3.1: Спіраль Корну

Якщо паралельний промінь світла від віддаленого джерела стикається з перешкодою, тінь перешкоди - це не проста геометрична тінь, а, скоріше, дифракційна картина. Наприклад, добре відомо, що дифракційна картина, утворена щілиною, виглядає як функція, показана на малюнку 1.

S uc h дифракція називається дифракцією Фраунгофера.

Якщо, як ніколи, джерело світла не віддалене, а знаходиться близько до дифракційної перешкоди, так що падаючі хвилі не є площинними хвилями, дифракційна картина буде виглядати дещо інакше. Така дифракція називається дифракцією Френеля, і її теорія, що не дивно, трохи складніше теорії дифракції Фраунгофера.

Якщо т джерело світла є точковим джерелом, так що падаючі хвильові фронти сферичні, детальна кількісна теорія зовсім не проста. Якщо падаючі хвильові фронти, однак, циліндричні (скажімо, з лінійного джерела), аналіз, який є двовимірним, є трохи більш простежуваним. Спіраль Корну - це графічний пристрій, який дозволяє нам обчислювати та прогнозувати дифракційну картину Френеля від різних простих перешкод.

«С або ню», до речі, по-французьки означає «рогата», а також може означати «спіраль» - тобто як роги великорога вівці або козла. Через це я задумався, коли вперше почув про спіраль Корну, чи дійсно її слід називати «спіраллю корну», а не спіраллю Корну. Однак вона правильно названа спіраллю Корну на честь справжнього дев'ятнадцятого року, не журі французького вченого, Марі Альфред Корну. Математичні властивості спіралі були вивчені різними математиками (наприклад, Ейлером) ще до Корну, але вона отримала назву Корну через її застосування Корну до теорії дифракції Френеля.

L e t us l ok, на рис. III.2, при геометрії циліндричного хвильового фронту від лінійного джерела при О.

Ввести безрозмірну змінну\(v\) за

\[ v=\sqrt{\frac{2(a+b)}{ab\lambda}}\ s. \tag{1}\label{3.1}\]

де е\( \lambda\) - довжина хвилі світла.

Орія показує, що інтенсивність (квадрат амплітуди) випромінювання, отриманого\( P_{0}\) в точці від частини AB дуги довжини\( s\) хвильового фронту, пропорційна

\[ \left(\int_{0}^{v}\cos\dfrac{1}{2}\pi u^{2}du\right)^{2}\ +\ \left(\int_{0}^{v}\sin\dfrac{1}{2}\pi u^{2}du\right)^{2}. \tag{3}\label{3.3}\]

Тут

\[ C\ =\ \int_{0}^{v}\cos\dfrac{1}{2}\pi u^{2}du \quad \text{and} \quad S\ =\ \int_{0}^{v}\sin\dfrac{1}{2}\pi u^{2}du \tag{4}\label{3.4}\]

є інтегралами Френеля.

Виведення рівняння (\( \ref{3.3}\)) може бути дещо важким, і ми віднесемо його до Додатка А в кінці цієї глави. На даний момент ми приймемо Equation (\( \ref{3.3}\)) як правильне, і побачимо, як використовувати його для побудови спіралі Корну і як спіраль може бути використана для обчислення форм тіней, що утворюються різними перешкодами. У рівняннях (\( \ref{3.4}\)),\( u\) це просто фіктивна змінна. \(C\)і\(S\) є функціями\( v\), які пропорційні\( s\). Вони повинні бути інтегровані чисельно, і я надав їх коротку таблицю в додатку B.

Спіраль Корну - це графік\(S\) проти\(C\). На малюнку III.3 показаний такий графік. Кращі існують в літературі, але цього буде достатньо, щоб показати, як він використовується. Однак я коротко прикажу, що, хоча використовувати спіраль весело, для точної роботи краще обчислювати форми тіней чисельно, а не графічно. Спіраль була корисною в дні до високошвидкісних комп'ютерів, але сьогодні можна обчислити інтеграли Френеля миттєво, і, отже, ми можемо обчислити форми тіні, використовуючи спіраль, можливо, щоб направляти нас. Слово попередження, хоча. Швидке і точне обчислення інтегралів Френеля вимагає певної обережності в програмуванні, бо integrand швидко змінюється зі змінною u При підготовці графіків і таблиць в цій замітці я виявив, що Правило Сімпсона було неадекватним - воно працювало за умови, що я використовував велику кількість інтервалів, але це сповільнилося вниз обчислення. Я зміг отримати кращі та швидші результати за допомогою гаусової квадратури.

