[\left\langle f_{\omega}f_{\omega'}^* \right\rangle = \langle \frac{1}{(2\pi )^2} \int^{+\infty}_{-\infty} dt' \int^{+\infty}_{-\infty} dt \langle \tilde{f}(t) \tilde{f} (t') \rangle e^{i(\omega' t' - \omega t)}. \label{55}\]

Виходить, що для стаціонарного процесу середні значення (\ ref {46}) і (\ ref {55}) безпосередньо пов'язані між собою. Дійсно, оскільки інтеграція\(t'\) в Equation (\ ref {55}) знаходиться в нескінченних межах, ми можемо замінити її інтеграцією над\(\tau \equiv t' – t\) (у фіксованому\(t\)), також у нескінченних межах. \(t'\)Замінивши на\(t + \tau\) в виразах під інтегралом, ми бачимо, що середнє - це всього лише кореляційна функція\(K_f(\tau )\), тоді як показник часу дорівнює\(\exp \{i(\omega ' – \omega )t\}\exp\{i\omega '\tau \}\). В результаті змінюючи порядок інтеграції, отримуємо

\[\left\langle f_{\omega} f_{\omega^{\prime}}^{*}\right\rangle=\frac{1}{(2 \pi)^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty} d t \int_{-\infty}^{+\infty} d \tau K_{f}(\tau) e^{i\left(\omega-\omega^{\prime}\right) t} e^{i \omega^{\prime} \tau} \equiv \frac{1}{(2 \pi)^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty} K_{f}(\tau) e^{i \omega^{\prime} \tau} d \tau \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\left(\omega-\omega^{\prime}\right) t} d t . \label{56}\]

Але останній інтеграл просто\(2\pi \delta (\omega – \omega')\), ¹⁹ так що ми, нарешті, отримати

\[\left\langle f_{\omega} f_{\omega^{\prime}}^{*}\right\rangle= S_f ( \omega ) \delta (\omega - \omega' ), \label{57}\]

де реальна функція частоти,

Спектральна щільність коливань:

\[\boxed{ S_f ( \omega ) \equiv \frac{1}{2\pi } \int^{+\infty}_{-\infty} K_f (\tau ) e^{i\omega \tau} d \tau = \frac{1}{\pi} \int^{\infty}_0 K_f (\tau ) \cos \omega \tau d \tau , } \label{58}\]

Теорема Вінера-Хінчіна:

\[\boxed{ K_f (\tau ) = \int^{+\infty}_{-\infty} S_f (\omega ) e^{-i \omega \tau} d \omega = 2 \int^{\infty}_0 S_f (\omega ) \cos \omega \tau d \omega . } \label{59}\]

Зокрема, для дисперсії флуктуації рівняння (\ ref {59}) дає

\[\langle \tilde{f}^2 \rangle \equiv K_f (0) = \int^{+\infty}_{-\infty} S_f (\omega ) d\omega \equiv 2 \int^{\infty}_0 S_f ( \omega ) d \omega . \label{60}\]

Останнє співвідношення показує, що термін «спектральна щільність»\(S_f(\omega )\) дуже добре описує фізичний сенс функції. Дійсно, якби випадковий сигнал\(f(t)\) був переданий через частотний фільтр з невеликою пропускною здатністю\(\Delta \nu << \nu \) позитивних циклічних частот, інтеграл в останній формі Equation (\ ref {60}) міг бути обмежений інтервалом\(\Delta \omega = 2\pi \Delta \nu \), тобто дисперсія відфільтрованого сигналу стала б

\[\left\langle \tilde{f}^2 \right\rangle_{\Delta \nu} = 2S_f (\omega ) \Delta \omega \equiv 4 \pi S_f ( \omega ) \Delta \nu . \label{61}\]

(Популярним альтернативним визначенням спектральної щільності є те\(\mathscr{S}_f(\nu ) \equiv 4\pi S_f(\omega )\), що середнє значення (\ ref {61}) дорівнює справедливому\(\mathscr{S}_f(\nu )\Delta \nu \).)

На завершення цього вступного (здебільшого математичного) розділу дозвольте відзначити важливий конкретний випадок. Якщо спектральна щільність якогось процесу майже постійна у всьому діапазоні частот, що цікавить,\(S_f(\omega ) =\) const\(= S_f(0)\), ²² Equation (\ ref {59}) показує, що його кореляційна функція може бути добре апроксимована з дельта-функцією:

\[K_f ( \tau ) = S_f (0) \int^{+\infty}_{-\infty} e^{-i\omega \tau}d\omega = 2\pi S_f (0) \delta (\tau). \label{62}\]

З цього співвідношення випливає ще одна популярна назва білого шуму, дельта-корельованого процесу. Ми вже бачили, що це дуже розумне наближення, наприклад, для коливань сили тиску газу (рис.\(5.3.1\)). Звичайно, для спектральної щільності реалістичної обмеженої фізичної змінної наближення постійної спектральної щільності не може бути вірним для всіх частот (інакше, наприклад, інтеграл (\ ref {60}) розходився б, даючи нефізичне, нескінченне значення його дисперсії), і може бути дійсним лише на частотах набагато нижче\(1/\tau_c\).