8.1: Взаємодія випромінювання з речовиною

Перетин

Класично перетин - це область, на яку може вплинути стикається снаряд. Так, наприклад, поперечний переріз сферичної цілі радіусом r просто задається\(\pi r^{2}\). Потім поперечний переріз має одиниці площі. Розглянемо для прикладу ядро з числом маси А. Радіус ядра тоді\(R \approx R_{0} A^{1 / 3}=1.25 A^{1 / 3} \mathrm{fm}\) і класичним поперечним перерізом буде\(\sigma=\pi R_{0}^{2} A^{2 / 3} \approx 5 A^{2 / 3} \mathrm{fm}^{2}\). Для типового важкого ядра, такого як золото, А = 197, ми маємо\(\sigma \approx 100 \mathrm{fm}^{2}=1 \text { barn }\left(\right.\text { symbol } \mathrm{b}, 1 b=10^{-28} \mathrm{~m}^{2}=10^{-24} \mathrm{~cm}^{2}=100 \mathrm{fm}^{2}\).

Однак при розсіюванні частинки від цілі важливим стає не лобове зіткнення (як між кульками), а взаємодія між частинкою та мішенню (наприклад, Кулон, ядерна взаємодія, слабка взаємодія тощо). Для макроскопічних об'єктів деталі цих взаємодій згорнуті разом і приховані. Для одиночних частинок це не так, і, наприклад, ми можемо мати зіткнення, навіть якщо відстань між снарядом і ціллю більша за радіус цілі. Таким чином, перетин набуває іншого значення і тепер визначається як ефективна площа або точніше як міра ймовірності зіткнення. Навіть в класичній аналогії легко зрозуміти, чому перетин має це статистичне значення, так як при зіткненні відбувається певний (імовірнісний) розподіл ударної відстані. Поперечний переріз також описує ймовірність виникнення заданої (ядерної) реакції, реакцію, яку, як правило, можна записати як:

\[a+X \rightarrow X^{\prime}+b \quad \text { or } \quad X(a, b) X^{\prime} \nonumber\]

де\(X\) важка мішень і невеликий снаряд (наприклад, нейтрон, протон, альфа...), тоді як\(X^{\prime}\) і b - продукти реакції (знову ж таки, b - нуклони або світле ядро, або в деяких випадках гамма-промінь).

Тоді нехай\(I_{a}\) буде струм надходять частинок, що потрапляють на важку (отже, нерухому) ціль. Важкий виріб також\(X^{\prime}\) буде майже нерухомим, і тільки б буде виходити з матеріалу і вимірюватися. Таким чином, ми будемо спостерігати за\(b\) продуктами, що надходять на детектор зі швидкістю\(R_{b}\). Якщо на одиницю площі є n цільових ядер, то поперечний переріз можна записати як

\[\sigma=\frac{R_{b}}{I_{a} n} \nonumber\]

Ця величина не завжди узгоджується з розрахунковим перетином на основі радіуса ядра. Наприклад, X-розсіювання протонів може бути вище нейтронів, через кулонівську взаємодію. Нейтрино x-переріз тоді буде ще меншим, оскільки вони взаємодіють лише через слабку взаємодію.

Диференціальний переріз

Вихідні частинки (\(b\)) розкидані в усіх напрямках. Однак більшу частину часу детектор займає лише невелику область простору. Таким чином, ми можемо виміряти швидкість тільки\(R_{b}\) в конкретному місці, ідентифікованому за кутами\(\vartheta, \varphi\). Те, що ми насправді вимірюємо, - це швидкість розсіяних частинок у малому твердому\(d \Omega, r(\vartheta, \varphi)\) куті, а відповідним перерізом є диференціальний переріз

\[\frac{d \sigma}{d \Omega}=\frac{r(\vartheta, \varphi)}{4 \pi I_{a} n} \nonumber\]

З цієї величини загальний перетин, визначене вище, можна обчислити як

\[\sigma=\int_{4 \pi} \frac{d \sigma}{d \Omega} d \Omega=\int_{0}^{\pi} \sin \vartheta d \vartheta \int_{0}^{2 \pi} d \varphi \frac{d \sigma}{d \Omega} \nonumber\]

(Зверніть увагу, що додавши коефіцієнт\(4 \pi\) дає\(\sigma=4 \pi \frac{d \sigma}{d \Omega}\) константу\(\frac{d \sigma}{d \Omega}\)).

Подвійний диференціальний переріз

Коли людина також зацікавлена в енергії вихідних частинок\(E_{b}\), оскільки це може дати інформацію, наприклад, про структуру цілі або про характеристику взаємодії снаряда-ціль, величина, яка вимірюється, є поперечним перерізом як функція енергії. Це може бути просто

\[\frac{d \sigma}{d E_{b}} \nonumber\]

якщо датчик енергочутливий, але збирає частинки в будь-якому напрямку або подвійно диференціальному перерізі

\[\frac{d^{2} \sigma}{d \Omega d E_{b}} \nonumber\]

Розсіювання і поглинання нейтронів

Коли нейтрони рухаються всередині матеріалу, вони зазнають розсіювання (пружні та нееластичні), а також інші реакції, взаємодіючи з ядрами за допомогою сильної ядерної сили. З огляду на пучок нейтронів з інтенсивністю\(I_{0}\), при пересуванні через речовину він буде взаємодіяти з ядрами з ймовірністю, заданою загальним перерізом\(\sigma_{T}\). При високих енергіях\((\mathrm{n}, \alpha)\) можливі такі реакції, як (n, p), але при більш низькій енергії зазвичай відбувається захоплення нейтрона\((\mathrm{n}, \gamma)\) з випромінюванням енергії у вигляді гамма-променів. Потім при перетині невеликої області простору dx промінь зменшується на величину, пропорційну кількості ядер в цій області:

\[d I=-I_{0} \sigma_{T} n d x \quad \rightarrow \quad I(x)=I_{0} e^{-\sigma_{T} n x} \nonumber\]

Ця формула, однак, занадто спрощена: з одного боку поперечний переріз залежить від енергії нейтронів (поперечний переріз збільшується з меншою швидкістю, оскільки\(1 / v\) і при більш високих енергіях поперечний переріз може представляти деякі резонанси - деякі піки), і нейтрони втратять частину своєї енергії під час подорожі, таким чином фактичне перетин буде залежати від положення. З іншого боку, не всі реакції є реакціями поглинання, багато хто з них «вироблять» інший нейтрон (тобто вони будуть змінювати лише енергію нейтрона або його напрямок, тим самим не послаблюючи промінь). Тоді нам потрібен кращий опис долі нейтронного пучка в речовині. Наприклад, коли один нейтрон з енергією\(\sim 1 \mathrm{MeV}\) потрапляє в матеріал, він спочатку сповільнюється пружними і нееластичними зіткненнями і потім остаточно поглинається.

