2.6: Падіння під довільним кутом.

У розділі 4 (Падіння під кутом Брюстера) з'ясувалося, що відображення світла, поляризованого в площині падіння, відрізняється від відображення плоского поляризованого світла, поляризованого під прямим кутом до падіння площини. Тому має сенс в даному розділі розглянути дві площини поляризації окремо. Я припускаю, що обидва середовища є ізотропними (тобто не дволучепреломляющими).

У наступному обговоренні ми припустимо, що світло рухається від середовища діелектричної проникності\(\epsilon_1\) до середовища більшої діелектричної проникності\(\epsilon_2\). Обидві проникності рівні, і близькі до\(\mu_0\). Електричне і магнітне поля падаючої хвилі будуть позначатися\(E\) і\(H\). Електричне і магнітне поля відбитої хвилі будуть позначатися\(E_1\) і\(H_1\). Електричне і магнітне поля переданої хвилі будуть позначатися\(E_2\) і\(H_2\). (І на випадок, якщо вам цікаво,\(H\) я маю на увазі\(H\), і\(B\) я маю на увазі\(B\).)

Почнемо з припущення, що падаюче світло площина поляризована з електричним полем перпендикулярно (senkrecht) до площини падіння. Тобто електричне поле має тільки\(z\) -складову. Коливальне електричне поле\(E\) позначається синіми точками, а магнітне поле\(H\) червоними рисками на малюнку нижче.

Граничними умовами є: Для тангенціальної\((z)\) складової\(\mathbf{E}\)

\[ E + E_1 = E_2\tag{9}\label{eq:2.9} \]

Для тангенціальної (y) складової\(\mathbf{H}\)

\[ (H-H_1)\cos\theta_1 = H_2 \cos \theta_2. \tag{10}\label{eq:2.10} \]

Тобто,

\[ \dfrac{(E-E_1)}{Z_1}\cos\theta_1 = \dfrac{E_2}{Z_2}\cos \theta_2, \tag{11}\label{eq:2.11} \]

або

\[n_1(E-E_1)\cos\theta_1 = n_2E_2\cos\theta_2. \tag{12}\label{eq:2.12} \]

Усунути\(E_2\) між рівняннями\(\ref{eq:2.9}\) і\(\ref{eq:2.12}\):

Відображена амплітуда:

\[\dfrac{E_1}{E} = \dfrac{n_1\cos\theta_1 - n_2\cos\theta_2}{n_1\cos\theta_1+n_2\cos\theta_2}. \tag{13}\label{eq:2.13} \]

Використовуйте рівняння\(\ref{eq:2.9}\):

Передана амплітуда

\[ \dfrac{E_2}{E} = \dfrac{2n_2\cos\theta_1}{n_1\cos\theta_1+n_2\cos\theta_2}. \tag{14}\label{eq:2.14} \]

Тепер ми припустимо, що падаюче світло є площиною поляризованої електричним полем паралельно площині падіння. Це, саме магнітне поле має тільки\(z\) -компонент. Коливальне електричне поле\(E\) позначається синіми рисками, а магнітне поле\(H\) червоними точками на малюнку нижче.

Граничними умовами є:

Для тангенціальної\((z)\) складової\(\mathbf{H}\)

\(H+H_1 = H_2\)

Тобто:

\[\dfrac{E+E_1}{Z_1} = \dfrac{E_2}{Z_2} \, \text{or} \, n_1(E+E_1) = n_2E_2. \tag{15}\label{eq:2.15} \]

Для тангенціальної\((y)\) складової\(\mathbf{E}\)

\[ (E- E_1) \cos \theta_1 = E_2\cos\theta_2. \tag{16}\label{eq:2.16} \]

Усунути\(E_2\) між рівняннями\(\ref{eq:2.15}\) і\(\ref{eq:2.16}\):

Відображена амплітуда:

\[ \dfrac{E_1}{E} = \dfrac{n_2\cos\theta_1 -n_1\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1+n_1\cos\theta_2}.\tag{17}\label{eq:2.17} \]

Використовуйте рівняння\(\ref{eq:2.15}\):