Безрозмірна змінна\( v\) (яка пропорційна\( s\) - див. Рівняння\( \ref{3.1}\)) вимірюється по спіралі. Я намалював точки на спіралі для кожного приросту 0,1 в\( v\). Я не позначив числові значення\( v\) поруч з крапками, але не соромтеся робити це, якщо хочете. Зверніть увагу, що, як\( v\rightarrow\pm\infty\),\( C\) і\( S\rightarrow\pm\dfrac{1}{2}\). \( P\)Інтенсивність при пропорційна квадрату відстані між цими двома граничними точками (\( \frac{1}{2}\),\( \frac{1}{2}\)) і (\( -\frac{1}{2}\),\( -\frac{1}{2}\)). Відстань між цими точками дорівнює\( \sqrt{2}\), а квадрат відстані дорівнює 2. Таким чином, при відсутності перешкод між джерелом і точкою\(P\) амплітуда випромінювання при\(P\) є\( \sqrt{2}\) (довільні одиниці), а інтенсивність при\(P\) дорівнює 2 (довільні одиниці).

Далі ми поставимо три перешкоди перед джерелом світла, і ми збираємось обчислити дифракційну картину Френеля (тобто структуру тіні.) Три перешкоди будуть єдиним прямим краєм, щілиною між двома прямими краями і непрозорою смугою:

Весь час нагадую, що відстань s уздовж хвильового фронту лінійно пов'язане з відстанню\( v\) по спіралі Корну.

Почнемо з єдиного прямого краю.

У точці\( P_{0}\) ми бачимо всю верхню частину хвильового фронту. Тобто ми бачимо вздовж спіралі Корну від\( v=0\) туди, де спіраль сходиться в\( C\ =\ \frac{1}{2}\),\( S\ =\ \frac{1}{2}\). Амплітуда випромінювання при\(P\) пропорційна відстані між цими двома точками\( \frac{1}{\sqrt{2}}\), тобто, а інтенсивність при\(P\) пропорційна квадрату цього\( \frac{1}{2}\), тобто одна чверть інтенсивності, коли світло не перешкоджало будь-якій перешкоді.

Тепер давайте подивимося, яка інтенсивність знаходиться в точці\(P\) деяким чином вище осі (рис. 5).

Відстань\( s\) тепер повинна бути виміряна не від краю перешкоди, а від точки Q. в P ми бачимо більше хвильового фронту, ніж ми зробили в\( P_{0}\). Ми бачимо все\( s\) вище Q, а також деякі негативні значення\( s\) нижче Q. амплітуда при P, тоді, відповідає довжині хорди на малюнку III.6, в якій негативний\( v\) пов'язаний з негативом\( s\) рівнянням (\( \ref{3.1}\)). Ми бачимо, що, як ми рухаємося P вгору на малюнку 5, Ми приймаємо все більше негативних\( s\), і все більше і більше негативних\( v\) в спіралі Корну.

Таким чином, у міру просування Р вгору на малюнку 5 тримаємо верхній кінець хорди на малюнку 6 нерухомим і рухаємо нижній кінець навколо спіралі. Довжина хорди пропорційна амплітуди світла, отриманого при P, а його квадрат пропорційний його інтенсивності.

Ми можемо використовувати e лінійку і спіраль для визначення інтенсивності як функції і, отже\( s\),\( v\) і це було б відповідною процедурою до появи високошвидкісних комп'ютерів. Для розмежування інтенсивності як функції комп'ютера, як ми рухаємося по спіралі, для кожного значення\( \text{v}\) ми обчислюємо\( C\)\( S\) і потім обчислюємо інтенсивність від squ площі довжини хорди, яка\( \text{v}\)

\[ \left(\dfrac{1}{2}-C\right)^{2}\ +\ \left(\dfrac{1}{2}-S\right)^{2}.\]

Це те, що я зробив для r Рисунок 7, за винятком того, що я розділив цей вираз на два, так що інтенсивність одного представлення представляє інтенсивність при ньому при відсутності будь-яких перешкод.\( P_{0}\) Читач, який намагається продублювати це, незабаром оцінить цінність програмування швидкого і точного методу оцінки інтегралів Френеля.

Частка e po праворуч від\( v\ =\ 0\) знаходиться в межах геометричної тіні.

Тепер ми розглянемо, що відбувається, коли перешкода є щілиною між двома прямими краями. Припустимо, що ширина щілини дорівнює\( \Delta s\), що відповідає відстані вздовж спина\( \Delta v\ =\ \sqrt{\frac{2(a+b)}{ab\lambda}}\ \Delta s\). У підрахунках e, які я зробив нижче, я\( \Delta v\) t прийняв бути 4.0. Точка Р (див. Рис. 8) отримує енергію від частини хвильового фронту між\( s\ -\ \Delta s\) d\( s\), відповідної хорді на спіралі, що охоплює distan ce\( \Delta v\) по спіралі. Як точка Р рухається вгору по екрану, так акорд ковзає по спіралі (див. Рис. 9), зберігаючи\( \Delta v\) постійну мураху

Для e кожної позиції хорди нам потрібно обчислити інтеграли Френеля.\( C_{u}\), \( S_{u}\) of the upper end of the chord and the Fresnel integrals \( C_{l}\),\( S_{l}\) of the lower end of the chord and then calculate the square of the length of the chord (and then divide by two, so that an intensity of 1 is the intensity when the light is unobstructed). That is, we calculate

\( \dfrac{1}{2}\left[(C_{u}-C_{l})^{2}\ +\ (S_{u}\ -S_{1})^{2}\right]\)

I got the result shown in Figure 10, using a slit width corresponding to \( \Delta v =\ 4\).