Потім ми хочемо знати, скільки зіткнень необхідно, щоб уповільнити нейтрон, і щоб обчислити це, нам спочатку потрібно знати, скільки енергії нейтрон втрачає за одне зіткнення. Різні матеріали можуть мати різний перетин, однак енергообмін при зіткненні набагато вище найлегшої мети. Розглянемо пружне зіткнення з ядром маси М. В лабораторному кадрі ядро спочатку знаходиться в стані спокою, а нейтрон має енергію\(E_{0}\) і імпульс\(m v_{0}\). Після розсіювання енергія нейтронів є\(E_{1}\), швидкість під кутом\(\varphi\) з\(\vec{v}_{0}\),\(\vec{v}_{1}\) в той час як віддача ядра дає імпульс\(M \vec{V}\) під кутом\(\psi\) (я буду використовувати позначення\(w\) для

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Поперечний переріз\(\sigma(E) \) для реакцій нейтрон-HE3. Дані та сюжет можна отримати в Інтернеті за адресою http://t2.lanl.gov/data/ndviewer.html. (CC BY-NC-ND; Паола Капелларо)

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Поперечний переріз\(\sigma(E) \) для реакцій нейтрон-U235. Зверніть увагу на\(1 / v \) залежність при вищих енергіях і резонансах при нижчих енергіях. (CC BY-NC-ND; Паола Капелларо)

величина вектора\(\vec{w}, w=|\vec{w}|\)). Зіткнення краще аналізується в центрі кадру мас, де умова пружного розсіювання передбачає, що відносні швидкості змінюють лише свій напрямок, але не їх величину.

Центр масової швидкості визначається як\(\vec{v}_{C M}=\frac{m \vec{v}_{0}+M \dot{V}_{0}}{m+M}=\frac{m}{m+M} \vec{v}_{0}\). Відносні швидкості в центрі кадру мас визначаються як\(\vec{u}=\vec{v}-\vec{v}_{C M}\). Ми можемо обчислити нейтронну (кінетичну) енергію після зіткнення з\(E_{1}=\frac{1}{2} m\left|\vec{v}_{1}\right|^{2}\). Вираз для\(\left|\vec{v}_{1}\right|^{2}\) виходить з швидкості СМ:

\[ \left|\vec{v}_{1}\right|^{2}=\left|\vec{u}_{1}+\vec{v}_{C M}\right|^{2}=\left|\vec{u}_{1}\right|^{2}+\left|\vec{v}_{C M}\right|^{2}+2 \vec{u}_{1} \cdot \vec{v}_{C M}=u_{1}^{2}+v_{C M}^{2}+2 u_{1} v_{C M} \cos \vartheta \nonumber\]

де ми визначили\(\vartheta\) як кут розсіювання в центрі маси кадру (див. Рис.\(\PageIndex{3}\)).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Розсіювання нейтронів з ядра. Зліва, лабораторний каркас. Праворуч, центр маси кадру (CC BY-NC-ND; Паола Капелларо)

З огляду на припущення про пружне розсіювання, ми маємо\(\left|\vec{u}_{1}\right|=\left|\vec{u}_{0}\right|=u_{0}\), але\(u_{0}=v_{0}-v_{C M}=v_{0}\left(1-\frac{m}{m+M}\right)=\frac{M}{m+M} v_{0}\).

Нарешті, ми можемо висловити все з точки зору\(v_{0}\):

\[\left|\vec{v}_{1}\right|^{2}=\frac{M^{2}}{(m+M)^{2}} v_{0}^{2}+\frac{m^{2}}{(m+M)^{2}} v_{0}^{2}+2 \frac{M}{(m+M)} v_{0} \frac{m}{(m+M)} v_{0} \cos \vartheta=v_{0}^{2} \frac{M^{2}+m^{2}+2 m M \cos \vartheta}{(m+M)^{2}} \nonumber\]

Тепер ми спростимо цей вираз, зробивши наближення\(M / m \approx A\), де A - масове число ядра.

З точки зору енергії нейтронів, ми нарешті маємо

\[E_{1}=E_{0} \frac{A^{2}+1+2 A \cos \vartheta}{(A+1)^{2}}, \nonumber\]

Це означає, що кінцева енергія може дорівнювати\(E_{0}\) (початковій), якщо\(\vartheta=0\) — відповідає відсутності зіткнення — і досягне мінімального значення\(E_{1}=E_{0} \frac{(A-1)^{2}}{(A+1)^{2}}=\alpha E_{0} \text { for } \vartheta=\pi \text { (here } \left.\alpha=\frac{(A-1)^{2}}{(A+1)^{2}}\right)\).

Зверніть увагу, що з цього виразу зрозуміло, що нейтрон втрачає більше енергії при ударі з більш легкими ядрами, зокрема всю енергію при ударі з протоном:

• Якщо\(A \gg 1, E_{1} \approx E_{0} \frac{A^{2}+2 A \cos \vartheta}{A^{2}} \approx E_{0}\), тобто, майже не втрачається енергія.
• Якщо\(A=1, E_{1}=E_{0} \frac{2+2 \cos \vartheta}{4}=E_{0} \cos \left(\frac{\vartheta}{2}\right)^{2}\), і за\(\vartheta=\pi\) все втрачається енергія.

Для низької енергії поперечний переріз не залежить від того,\(\vartheta\) таким чином, ми маємо плоский розподіл вихідних енергій: ймовірність розсіювання в будь-якому напрямку постійна, таким чином\(P(\cos \vartheta)=\frac{1}{2}\). Яка ймовірність даної енергії\(E_{1}\)?

Рисунок\(\PageIndex{4}\): Розподіл ймовірності вихідної енергії при розсіюванні нейтронів від ядра. (CC BY-NC-ND; Паола Капелларо)

У нас є\(P\left(E_{1}\right) d E_{1}=-P(\cos \vartheta) d(\cos \vartheta)=-\frac{1}{2} \sin \vartheta d \vartheta\). Тоді, так як\(\frac{d E}{d \vartheta}=-\frac{2 E_{0} A}{(A+1)^{2}} \sin \vartheta\), ймовірність заданої енергії розсіювання постійна, як і очікувалося, і дорівнює\(P\left(E_{1}\right)=\frac{(A+1)^{2}}{4 E_{0} A}\). Зверніть увагу, що ймовірність відрізняється від нуля тільки для\(\alpha E_{0} \leq E_{1} \leq E_{0}\). Середня енергія розсіювання є тоді\(\left\langle E_{1}\right\rangle=E_{0} \frac{1+\alpha}{2}\) і середня енергія, втрачена в події розсіювання, є\(\left\langle E_{\text {loss}}\right\rangle=E_{0} \frac{1-\alpha}{2}\).

Це все ще вимагає багатьох зіткнень, щоб втратити достатньо енергії, щоб остаточний захоплення був ймовірним. Скільки?