Передана амплітуда:

\[\dfrac{E_2}{E} = \dfrac{2n_1\cos\theta_1}{n_2\cos\theta_1+n_1\cos\theta_2}. \tag{18}\label{eq:2.18} \]

Це рівняння Френеля, зібрані разом нижче:

Перпендикулярно (Сенкрехт)

Відображена амплітуда:

\(\dfrac{E_1}{E} = \dfrac{n_2\cos\theta_1 -n_2\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1+n_2\cos\theta_2}.\)

Передана амплітуда:

\(\dfrac{E_2}{E} = \dfrac{2n_1\cos\theta_1 }{n_1\cos\theta_1+n_2\cos\theta_2}.\)

Паралельний

Відображена амплітуда:

\( \dfrac{E_{1}}{E}\ =\ \dfrac{n_{2}\cos\theta_{1}\ -n_{1}\cos\theta_{2}}{n_{2}\cos\theta_{1}\ +n_{1}\cos\theta_{2}}\).

Передана амплітуда:

\( \dfrac{E_{2}}{E}\ =\ \dfrac{2n_{1}\cos\theta_{1}}{n_{2}\cos\theta_{1}\ +n_{1}\cos\theta_{2}}\).

Вони, очевидно, залежать тільки від співвідношення показників заломлення (тобто коефіцієнта заломлення одного середовища щодо показника іншого). Якщо ми пишемо\(n= n_2/n_1\), рівняння стають

Перпендикулярно (Сенкрехт)

Відображена амплітуда:

\( \dfrac{E_{1}}{E} = \dfrac{\cos\theta_{1} -n\cos\theta_{2}}{\cos\theta_{1} +n\cos\theta_{2}}\).

Передана амплітуда:

\( \dfrac{E_{2}}{E}\ =\ \dfrac{2\cos\theta_{1}}{\cos\theta_{1}\ +n\cos\theta_{2}}\).

Паралельний

Відображена амплітуда:

\( \dfrac{E_{1}}{E} = \dfrac{n\cos\theta_{1} -\cos\theta_{2}}{n\cos\theta_{1} +\cos\theta_{2}}\).

Передана амплітуда:

\( \dfrac{E_{2}}{E}\ =\ \dfrac{2\cos\theta_{1}}{n\cos\theta_{1}\ +\cos\theta_{2}}\).

Для нормальної захворюваності співвідношення для компонента senkrecht стають\( \dfrac{1\ -\ n}{1\ +\ n}\) і\( \dfrac{2}{1\ +\ n}\), як очікувалося. Співвідношення для паралельної складової, однак, стають\( \dfrac{n\ -\ 1}{n\ +\ 1}\) і, мабуть\( \dfrac{2}{1\ +\ n}\), прогнозують відсутність фазових змін при зовнішньому відображенні для паралельної складової. Однак це тільки очевидно, і пояснення видимої аномалії наведено на стор. 20-24.

Зазначимо, що\( n,\ \theta_{1},\ \theta_{2}\) вони також пов'язані законом Снелла:\( \sin\theta_{1}\ =\ n\sin\theta_{2}\), так що ми можемо виключити\( n\) з рівнянь Френеля, щоб висловити їх лише з точки зору кутів падіння та заломлення. Якщо це буде зроблено, ми отримаємо:

Перпендикуляр (Сенкрехт):

Відображена амплітуда:

\( \dfrac{E_{1}}{E}\ =\ -\dfrac{\sin(\theta_{1}\ -\theta_{2})}{\sin(\theta_{1}\ +\theta_{2})}\).

Передана амплітуда:

\( \dfrac{E_{2}}{E}\ = \dfrac{2\sin\theta_{2}\cos\theta_{1}}{\sin(\theta_{1}+\theta_{2})}\ =\ \frac{2}{1\ +\frac{\tan\theta_{1}}{\tan\theta_{2}}}\).

Паралельний

Відображена амплітуда:

\( \dfrac{E_{1}}{E}\ =\ -\dfrac{\tan(\theta_{1}\ -\theta_{2})}{\tan(\theta_{1}\ +\theta_{2})}\).