The positions \( v =\ \pm 2\) correspond to the edge of he geometric shadow. The intensity has not fallen to zero there - some light spills over into the geometric shadow.

The details of the diffraction pattern are very sensitive to the value of \( \Delta v\). That is to say to \( \Delta s\). That is to say to the slit width. Figure 11, for example, shows the same calculation but for \( \Delta v\ =\ 3.9\) rather than 0.4.

As the slit width is changed, sometimes there will be a dip at \( v\ =\ 0\), and sometimes a maximum. Generally, a large \( \Delta v\) results in a more complicated pattern, and a smaller \( \Delta v\) results in a simpler pattern. As \( \Delta v\) becomes smaller, the pattern approaches the familiar Fraunhofer diffraction pattern for a slit, as in Figure 1.

Now let us choose as the obstacle a single opaque strip. I’ll make the width of the strip equal to the width of the slit in the example of Figure 10, which corresponds to a distance along the spiral of \( \Delta v\ =\ 4\). Instead of sliding the chord of Figure III.10 along the spiral, we have to slide the two complementary chords shown in Figure 12. We have to calculate the same Fresnel integrals \( C_{u},\ S_{u},\ C_{l},\ S_{l}\) as before, but this time the resultant of the two, added as vectors, and normalized so that the unobstructed intensity is 1, is \( \dfrac{1}{2}\left[(1-C_{u}+C_{l})^{2}\ +\ (1-S_{u}\ +S_{1})^{2}\right]\). I obtain the result shown in Figure 13.

The key to doing these calculations successfully is to have an efficient, fast and accurate routine for calculating the Fresnel integrals. In each of these graphs each of the Fresnel integrals (sine and cosine) was calculated by numerical integration about 400 times. I found Simpson’s Rule was inadequate, so I used Gaussian Quadrature.

APPENDIX A

In the above notes, I have described what the Fresnel integrals and the Cornu spiral are, and how to use them in some simple cases. I have not shown why it is that the diffraction patterns can be generated by the Fresnel integrals, or how to derive Equation (\( \ref{3.3}\)). I hope sometime to derive this and explain the rationale behind the theory in this Appendix at some later date. I’m afraid I can’t say when I expect to get round to doing this. Could be this year, next year, sometime, never...

APPENDIX B

The Fresnel Integrals

v	C	S
0.10	0.1000	0.0005
0.20	0.1999	0.0042
0.30	0.2994	0.0141
0.40	0.3975	0.0334
0.50	0.4923	0.0647
0.60	0.5811	0.1105
0.70	0.6597	0.1721
0.80	0.7228	0.2493
0.90	0.7648	0.3398
1.00	0.7799	0.4383
1.10	0.7638	0.5365
1.20	0.7154	0.6234
1.30	0.6385	0.6863
1.40	0.5431	0.7135
1.50	0.4453	0.6975
1.60	0.3655	0.6389
1.70	0.3238	0.5492
1.80	0.3336	0.4509
1.90	0.3945	0.3733
2.00	0.4883	0.3434
2.10	0.5816	0.3743
2.20	0.6363	0.4557
2.30	0.6266	0.5532
2.40	0.5550	0.6197
2.50	0.4574	0.6192
2.60	0.3889	0.5500
2.70	0.3925	0.4529
2.80	0.4675	0.3915
2.90	0.5624	0.4101
3.00	0.6057	0.4963
3.10	0.5616	0.5818

3.20	0.4663	0.5933
3.30	0.4057	0.5193
3.40	0.4385	0.4296
3.50	0.5326	0.4152
3.60	0.5879	0.4923
3.70	0.5419	0.5750
3.80	0.4481	0.5656
3.90	0.4223	0.4752
4.00	0.4984	0.4205
4.10	0.5737	0.4758
4.20	0.5417	0.5632
4.30	0.4494	0.5540
4.40	0.4383	0.4623
4.50	0.5260	0.4343
4.60	0.5672	0.5162
4.70	0.4914	0.5671
4.80	0.4338	0.4967
4.90	0.5002	0.4351
5.00	0.5636	0.4992
5.10	0.4998	0.5624