4.4: Фотони і матерія

Розглянемо промінь фотонів, що падає на шматок речовини. Фотони можуть поглинатися електронами, розсіюватися від електронів і створювати пари частинок, взаємодіючи з ядром. Однак залишається два питання. Який з цих процесів буде відбуватися для будь-якого конкретного фотона і як далеко фотон проникне в речовину до того, як відбудеться один з цих процесів. Ці питання вимагають розуміння ймовірності кожного з цих процесів, що відбуваються. Імовірність того, що той чи інший процес відбувається, представлена перетином для цього процесу, що позначається$\sigma$.

В основному, ідея полягає в тому, щоб уявити атом як дошку для дартсу. Кожен процес (фотоелектричний ефект, розсіювання, виробництво пари) представлений площею дошки дартс. Якщо фотон вражає цю область, цей процес відбувається.

Таким чином, ймовірність того, що процес відбувається на атом, задається співвідношенням перерізу цього процесу на атом (площа цієї частини дротикової дошки), розділеним на загальну площу мішені:

$$\frac{\text{Probability}}{\text{atom}} = \frac{\sigma}{A}$$

$$\text{Probability} = \frac{\sigma}{A}N_{atoms}$$
де$N_atoms$ - загальна кількість атомів в мішені.

Щоб перетворити цю ідею в більш корисну форму, уявіть собі промінь паралельних фотонів, що падають на товсту плиту матеріалу (що містить багато мікроскопічних мішеней).

Зменшення кількості фотонів в пучку внаслідок взаємодій в тонкій плиті матеріалу задається добутком ймовірності взаємодії і кількості присутніх фотонів:

$$\Delta N_{photons} = - \big( \frac{\sigma}{A}N_{atoms}\big)N_{photons}$$
Число атомів в тонкій плиті матеріалу задається добутком числа атомів на одиницю об'єму (n) і об'ємом плити ($A\Delta x$). Таким чином,
$$\Delta N_{photons} = - \big( \frac{\sigma}{A}nA\Delta x\big)N_{photons}$$

$$\Delta N_{photons} = - \sigma n\big( \Delta x \big) N_photons$$
Оскільки маса на одиницю об'єму ($\rho$) є більш відомим значенням, ніж число на одиницю об'єму (n), давайте замінимо n на$\rho$ і перевизначимо поперечний переріз, щоб мати одиниці площі на одиницю маси (зазвичай$cm^2/g$).
$$\Delta N_{photons} = -\sigma \rho ( \Delta x) N_{photons}$$

$$\frac{\Delta N_{photons}}{\Delta x} = - \sigma \rho N_{photons}$$
У межі дуже тонких плит це стає диференціальним рівнянням з відомим рішенням:

$$\frac{dN_{photons}}{dx} = -\sigma\rho N_{photons}$$

$$N_{photons}(x) - N_0e^{-\sigma\rho X}$$

Таким чином, кількість фотонів в пучку зменшується експоненціально, з залежністю як від перетину для взаємодії цікавить, так і від щільності цільового матеріалу.

Фотони і свинець

Чудовий веб-сайт:
Physics.nist.gov/PhysrefData/... Text/XCOM.html
табулює поперечні перерізи для всіх фотонних взаємодій, які ми обговорювали майже для будь-якого елемента або сполуки, які ви можете собі уявити. Ці поперечні перерізи є важливою інформацією для широкого спектру важливих заходів, від розрахунку дозування для променевої терапії раку до визначення необхідного екранування для ядерних реакторів.
Нижче наведено графічне зображення перерізів фотонів з енергією між 1,0 кеВ і 1000 МеВ, що взаємодіють зі свинцем. Відзначимо, що при різних енергіях домінують різні процеси. При меншій енергії домінуючим процесом є фотоелектричне поглинання. Навколо 1,0 МеВ, однак, некогерентне розсіювання починає домінувати. (Некогерентне розсіювання - це розсіювання Комптона, при якому довжина хвилі фотона змінюється під час події розсіювання. Когерентне розсіювання - це коли фотон розсіюється, не змінюючи своєї довжини хвилі. Це відбувається, наприклад, коли фотон розсіюється від ядра. Зверніть увагу, що якщо ви підставите ядерну масу в формулу Комптона, то виявите, що довжина хвилі фотона не змінюється.) Нарешті, вище приблизно 10 МеВ домінує виробництво пари за участю ядра. Виробництво пари також може відбуватися з електроном, «поглинаючим» необхідний імпульс, але це набагато рідше.


Розглянемо проблему нижче:

Фотони 1,0 МеВ падають на товсту свинцеву ($\rho$= 11,34 г/см$^3$) плиту.

а Якщо плита товщиною 1,0 см, який відсоток фотонів піддасться фотоелектричному ефекту?

б Яка товщина свинцю потрібна для зупинки 95% фотонів?
c Яка товщина свинцю потрібна для зупинки або розсіювання 95% фотонів?

Оскільки перше питання стосується лише фотоелектричного ефекту, нам потрібен перетин фотоелектричного ефекту при 1,0 МеВ. З сайту$\sigma$ фотоелектричні =$1.81 x 10^{-2}$ см2/г. таким чином,

$$N_{photons}(x) = N_0e^{\sigma\rho x}$$

$$N_{photons} = N_0 e^{-(.0181)(11.34)(1)}$$

$$N_{photons} = N_0(0.814)$$
Якщо 81,4 відсотка фотонів не зазнали фотоефекту, то 18,6% з них мають.

Зазвичай фотони можуть бути «зупинені» або поглинанням (фотоелектричним ефектом), або парним виробництвом. Оскільки 1.0 МеВ є занадто низькою енергією для виробництва пари, єдиним механізмом зупинки є фотоелектричний ефект. Таким чином,

$$N_{photons}(x)=N_0e^{\sigma \rho x}$$

$$\frac{N_{photons}}{N_0}=e^{-(.0181)(11.34)x}$$

$$0.05 = e^{-0.205x}$$

$$\ln(0.05) = -0.205 x$$

$$x =14.6 \text{ cm}$$

Перетин для зупинки і розсіювання - сумарне поперечне переріз при 1,0 МеВ, (\ сигма\) сумарне = 7,1 х 10-2 см2/г. таким чином,

$$N_{photons}(x)=N_0e^{\sigma \rho x}$$

$$\frac{N_{photons}}{N_0}=e^{-(.071)(11.34)x}$$

$$0.05 = e^{-0.805x}$$

$$\ln(0.05) = -0.805 x$$

$$x =3.72 \text{ cm}$$

Зниження інтенсивності променя внаслідок як поглинання, так і розсіювання називається загасанням променя.