Передана амплітуда:

\( \dfrac{E_{2}}{E}\ = \dfrac{2\sin\theta_{2}\cos\theta_{1}}{\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\cos(\theta_{1}\ -\theta_{2})}\).

Мабуть, найкориснішою формою з усіх, ми могли б виключити\( \theta_{2}\) з рівнянь Френеля і, отже, отримати їх як функції\( \theta_{1}\) і\( n\) тільки. Це дозволить нам легко обчислити відбиті і передані амплітуди з точки зору кута падіння. Таким чином:

Перпендикулярно (Сенкрехт)

Відображена амплітуда:

\( \dfrac{E_{1}}{E}\ =\ -\dfrac{(n^{2}\ -\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}\ -\cos\theta_{1}}{(n^{2}\ -\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}\ +\cos\theta_{1}}\)

Передана амплітуда:

\( \dfrac{E_{2}}{E}\ =\ -\dfrac{2\cos\theta_{1}}{(n^{2}\ -\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}\ +\cos\theta_{1}}\).

Паралельний

Відображена амплітуда:

\( \dfrac{E_{1}}{E}\ =\dfrac{n^{2}\cos\theta_{1}\ -(n^{2}\ -\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}}{n^{2}\cos\theta_{1}\ +(n^{2}\ -\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}}\).

Передана амплітуда:

\( \dfrac{E_{2}}{E}\ =\ \dfrac{2n\cos\theta_{1}}{n^{2}\cos\theta_{1}+(n^{2}-\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}}\).

Чорні криві - це амплітуди відбитих хвиль.

Блакитні криві - це амплітуди передаються хвиль.

Безперервні криві призначені для сенкрехтних (перпендикулярних) хвиль.

Пунктирні криві призначені для паралельних хвиль.

Негативні значення показують, де є зсув фази 180º при відображенні. Зверніть увагу, що під кутом Брюстера (близько 56º) жоден паралельний компонент не відбивається.

При 90º (падіння випасу) світло не пропускається; все це відбивається, але зі зміною фази (негативна амплітуда).

Енергетичні міркування

Нагадаємо, що для паралельної складової падаюча, відображена і передана амплітуди знаходяться в співвідношенні.

\( E \quad:\quad E_{1} \quad : \quad E_{2}=1 \quad : \quad -\dfrac{(n^{2}-\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}-\cos\theta_{1}}{(n^{2}-\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}+\cos\theta_{1}} \quad : \quad \dfrac{2\cos\theta_{1}}{(n^{2}-\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}+\cos\theta_{1}}\)

а для сенкрехта складової вони знаходяться в співвідношенні

\( E \quad:\quad E_{1} \quad : \quad E_{2}=1 \quad : \quad \dfrac{n^{2}\cos\theta_{1}-(n^{2}-\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}}{n^{2}\cos\theta_{1}+(n^{2}-\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}} \quad : \quad \dfrac{2\cos\theta_{1}}{n^{2}\cos\theta_{1}+(n^{2}-\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}}\)

(Тут\( n\ =\ \dfrac{n_{2}}{n_{1}}\).)

Припустимо, що падаюче світло потрапляє в інтерфейс в області\(A\). Це означає, що падаюче і відбите світло знаходяться кожен в пучках площі поперечного перерізу\( A\cos\theta_{1}\), а прохідне світло знаходиться в пучку площі поперечного перерізу\( A_{2}\). Ми збираємося обчислити\( P \quad : \quad P_{1} \quad: \quad P_{2}\) співвідношення швидкості передачі енергії (потужності) у кожному пучку; і якщо ми зробимо нашу алгебру правильно, ми повинні це знайти\( P_{1}\ +\ P_{2}\ =\ P\).

Нагадаємо, що енергія на одиницю об'єму в електричному полі пропорційна\( \epsilon E^{2}\), де\( \epsilon\), діелектрична проникність, пропорційна квадрату показника заломлення. Потужність, що передається кожним променем, пропорційна енергії на одиницю об'єму, рази швидкості передачі (яка обернено пропорційна показнику заломлення), і площі поперечного перерізу променя.