Середня енергія після одного зіткнення дорівнює\(\left\langle E_{1}\right\rangle=E_{0} \frac{1+\alpha}{2}\). Після двох зіткнень його можна наблизити\( \left\langle E_{2}\right\rangle \approx\)\(\left\langle E_{1}\right\rangle \frac{1+\alpha}{2}=E_{0}\left(\frac{1+\alpha}{2}\right)^{2}\). Потім, після п зіткнення, ми маємо\(\left\langle E_{n}\right\rangle \approx E_{0}\left(\frac{1+\alpha}{2}\right)^{n}=E_{0}\left(\frac{\left\langle E_{1}\right\rangle}{E_{0}}\right)^{n}\). Таким чином, якщо ми хочемо знати, скільки колізій потрібно для досягнення середньої теплової енергії,\(E_{t h}=\left\langle E_{n}\right\rangle\) нам потрібно обчислити n:

\[\frac{E_{t h}}{E_{0}}=\frac{\left\langle E_{n}\right\rangle}{E_{0}} \approx\left(\frac{\left\langle E_{1}\right\rangle}{E_{0}}\right)^{n} \quad \rightarrow \quad n \log \left(\frac{\left\langle E_{1}\right\rangle}{E_{0}}\right)=\log \left(\frac{E_{t h}}{E_{0}}\right) \quad \rightarrow \quad n=\log \left(\frac{E_{t h}}{E_{0}}\right) / \log \left(\frac{\left\langle E_{1}\right\rangle}{E_{0}}\right) \nonumber\]

Однак цей розрахунок не дуже точний, оскільки наближення, яке ми зробили, що ми можемо обчислити середню енергію після\(n^{t h}\) розсіювання,\(\left\langle E_{n}\right\rangle\) враховуючи лише середнє значення після\((n-1)^{t h}\) розсіювання не є хорошим, оскільки розподіл енергії не досяг максимуму навколо його середнього (але досить плоска). Розглянемо замість цього журнал кількості\(\left(\frac{E_{n-1}}{E_{n}}\right)\) і візьмемо середнє значення над можливою кінцевою енергією (зверніть увагу, що це те саме, що і розрахунок для першого зіткнення):

\[\left\langle\log \left(\frac{E_{n-1}}{E_{n}}\right)\right\rangle=\int_{\alpha E_{n-1}}^{E_{n-1}} \log \left(\frac{E_{n-1}}{E_{n}}\right) P\left(E_{n}\right) d E_{n}=\int_{\alpha E_{n-1}}^{E_{n-1}} \log \left(\frac{E_{n-1}}{E_{n}}\right) \frac{(A+1)^{2}}{4 A E_{n-1}} d E_{n}=1+\frac{(A-1)^{2}}{2 A} \log \left(\frac{A-1}{A+1}\right) \nonumber\]

Вираз залежить\(\xi=\left\langle\log \left(\frac{E_{n-1}}{E_{n}}\right)\right\rangle\) не від енергії, а тільки від поміркованого ядра (воно залежить від А).

Тоді ми маємо те\(\left\langle\log \left(\frac{E_{0}}{E_{n}}\right)\right\rangle=\left\langle\log \left(\frac{E_{n-1}}{E_{n}}\right)^{n}\right\rangle \text { or }\left\langle\log \left(E_{n}\right)\right\rangle=\log \left(E_{0}\right)-n \xi\), з якого ми можемо обчислити кількість зіткнень En, необхідних для отримання певної енергії:

\[n\left(E_{0} \rightarrow E_{t h}\right)=\frac{1}{\xi} \log \left(\frac{E_{t h}}{E_{0}}\right) \nonumber\]

з\(\xi\) середніми логарифмічними втратами енергії:

\[\xi=1+\frac{(A-1)^{2}}{2 A} \log \left(\frac{A-1}{A+1}\right) \nonumber\]

Для протонів\(\left({ }^{1} \mathrm{H}\right), \xi=1\) і потрібно 18 зіткнення з помірними нейтронами, що виділяються при поділі,\((E=2 \mathrm{MeV})\) тоді як 2200 зіткнень необхідні в\(238 \mathrm{U}\).

\ [\ begin {масив}
{lcccc}\ рядок\ текст {Матеріал} &\ mathrm {A} &\ альфа &\ xi &
\ mathrm {n}\\ hline\ mathrm {H} & 1 & 0 & 1 & 18.2
\\ mathrm {H} _ {2 0} & 1\ & 16 & - & 0.920 & 19.8\
\\ математика {D} & підсилювач; 2 & 0.111 & 0.725 & 25.1\
\\ матхм {He} & 4 & 0.360 & 0.425 & 42.8\
\\ Матхром {Be} & 9 & 0.640 & 0.207 & 88.1
\\\ матм {C} & 12 & 0.716 & 0,158 & 115\\
\ матрм {U} & 238 & 0.983 & amp; 0,0084 & 2172\
\\ hline
\ кінець {масив}\ nonnumber\]

Взаємодія заряджених частинок

Заряджені частинки (такі як альфа-частинки та електрони/позитрони), що проходять через речовину, можуть взаємодіяти як з ядрами - через ядерну взаємодію та кулонову взаємодію - так і з електронною хмарою - через кулонівську взаємодію. Хоча наслідки зіткнення зі світлим електроном будуть впливати на стикається частинку набагато менше, ніж удар з важким ядром, ймовірність такого зіткнення набагато вище. Це можна інтуїтивно зрозуміти, проаналізувавши ефективний розмір ядра і електронної хмари. У той час як ядро має радіус близько 8fm, атомний радіус знаходиться на порядку ангстрем\(\text { (or } \left.10^{5} \mathrm{fm}\right)\) Тоді площа, пропонована вхідній частинці, знаходиться на порядку\(\pi(8 f m)^{2} \sim 200 f m^{2}=2 \text { barns }\).

З іншого боку, електронна хмара представляє область\(\pi\left(10^{5} f m\right)^{2} \sim \pi 10^{8}\) комори для вхідної частинки. Хоча перетин реакції (або ймовірність взаємодії між частинками) не таке, як площа (як для класичних частинок) все ж ці приблизні оцінки дають правильний порядок величини для неї.

Таким чином, взаємодії з електронами в атомі домінують у загальній взаємодії заряджених частинки/речовини. Однак зіткнення з ядром породжує своєрідне кутове розподіл, що і призводить до відкриття самого ядра. Таким чином, ми вивчимо обидва типи розсіювання для легких заряджених снарядів, таких як альфа-частинки та протони.

Зіткнення альфа-частинок з електронною хмарою

Розглянемо спочатку уповільнення альфа-частинок в речовині. Спочатку аналізуємо зіткнення однієї альфа-частинки з одним електроном.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Зліва: Заряджені частинки взаємодіють здебільшого з електронною хмарою. Праворуч: Збереження імпульсу та кінетичної енергії при зіткненні дуже важкого об'єкта з дуже легким (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Якщо зіткнення пружне, імпульс і кінетична енергія зберігаються (тут розглядається класичне, нерелятивістське зіткнення)

\[m_{\alpha} v_{\alpha}=m_{\alpha} v_{\alpha}^{\prime}+m_{e} v_{e}, \quad m_{\alpha} v_{\alpha}^{2}=m_{\alpha} v_{\alpha}^{\prime 2}+m_{e} v_{e}^{2} \nonumber\]

Вирішуємо для\(v_{a}^{\prime}\) і\(v_{e}\) знаходимо:

\[v_{\alpha}^{\prime}=v_{\alpha}-2 v_{\alpha} \frac{m_{e}}{m_{e}+m_{\alpha}}, \quad v_{e}=2 v_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{m_{e}+m_{\alpha}} \nonumber\]

Так як\(m_{e} / m_{\alpha} \ll 1\), ми можемо наблизити швидкість електронів по\(v_{e} \approx 2 v_{\alpha}\). Тоді зміна енергії для альфа-частинки, що дається енергією, набутою електроном, становить

\[\Delta E=\frac{1}{2} m_{e} v_{e}^{2}=\frac{1}{2} m_{e}\left(2 v_{\alpha}\right)^{2}=4 \frac{m_{e}}{m_{\alpha}} E_{\alpha} \nonumber\]

Таким чином, альфа-частка втрачає крихітну частку своєї початкової енергії внаслідок зіткнення з одним електроном:

\[\frac{\Delta E_{\alpha}}{E_{\alpha}} \sim \frac{m_{e}}{m_{\alpha}} \ll 1 \nonumber\]

Невеликі дробові втрати енергії дають характеристики альфа-уповільнення:

1. Тисячі подій (зіткнень) необхідні для ефективного уповільнення і зупинки альфа-частинки
2. Оскільки імпульс альфа-частинки ледь порушується індивідуальними зіткненнями, частинка рухається по прямій лінії всередині речовини.
3. Зіткнення відбуваються внаслідок взаємодії Кулона, яка є взаємодією нескінченного діапазону. Потім альфа-частинка взаємодіє одночасно з багатьма електронами, даючи безперервне уповільнення до зупинки частинки і певного діапазону зупинки.
4. [Електрони, які є мішенями зіткнення, іонізуються, таким чином вони призводять до видимого сліду на шляху альфа-частинок (наприклад, у хмарних камерах)

Визначення: Зупинка потужності

Обчислили енергію, втрачену альфа-частинкою при зіткненні з одним електроном. Більш важливою величиною є середня втрата енергії частинки на одиницю довжини шляху, яка називається зупинною силою.