Тому для паралельного компонента та для компонента senkrecht,

\( P\ \ :\ \ P_{1} \ \ :\ \ P_{2}=n_{1}E^{2}\cos\theta_{1} \ \ :\ \ n_{1}E_{1}^{2}\cos\theta_{1} \ \ :\ \ n_{2}E_{2}^{2}\cos\theta_{2}\)

Нормалізуючи цей вираз так\( P\ =\ 1\), що, отримуємо

\( P\ \ :\ \ P_{1} \ \ :\ \ P_{2}=1 \ \ :\ \ \left(\dfrac{E_{1}}{E}\right)^{2} \ \ :\ \ n\left(\dfrac{E_{2}}{E}\right)^{2}\dfrac{\cos\theta_{2}}{\cos\theta_{1}}\).

Вони показані нижче для\( n\) = 1,5, і дійсно\( P_{1}\ +\ P_{2}\ =\ P\) для кожного компонента, і енергія зберігається.

Зверніть увагу, що при випасі випасу ми маємо повне зовнішнє відображення.

Чорні криві - це коефіцієнти відбиття відбитих хвиль.

Сині криві - це коефіцієнти пропускання переданих хвиль.

Безперервні криві призначені для сенкрехтних (перпендикулярних) хвиль.

Пунктирні криві призначені для паралельних хвиль.

Під кутом Брюстера паралельні хвилі не відбиваються.

Для світла, що йде від\( n_{1}\ =\ 1.5\) до\( n_{2}\ =\ 1\):

Чорні криві - це коефіцієнти відбиття відбитих хвиль.

Сині криві - це коефіцієнти пропускання переданих хвиль.

Безперервні криві призначені для сенкрехтних (перпендикулярних) хвиль.

Пунктирні криві призначені для паралельних хвиль.

При кутах падіння більше 42 градусів (критичний кут для повного внутрішнього відбиття) все світло відбивається. Фаза цього повністю відбитого світла - це те, про що ми ще не обговорювали.

Повертаюся тепер до зовнішнього відображення і до графіків, повторених нижче, які показують відображені і передані амплітуди паралельних і сенкрехт компонентів. Сині криві показують передані амплітуди, і проблем з ними немає. Амплітуди всі позитивні, що означає, що передані хвилі не мають зміни фази на кордоні. Мої учні вказали на очевидний парадокс з пунктирною чорною кривою, яка є відображеною амплітудою паралельної складової. Він позитивний, що вказує (мабуть) на відсутність зміни фази, навіть при нормальній захворюваності - і все ж ми знаємо, що має відбутися зміна фази для відбитого світла при нормальній частоті. Мої студенти вимагали (і це справедливо) пояснення. Очевидна аномалія також була відзначена на п.15. Слідом за схемою є рішення, яке я пропоную.

Коли ми описуємо стан поляризації світла, будь то, лінійний, круговий або еліптичний, ми посилаємося для зручності і необхідності до системи координат, в якій\( z\) -вісь знаходиться в напрямку променя, а\( xy\) -площина перпендикулярна до нього. Спостерігач повинен знаходитися на позитивній\( z\) -осі, дивлячись у бік джерела світла:

Розглянемо промінь, що спускається під крутим кутом до водної гладі. Припустимо, в якийсь момент часу електричний вектор трохи вище поверхні, як показано маленькою синьою стрілкою нижче.

Що бачить наш спостерігач (хто знаходиться під водою), і як він описує стан поляризації? Ось що він бачить:

Тепер світло відбивається, спостерігач змінює своє положення, і він дивиться на воду зверху вниз.

І ось що він бачить:

І тому зміни фази не відбулося.

Або є?

Можна сказати, що відбулася зміна фази, але це виглядає так, ніби цього не було. По суті, до і після, ми відносимо ситуацію до двох опорних кадрів, один з яких є дзеркальним відображенням іншого.

Ви побачите, що цей очевидний парадокс не виникає з компонентом senkrecht.