Розглядається альфа-частинка, що рухається вздовж напрямку x і взаємодіє з електроном біля початку осі х і на відстані\(b\) від нього. Цілком природно припустити циліндричні координати для цієї задачі.

Рисунок\(\PageIndex{6}\): Геометрія для зіткнення альфа/електронів. Зліва: параметр удару\(b\) та циліндричні координати (\(x, b\)). Праворуч: Кулонівська сила паралельна зміні імпульсу (в\(y\) напрямку). (CC BY-NC-ND; Паола Капелларо)

Зміна імпульсу електрона задається кулоновою силою, інтегрованою протягом часу взаємодії. Взаємодія Кулона задається тим\(\vec{F}=\frac{e Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\hat{r}}{|\vec{r}|^{2}}\), де\(\vec{r}=r \hat{r}\) знаходиться вектор, що приєднує альфу до електрона. Тільки складова сили в «радіальному» (y) напрямку породжує зміну імпульсу (поздовжня сила при інтеграції має нульовий чистий внесок), тому ми розраховуємо\(\vec{F} \cdot \hat{y}=|F| \hat{r} \cdot \hat{y}\). З малюнка вище у нас є\(\hat{r} \cdot \hat{y}=\frac{b}{\left(x^{2}+b^{2}\right)^{1 / 2}}\) і нарешті сила\(F_{y}=\frac{e Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{b}{\left(x^{2}+b^{2}\right)^{3 / 2}}\). Зміна імпульсу тоді

\[\Delta p_{=} \int_{0}^{\infty} F_{y} d t=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{v_{\alpha}} \frac{e^{2} Z_{\alpha}}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{b}{\left(x^{2}+b^{2}\right)^{3 / 2}} \nonumber\]

де ми використовували співвідношення\( \frac{d x}{d t}=v_{\alpha}\) між швидкістю альфа-частинки (яка є постійною з часом за нашими припущеннями) і\( Q=Z_{\alpha} e=2 e\). Розглядаючи електрон спочатку в стані спокою, ми маємо

\[\Delta p=p_{e}=\frac{e^{2} Z}{4 \pi \epsilon_{0} v b} \int \frac{d \xi}{\left(1+\xi^{2}\right)^{3 / 2}}=2 \frac{e^{2} Z_{\alpha}}{4 \pi \epsilon_{0} v_{\alpha} b} \nonumber\]

де ми використовували\( \xi=x / b\). Тоді енергія, втрачена альфа-частинкою через одного електрона, становить

\[\Delta E=\frac{p_{e}^{2}}{2 m}=2 \frac{e^{4} Z_{\alpha}^{2}}{\left(4 \pi \epsilon_{0}\right)^{2} m_{e} v^{2} b^{2}} \nonumber\]

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Щоб знайти потужність зупинки, ми інтегруємо над усіма параметрами удару b, в невеликій товщині dx. (CC BY-NC-ND; Паола Капелларо)

Тепер ми підсумуємо всі електрони в матеріалі. Кількість електронів у нескінченно малому циліндрі дорівнює\(d N_{e}= n_{e} 2 \pi b d b d x\), де\(n_{e} \) - щільність чисел електрона (яку можна, наприклад\(n_{e}=\frac{N_{A} Z \rho}{A}\), обчислити з числа N _A Авогадро та\(\rho\) масової щільності матеріалу).

Тоді

\[-d E=2 \pi d x \int n_{e} \Delta E b d b \rightarrow \frac{d E}{d x}=-2 \pi \int n_{e} \Delta E(b) b d b=-\frac{4 \pi e^{4} Z_{\alpha}^{2} n_{e}}{\left(4 \pi \epsilon_{0}\right)^{2} m_{e} v_{\alpha}^{2}} \int \frac{d b}{b} \nonumber\]

Інтеграл слід оцінювати між 0 і ∞. Однак це математично неможливо (оскільки воно розходиться), і це також фізично нездорово. Ми очікуємо, що насправді буде відстань найближчого наближення таким чином, щоб максимальний енергетичний обмін (як у жорсткому зіткненні, вивченому раніше) буде досягнуто. Ми отримали\( E_{e}=2 m_{e} v_{\alpha}^{2}\). Потім встановлюємо цю енергію, рівну кулонівській потенційній енергії електрона:\(E_{e} \approx \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{b_{\min }} \) з якої ми отримуємо

\[ b_{\min } \sim \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{2 m_{e} v_{\alpha}^{2}} \nonumber\]

Максимум b задається приблизно радіусом Бора (або радіусом атома). Це можна обчислити, встановивши\( E_{I}\),\(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{b_{\max }} \sim E_{I} \) де середня енергія збудження атомних електронів. Тоді ми заявляємо, що максимальний параметр впливу - це той, при якому відбувається мінімальний енергетичний обмін, і ця мінімальна енергія є мінімальною енергією, необхідною для збудження (вибивання) електрона з атома. Хоча середня енергія збудження атомних електронів є поняттям, пов'язаним з енергією іонізації (яка знаходиться на порядку 4 − 15еВ), тут\( E_{I}\) приймається емпіричний параметр, який, як було встановлено, добре наближений\( E_{I} \sim 10 Z \mathrm{eV}\) (з\(Z\) атомним номером мішені). Нарешті ми маємо

\[ \frac{b_{\max }}{b_{\min }}=\frac{2 m_{e} v_{\alpha}^{2}}{Z_{\alpha} E_{I}}\nonumber\]

і сила зупинки є

\[-\frac{d E}{d x}=\frac{4 \pi e^{4} Z_{\alpha}^{2} n_{e}}{\left(4 \pi \epsilon_{0}\right)^{2} m_{e} v_{\alpha}^{2}} \ln \left(\frac{b_{\max }}{b_{\min }}\right)=\frac{4 \pi e^{4} Z_{\alpha}^{2} n_{e}}{\left(4 \pi \epsilon_{0}\right)^{2} m_{e} v_{\alpha}^{2}} \ln \Lambda \nonumber\]

з\( \Lambda\) названим кулонівським логарифмом.

Оскільки зупиняюча сила, або енергія, втрачена на одиницю довжини, задається енергією, втраченою за одне зіткнення (або\( \Delta E\)) разів на число зіткнень (задане числом електрона на одиницю об'єму, що перевищує ймовірність зіткнення одного електронів, заданого перетином), ми маємо відношення:

\[ -\frac{d E}{d x}=\sigma_{c} n_{e} \Delta E \nonumber\]

з якого ми можемо отримати саме поперечний переріз. З тих пір\(\Delta E=2 m_{e} v^{2} \), у нас є

\[\sigma_{c}=\frac{2 \pi e^{4} Z_{\alpha}^{2}}{\left(4 \pi \epsilon_{0}\right)^{2} m_{e}^{2} v_{\alpha}^{4}} \ln \Lambda \nonumber\]

Це також можна переписати з точки зору більш загальних констант. Класичний радіус електронів ми визначаємо як

\[r_{e}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{m_{e} c^{2}} \sim 2.8 \mathrm{fm}, \nonumber\]

це відстань, на якому кулонова енергія дорівнює масі спокою. Хоча це не близьке до реального розміру електрона (як, наприклад, ми очікуємо, що радіус електронів - якби він міг бути чітко визначеним - буде набагато меншим за радіус ядра), він дає правильний порядок ефективної площі при зіткненні зарядженими частинками. Також пишемо\( \beta=\frac{v}{c}\), щоб

\[ \sigma_{c}=2 \pi r_{e}^{2} \frac{Z_{\alpha}^{2}}{\beta^{4}} \ln \Lambda\nonumber\]

Оскільки зазвичай\( \beta\) досить малий для альфа-частинок, перетин може бути досить великим. Наприклад, для типової альфа-енергії\(E_{\alpha}=4 \mathrm{MeV} \), і її маси спокою\(m_{\alpha} c^{2} \sim 4000 \mathrm{MeV} \), ми маємо\(\frac{v^{2}}{c^{2}} \sim 2 \times 10^{-3} \). Кулонівський логарифм знаходиться в порядку\(\ln \Lambda \sim 5-15 \), while\(2 \pi r_{e}^{2} \sim \frac{1}{2} \text { barn} \). Тоді перетин - це\(\sigma_{c} \sim \frac{1}{2} 4 \cdot 10^{6} / 4 \cdot 10 b=5 \times 10^{6} b \).

Визначення: Довжина зупинки

Це визначається

\[1 / l_{\alpha}=-\frac{1}{E} \frac{d E}{d x} . \nonumber\]

Тоді ми можемо записати експоненціальний розпад енергії як функцію відстані, пройденої всередині матеріалу:\(E(x)=E_{0} \exp \left(-x / l_{\alpha}\right)\). Таким чином, довжина зупинки також дає відстань, на якій енергія була зменшена\(1 / e(\approx 63 \%)\).

Рис.\(\PageIndex{8}\): Зупинна потужність для альфа-частинок (зліва) та протонів (праворуч) у графіті. вісь x: Енергія в МеВ. осі y: Стопорна потужність (МеВ см ² /г). Червона крива - це сумарна зупиняюча сила, задана кулонівською зупинною силою від зіткнення з електронами (синьою) і зупинною силою Резерфорда (чорною) від зіткнення з ядрами. Дані взяті з NIST. (CC BY-NC-ND; Паола Капелларо)

За поперечним перерізом довжина зупинки становить:

\[1 / l_{\alpha}=4 \frac{m_{2}}{m_{\alpha}} \sigma_{c} Z n, \nonumber\]

де\(n\), щільність атомного номера може бути виражена через щільність маси і число Авогадро,\(n=\frac{\rho}{A} N_{A}\).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Довжина зупинки для свинцю:\(1 / l_{\alpha}=4 \times 10^{4} \mathrm{~cm}^{-1} \) або\(l_{\alpha}=2.5 \times 10^{-5} \mathrm{~cm}\). Діапазон частинки в матеріалі, однак, багато зупинок довжини (порядку 10), таким чином, діапазон свинцю навколо\( 2.5 \mu \mathrm{m}\).

Визначення: Діапазон

Діапазон більш точно визначається як відстань, яку проходить частинка перед тим, як прийти на відпочинок. Потім діапазон для частинки початкової кінетичної енергії\(E_{\alpha} \) визначається як

\[ R\left(E_{\alpha}\right)=\int_{r\left(E_{\alpha}\right)}^{r(E=0)} d x=-\int_{0}^{E_{\alpha}}\left(\frac{d E}{d x}\right)^{-1} d E\nonumber \]

Зверніть увагу, що це сильна залежність тормозної потужності від масової щільності матеріалу (лінійна залежність) така, що важчі матеріали краще зупиняють заряджені частинки.

Однак для альфа-частинок не потрібно багато, щоб зупинити. Наприклад, їх зупиняють в 5 мм повітря.

Визначення: крива Брегга

Крива Брегга описує зупиняючу силу як функцію відстані, пройденої всередині речовини. У міру збільшення потужності зупинки (і поперечного перерізу) при менших енергіях, до кінця траєкторії відбувається збільшення енергії, втраченої на одиницю довжини. Це породжує характерний пік Брегга в кривій. Ця особливість використовується, наприклад, для променевої терапії, оскільки дозволяє більш точно просторово доставляти дозу в потрібне місце.

Малюнок\(\PageIndex{9}\): Крива Брегга для протонів (відстань в мм) (CC BY-NC-ND; Паола Капелларо)

Б. Резерфорд - Кулонівське розсіювання

Пружне кулонівське розсіювання називається Резерфордським розсіюванням через експериментів, проведених в лабораторії Резерфорда в 1911-1913 роках, які призводять до відкриття ядра. Експерименти включали розсіювання альфа-частинок від тонкого шару золота та спостереження за кутом розсіювання (залежно від товщини золотого шару).

Взаємодія дається, як і раніше, кулонівською взаємодією, але цього разу між альфа і протонами в ядрі. Таким чином, ми маємо деяку різницю щодо попереднього випадку. По-перше, взаємодія є відразливою (так як обидві частинки мають позитивні заряди). Тоді що ще важливіше, що снаряд тепер є меншою частинкою, тим самим втрачаючи значну енергію і імпульс у взаємодії.

Те, що ми хочемо обчислити в цій взаємодії, - це диференціальний переріз\(\frac{d \sigma}{d \Omega} \). Диференціальне (нескінченно мале) перетин можна обчислити (в класичній картині), враховуючи параметр удару\(b\) і малу кільцеву область між\(b\) і\(b + db\):

\[ d \sigma=2 \pi b d b\nonumber\]

Тоді диференціальне перетин, обчислене з суцільного кута\( d \Omega=d \varphi \sin \vartheta d \vartheta \rightarrow 2 \pi \sin \vartheta d \vartheta\) (з урахуванням симетрії приблизно\(\varphi\)), становить:

\[\frac{d \sigma}{d \Omega}=\frac{2 \pi b d b}{2 \pi \sin \vartheta d \vartheta}=\frac{b}{\sin \vartheta} \frac{d b}{d \vartheta} \nonumber\]

Те, що нам потрібно, так це залежність між параметром удару і розсіяним кутом (див. Рис.

Малюнок\(\PageIndex{10}\): Резерфордське розсіювання та зміна імпульсу (CC BY-NC-ND; Паола Капелларо)

Для того щоб знайти b () вивчаємо варіацію енергії, імпульсу і моменту моменту. Збереження енергії говорить про те, що:

\[\frac{1}{2} m v_{0}^{2}=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{z Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} r} \nonumber\]

яка дає мінімальну відстань (або відстань найближчого наближення) для параметра нульового впливу\(b\) = 0, що відбувається, коли частинка зупиняється і відхиляється назад:\( \frac{1}{2} m v_{0}^{2}=\frac{z Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} d}\).

Імпульс змінюється за рахунок кулонівської сили, як видно у випадку взаємодії з електронами. Однак тут ядро майже не набуває жодного імпульсу взагалі, так що змінюється лише напрямок імпульсу, але не його абсолютне значення: спочатку імпульс знаходиться\(p_{0}=m v_{0}\) вздовж вхідного (x) напрямку, а в кінці взаємодії він все ще,\(m v_{0}\) але вздовж напрямку. Тоді зміна імпульсу є\(\Delta p=2 p_{0} \sin \frac{\vartheta}{2}=2 m v_{0} \sin \frac{\vartheta}{2}\) (див. Рис. вище). Ця різниця імпульсів знаходиться уздовж напрямку\(\delta \hat{p} \), який знаходиться під кутом\(\frac{\pi-\vartheta}{2}\) з х Потім ми переходимо до опорної рамки\(\vec{r}=\{r, \gamma\}\), де з r відстань\(|\vec{r}|\) і\( \gamma\) кут між положенням частинок і\(\delta \hat{p}\).

Зміна імпульсу спричинена силою в цьому напрямку:

\[\Delta p=\int_{0}^{\infty} \vec{F} \cdot \delta \hat{p} d t=\frac{z Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{0}^{\infty} \frac{\hat{r} \cdot \delta \hat{p}}{\left|r^{2}\right|} d t=\frac{z Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos \gamma}{r^{2}} d t \nonumber\]

Зверніть увагу, що при t = 0,\(\gamma=-\frac{\pi-\vartheta}{2}\) (як майже\(\vec{r} \) вирівняний з x) і при t = ∞,\(\gamma=\frac{\pi-\vartheta}{2}\) (рис.). Як\(\gamma\) змінюється з часом?

Збереження моменту імпульсу (яке завжди задовольняється центральним потенціалом) дає відповідь. При t = 0 момент імпульсу просто\(L=m v_{0} b\). У будь-який більш пізній час у нас є\(L=m \vec{r} \times \vec{v}\). У системі\(\vec{r}=\{r, \gamma\} \) координат швидкість має радіальну і кутову складові:

\[\vec{v}=\dot{r} \hat{r}+r \dot{\gamma} \vec{\gamma} \nonumber\]

і тільки цей останній сприяє кутовому моменту (інший паралельний):

\[L=m r^{2} \frac{d \gamma}{d t} \quad \rightarrow \quad \frac{1}{r^{2}}=\frac{\dot{\gamma}}{v_{0} b} \nonumber\]

Малюнок\(\PageIndex{11}\): Зміна імпульсу та система координат (\(\{r, \gamma\}\)) для розсіювання Резерфорда. (CC BY-NC-ND; Паола Капелларо)

Вставляючи в інтеграл ми маємо:

\[\Delta p=\frac{z Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos \gamma \dot{\gamma}}{v_{0} b} d t=\frac{z Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{\frac{\pi-\vartheta}{2}}^{\frac{\pi+\vartheta}{2}} \frac{\cos \gamma}{v_{0} b} d \gamma=\frac{z Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} v_{0} b} 2 \cos \frac{\vartheta}{2} \nonumber\]

Прирівнюючи два вирази для\(\Delta p \), ми маємо бажане співвідношення між\(b\) і:

\[2 m v_{0} \sin \frac{\vartheta}{2}=\frac{z Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} v_{0} b} 2 \cos \frac{\vartheta}{2} \quad \rightarrow \quad b=\frac{z Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} m v_{0}^{2}} \cot \frac{\vartheta}{2} \nonumber\]

Нарешті перетин:

\[\frac{d \sigma}{d \Omega}=\left(\frac{z Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}}\right)^{2}\left(4 T_{a}\right)^{-2} \sin ^{-4}\left(\frac{\vartheta}{2}\right) \nonumber\]

(де\(T_{a}=\frac{1}{2} m v_{0}\) відбувається інцидент —альфа-частка кінетичної енергії). Зокрема, залежність\(Z^{2}\),\(T^{-2}\) і гріх ⁻⁴ відмінно узгоджуються з експериментами. Остання залежність характерна для подій одиночного розсіювання і спостережують частинки під великими кутами (хоча і менш ймовірні) підтверджують наявність масивного ядра. Розглянемо золоту фольгу товщини\(\zeta=2 \mu \mathrm{m}\) і падаючий промінь з 8МеВ альфа-частинок. Параметр удару, який дає кут розсіювання 90 градусів і більше, є\(b \leq \frac{d}{2}=14 \mathrm{fm}\). Тоді частка частинок з цим параметром удару є\(\propto \pi b^{2}\), таким чином, ми маємо\(\zeta n \pi b^{2} \approx 7.5 \times 10^{-5}\) частинки, що розсіюються під кутом\( \geq 90^{\circ}\) (з\(n\) цільовою щільністю). Хоча це невелика кількість, воно досить велике в порівнянні з розсіюванням від рівномірно щільної мети.

C. зупинка електрона в речовині

Електрони взаємодіють з речовиною в основному за рахунок взаємодії Кулона. Однак існують відмінності в ефектах взаємодії щодо більш важких частинок. Відмінності між альфа-частинкою та поведінкою електронів у речовині обумовлені їх дуже різною масою:

1. Електронно-електронні зіткнення змінюють імпульс вхідного електрона, таким чином відхиляючи його. Тоді шлях електрона вже не прямий.
2. Потужність зупинки набагато менше, так що, наприклад, діапазон становить 1 см у відведенні. (Пам'ятайте, що відношення втраченої енергії до початкової енергії для альфа-частинок було невеликим, так як воно було пропорційно відношенню мас -електрон до альфа. Тут співвідношення мас дорівнює 1, і ми очікуємо велику зміну енергії).
3. Електрони мають частіше релятивістську швидкість. Наприклад, електрони, що випромінюються в бета-розпаді, рухаються з релятивістською швидкістю.
4. Є другий механізм уповільнення. Оскільки електрони можуть зазнавати швидких змін швидкості через зіткнення, вона постійно прискорюється (або сповільнюється) і, таким чином, випромінює. Це випромінювання називається Bremsstrahlung, або гальмівне випромінювання (німецькою мовою).

Зупинну силу внаслідок взаємодії Кулона можна обчислити дуже подібним чином до того, що було зроблено для альфа-частинки. Отримуємо:

\[-\frac{d E}{d x}=4 \pi\left(\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}}\right)^{2} \frac{Z \rho N_{A}}{A} \frac{1}{m_{e} c^{2} \beta^{2}} \ln \Lambda^{\prime} \nonumber\]

\( \Lambda^{\prime}\)Ось тепер інше співвідношення, ніж отримане для альфа-частинок, але з аналогічним значенням:\(\Lambda^{\prime} = \sqrt{\frac{T}{2 m_{e} v^{2}}} \frac{\left(T+m c^{2}\right)}{E_{I}}\), де знову ми можемо розпізнати відношення енергії електронів (визначення мінімальної відстані) і середньої енергії збудження\( E_{I}\) (яка встановлює максимальну відстань), а також корекція за рахунок релятивістських ефектів.

Малюнок\(\PageIndex{12}\): Зупиняюча сила для електронів у графіті (зліва) та відведенні (праворуч). вісь x: Енергія в МеВ. осі y: Стопорна потужність (МеВ см ² /г). Червона крива - це загальна потужність зупинки, задана кулонівською зупинною силою (синьою) та випромінювальною зупинкою (чорною). Зверніть увагу на різні внески двох типів процесів для двох нуклідів: Bremsstrahlung набагато вищий для більш важких елементів, таких як свинець. Дані взяті з NIST. (CC BY-NC-ND; Паола Капелларо)

Квантово-механічний розрахунок дає деякі поправки (і для альфи), які стають важливими при релятивістських енергіях (див. Кран):

\[-\frac{d E}{d x}=4 \pi\left(\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}}\right)^{2} \frac{Z \rho N_{A}}{A} \frac{1}{m_{e} c^{2} \beta^{2}}\left[\ln \Lambda^{\prime}+\text { relativistic corrections }\right] \nonumber\]

До цієї зупинки ми повинні додати ефекти за рахунок «гальмівного випромінювання». Замість того, щоб обчислювати точний внесок (див. Кран), ми просто хочемо оцінити відносний внесок Бремсстралунга в розсіювання Комптона. Співвідношення між потужністю зупинки випромінювання і кулонівської зупинною силою задається

\[-\left.\frac{d E}{d x}\right|_{r} /-\left.\frac{d E}{d x}\right|_{c}=\frac{e^{2}}{\hbar c} \frac{Z}{f_{c}} \frac{T+m_{e} c^{2}}{m_{e} c^{2}} \approx \frac{T+m_{e} c^{2}}{m_{e} c^{2}} \frac{Z}{1600} \nonumber\]

де\( f_{c} \sim 10-12\) - фактор, що враховує релятивістські виправлення і запам'ятовування\( \frac{e^{2}}{\hbar c} \approx \frac{1}{137}\). Тоді потужність зупинки випромінювання важлива тільки в тому випадку, якщо\(T \gg m_{e} c^{2} \) і для великих Z. цей вираз справедливо тільки для релятивістських енергій; нижче 1МеВ втрати випромінювання мізерно малі. Тоді загальна зупиняюча потужність задається сумою двох внесків:

\[\frac{d E}{d x}=\left.\frac{d E}{d x}\right|_{c}+\left.\frac{d E}{d x}\right|_{r} \nonumber\]

Оскільки електрон не має лінійного шляху в матеріалах (а випадковий шлях з багатьма зіткненнями), стає складніше обчислити діапазони з перших принципів (на практиці ми не можемо просто взяти,\(dt = dx/v\) як це зроблено в розрахунках для альф). Потім діапазони обчислюються емпіричним шляхом з експериментів, в яких енергія моноенергетичних електронних пучків змінюється для обчислення\(R(E)\). NIST надає бази даних зупинки потужності та діапазонів для електронів (а також для альфа-частинок і протонів, див. База даних STAR за адресою http://www.nist.gov/pml/data/star/index.cfm. Оскільки варіація з характеристиками матеріалу (після нормування щільністю) невелика, діапазон, виміряний для одного матеріалу, може бути використаний для оцінки діапазонів для інших матеріалів.

8.1.4 Електромагнітне випромінювання

Взаємодія електромагнітного випромінювання з речовиною залежить від енергії (отже, частоти) самого е.м. випромінювання. Ми вивчали походження гамма-випромінювання, оскільки воно походить від ядерних реакцій. Однак цікаво також вивчити поведінку менш енергійних випромінювань у речовині.

У порядку збільшення енергії фотонів взаємодія речовини з е.м. випромінюванням можна класифікувати як:

\( E_{I}\)Ось енергія іонізації для даного атома-мішені.

Класичної картинки досить, щоб дати деяке масштабування для розсіює поперечного перерізу. Розглянуто ефекти взаємодії е.м. хвилі з коливальним диполем (як створюється атомним електроном).

Електрон можна розглядати як прикріплений до атома «пружиною» і коливається навколо свого спокою положення з частотою\(\omega_{0}\). Коли е.м. падає на електрон, він надає додаткову силу. Сила, що діє на електрон\( F=-e E(t)\), є, з\(E(t)=E_{0} \sin (\omega t) \) коливальним електричним полем. Ця коливальна рушійна сила є доповненням до тяжіння електрона до атома\(\sim-k x_{e} \), де\(k\) (задана кулонівською силою взаємодії і пов'язана з енергією зв'язку\(E_{I} \)) пов'язана з коливальною частотою електрона\( \omega_{0}^{2}=k / m_{e}\). Рівняння руху для електрона тоді

\[m_{e} \ddot{x}_{e}=-k x_{e}-e E(t) \quad \rightarrow \quad \ddot{x}_{e}+\omega_{0}^{2} x_{e}=-\frac{e}{m_{e}} E(t) \nonumber \]

Шукаємо рішення форми\( x_{e}(t)=A \sin (\omega t)\), тоді маємо рівняння

\[\left(-\omega^{2}+\omega_{0}^{2}\right) A=-\frac{e}{m_{e}} E_{0} \quad \rightarrow \quad A=\frac{1}{\omega^{2}-\omega_{0}^{2}} \frac{e}{m_{e}} E_{0} \nonumber\]

Ми вже бачили, що прискорений заряд (або коливальний диполь) випромінює з потужністю

\[P=\frac{2}{3} \frac{e^{2}}{c^{3}} a^{2} \nonumber\]

де тут прискорення\(a=-\omega^{2} A \sin (\omega t) \),\(a\) що дає середнє квадратне прискорення

\[\left\langle a^{2}\right\rangle=\left(\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} \frac{e}{m_{e}} E_{0}\right)^{2} \frac{1}{2} \nonumber\]

Випромінювана потужність тоді

\[P=\frac{1}{3}\left(\frac{e^{2}}{m_{e} c^{2}}\right)^{2} \frac{\omega^{4}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}} c E_{0}^{2} \nonumber\]

Малюнок\(\PageIndex{13}\): Діапазон для альфа-частинок (чорний) та електронів (червоний) у свинці (тверді криві) та повітрі (пунктирна). вісь x: Енергія в МеВ. вісь y: Діапазон (г/см ²). Зверніть увагу на набагато більший діапазон для електронів, ніж для альфа-частинок. Тільки при дуже високій енергії, для свинцю, діапазон коротший для електронів, завдяки внеску Bremsstrahlung. Дані взяті з NIST. (CC BY-NC-ND; Паола Капелларо)

Інтенсивність випромінювання задається\(I_{0}=\frac{c E_{0}^{2}}{8 \pi}\) (нагадаємо, що тобто щільність енергії задається\( u=\frac{1}{2} E^{2}\) і інтенсивність, або потужність на одиницю площі, то\(I \sim c u \)). Тоді ми можемо висловити випромінювану потужність як поперечний переріз × інтенсивність випромінювання:

\[P=\sigma I_{0} \nonumber\]

Це дає поперечний переріз для взаємодії е.м. випромінювання з атомами:

\[\boxed{\sigma=\frac{8 \pi}{3}\left(\frac{e^{2}}{m_{e} c^{2}}\right)^{2}\left(\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right)^{2}} \nonumber\]

або в одиницях СІ:

\[\sigma=\frac{8 \pi}{3}\left(\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} m_{e} c^{2}}\right)^{2}\left(\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right)^{2}=4 \pi r_{e}^{2} \frac{2}{3}\left(\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right)^{2} \nonumber\]

де ми використовували класичний радіус електронів\(r_{e} \).

Розсіювання Релея

Спочатку розглянемо межу, в якій е.м. випромінювання має дуже низьку енергію:\(\omega \ll \omega_{0}\). У цій межі електрон спочатку пов'язаний з атомом, і е.м. не збирається змінювати це (і розривати зв'язок). Ми можемо спростити коефіцієнт частоти в поперечному перерізі розсіювання на\( \frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} \approx \frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}}\), тоді маємо:

\[\boxed{\sigma_{R}=\frac{8 \pi}{3}\left(\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} m_{e} c^{2}}\right)^{2} \frac{\omega^{4}}{\omega_{0}^{4}}} \nonumber\]

Розсіювання Релея має дуже сильну залежність від довжини хвилі е.м. хвилі. Це те, що надає блакитний колір небу (а червоний - заходам).

B. Розсіювання Томсона

Розсіювання Томсона - це розсіювання, тобто випромінювання, яке є достатньо енергійним, що електрон, здається, спочатку не пов'язаний з атомом (або вільним електроном), але недостатньо енергійним, щоб надати електрону релятивістську швидкість. (Якщо електрон є вільним електроном, кінцевою частотою електрона буде тобто частота).

Потім ми розглядаємо ліміт:

\[\hbar \omega_{0} \ll \hbar \omega \ll m_{e} c^{2} \nonumber\]

де перші нерівності говорять нам про те, що енергія зв'язку набагато менша, ніж енергія е.м. (отже, вільний електрон), тоді як друга говорить нам, що електрон не отримає достатньо енергії, щоб стати релятивістським.

Тоді ми можемо спростити коефіцієнт\(\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}=\frac{1}{\left(\omega_{0} / \omega\right)^{2}-1} \approx-1 \) і перетин просто

\[\boxed{\sigma_{T}=\frac{8 \pi}{3}\left(\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} m_{e} c^{2}}\right)^{2}} \nonumber\]

с\( \sigma_{T} \sim \frac{2}{3} \text { barn}\). Зверніть увагу, що контрастуючи з розсіюванням Релея, перетин розсіювання Томсона повністю не залежить від частоти падаючого, тобто випромінювання (до тих пір, поки це знаходиться в заданому діапазоні). Обидва ці два типи розсіяння є пружним розсіюванням, тобто атом залишається в тому ж стані, що і був спочатку (тому збереження енергії задовольняється без будь-якої додаткової енергії, що надходить від внутрішньої атомної енергії). Навіть при Томсонівському розсіянні ми нехтуємо віддачею електрона (як стверджується нерівністю\(\hbar \omega \ll m_{e} c^{2} \)). Це означає, що електрон не змінюється цим подією розсіювання (атом не іонізується), навіть якщо у своїй взаємодії з е.м. полем він поводиться як вільний електрон.

Зверніть увагу, що перетин пропорційно класичному квадрату радіуса електронів:\( \sigma_{T}=\frac{8 \pi}{3} r_{e}^{2}\).

C. фотоелектричний ефект

При\(\omega \approx \omega_{0} \) резонансі перетин стає (математично) нескінченним. Резонансна умова означає, що е.м. енергія дорівнює енергії\(E_{I}\) іонізації електрона. Таким чином, насправді відбувається те, що електрон викидається з атома. Тоді наша проста модель, за якою ми розрахували перетин, вже не діє (звідси і нескінченне перетин) і нам знадобиться QM для повного розрахунку перетину. Це і є фотоелектричний ефект. Його перетин сильно залежить від атомного номера (як\(\sigma_{p e} \propto Z^{5}\)).

Д. Комптонське розсіювання

Комптонне розсіювання - це розсіювання високоенергетичних фотонів від електронів в атомах. У процесі електрон набуває енергії досить високої, щоб стати релятивістською і вийти з атома (який іонізується). Таким чином, розсіювання тепер нееластичне (порівняно з попередніми двома розсіяннями), а розсіювання є ефективним способом, наприклад, випромінювання втратити енергію в речовині. При нижчих енергіях ми мали б фотоелектричний ефект, при якому фотон поглинається атомом. Ефект важливий, оскільки демонструє, що світло не можна пояснити чисто як хвильове явище.

Рисунок\(\PageIndex{14}\): Зіткнення фотон/електронів у Комптонському розсіянні. (CC BY-NC-ND; Паола Капелларо)

З збереження енергії і імпульсу ми можемо обчислити енергію розсіяного фотона.

\[E_{\gamma}+E_{e}=E_{\gamma}^{\prime}+E_{e}^{\prime} \quad \rightarrow \quad \hbar \omega+m_{e} c^{2}=\hbar \omega^{\prime}+\sqrt{|p|^{2} c^{2}+m^{2} c^{4}} \nonumber\]

\ [\ hbar\ vec {k} =\ hbar\ vec {k} ^ {\ прайм} +\ vec {p}\ квад\ правий\ quad\ лівий\ {\ початок {масив} {l}
\ hbar k=\ hbar k^ {\ прайм}\ cos\ vartheta+p\ cos\ varphi\
\ hbar k^ {\ прайм}\ sin\ vartheta =p\ sin\ varphi
\ end {масив}\ право. \ номер\]

З цих рівнянь знаходимо\(p^{2}=\frac{\left(\omega^{\prime}-\omega\right)}{c^{2}}\left[\hbar\left(\omega^{\prime}-\omega\right)-2 m c^{2}\right]\) і\(\cos \varphi=\sqrt{1-\hbar^{2} k^{\prime 2} \sin ^{2} \vartheta / p^{2}}\). Рішення для зміни довжини хвилі\(\lambda=\frac{2 \pi}{k}\) знаходимо (з\(ω = kc\)):

\[\boxed{\Delta \lambda=\frac{2 \pi \hbar}{m_{e} c}(1-\cos \vartheta)} \nonumber\]

або для частоти:

\[\hbar \omega^{\prime}=\hbar \omega\left[1+\frac{\hbar \omega}{m_{e} c^{2}}(1-\cos \vartheta)\right]^{-1} \nonumber\]

Перетин потрібно розрахувати з повної теорії QM. Результат полягає в тому, що

\[\boxed{\sigma_{C} \approx \sigma_{T} \frac{m_{e} c^{2}}{\hbar \omega}} \nonumber\]

Таким чином, розсіювання Комптона зменшується при більших енергіях.

E. Парне виробництво

Парне виробництво - це створення електронної та позитронної пари, коли фотон високої енергії взаємодіє поблизу ядра. Щоб не порушувати збереження імпульсу, імпульс початкового фотона повинен чимось поглинати. Таким чином, парне виробництво не може відбуватися в порожньому просторі з одного фотона; ядро (або інший фотон) необхідне для збереження як імпульсу, так і енергії.

Виробництво пари фотонно-ядро може відбуватися лише в тому випадку, якщо фотони мають енергію, що перевищує вдвічі більшу масу решти (\(m_{e} c^{2}\)) електрона (1,022 МеВ):

\[\hbar \omega=T_{e^{-}}+m_{e^{-}} c^{2}+T_{e^{+}}+m_{e^{+}} c^{2} \geq 2 m_{e} c^{2}=1.022 M e V \nonumber\]

Виробництво пари стає важливим після того, як розсіювання Комптона відпадає (так як його поперечний переріз становить\ propto 1/\ omega\)).