Ми досі розглядали відбиття і пропускання світла, який спочатку був плоский поляризований або паралельно площині падіння, або перпендикулярно (senkrecht) до нього. Припустимо, що падаюче світло є площиною поляризованої в напрямку 45º до паралельних і сенкрехтних площин. Ми можемо вирішити його в паралельні і senkrecht компоненти, кожен з амплітуди\( \dfrac{E}{\sqrt{2}}\). Ми припускаємо, що кут падіння дорівнює\( \theta_{1}\), а кут заломлення, який легко обчислюється із Закону Снелла, є\( \theta_{2}\). І тому зміни фази не відбулося.

Після відображення амплітуди паралельної складової будуть\( \dfrac{E}{\sqrt{2}}\ \times\ \dfrac{\tan(\theta_{1}-\theta_{2})}{\tan(\theta_{1}+\theta_{2})}\).

і амплітуда компонента сенкрехт буде\( -\dfrac{E}{\sqrt{2}}\ \times\ \dfrac{\sin(\theta_{1}-\theta_{2})}{\sin(\theta_{1}+\theta_{2})}\).

З них ми можемо обчислити результуючу амплітуду відбитої хвилі, а також напрямок її поляризації (що досить сильно відрізняється від площини поляризації падаючої хвилі).

Передаване світло матиме паралельну складову амплітуди

\( \dfrac{E}{\sqrt{2}}\ \times\ \dfrac{2\sin\theta_{2}\cos\theta_{1}}{\sin(\theta_{1}\ +\ \theta_{2})\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}\)

і сенсорний компонент амплітуди

\( \dfrac{E}{\sqrt{2}}\ \times\ \dfrac{2}{1\ +\ \dfrac{\tan\theta_{1}}{\tan\theta_{2}}}\).

З них ми можемо обчислити результуючу амплітуду переданої хвилі, а також напрямок її поляризації (яка, що стосується відбитої хвилі, знаходиться в іншій площині від площини поляризації падаючої хвилі.)

Тут ми показуємо величини (без урахування знака) коефіцієнтів відбиття та пропускання амплітуди, а також напрямки поляризації для відбитої та переданої хвилі, як функція кута падіння\( \theta_{1}\), припускаючи\( n\ =\ \frac{n_{2}}{n_{1}}\ =1.5\).

При падінні випасу\( \theta_{1}\) = 90º все світло відбивається. Хоча це не має особливого значення, зауважимо, що для\( n\) = 1,5 коефіцієнти амплітуди відбиття і передачі рівні (0,4544) для кута падіння, рівного 72º.464. За винятком нормальної та випасової падіння, коефіцієнти амплітуди відбиття та передачі не додають точно до одиниці. Хоча існує потреба в збереженні енергії, подібної вимоги до амплітуд немає.

Оскільки кут падіння йде від нуля (нормальне падіння) до 90º (падіння випасу), площина поляризації відбитої хвилі йде від

Зверніть увагу, що для нормального падіння відбита хвиля має зміну фази для компонента сенкрехта, але (мабуть) не для паралельної складової, як пояснено вище.

Площина поляризації переданого трохи рухається від початкового 45º до 56º.6 (кут Брюстера) при падінні випасу, хоча це має мало значення, оскільки при падінні випасу не передається світло.

Як описано по\( \ref{eq:2.17}\) -\( \ref{eq:2.18}\), якщо падаюча, відображена і передана амплітуди знаходяться в співвідношенні\( \), а відповідні потужності знаходяться в співвідношенні\( \), то

\( P\ \ :\ \ P_{1} \ \ :\ \ P_{2}=1 \ \ :\ \ \left(\dfrac{E_{1}}{E}\right)^{2} \ \ :\ \ n\left(\dfrac{E_{2}}{E}\right)^{2}\dfrac{\cos\theta_{2}}{\cos\theta_{1}}\)

Вони наведені нижче для\( n\) = 1,5.

Нагадаємо, що в цих розрахунках передбачалося, що падаюче світло є площиною поляризованої на 45º до паралельної та сенкрехтної площин, так що паралельна і сенкрехт амплітудні компоненти падаючого світла рівні. Повністю неполяризоване падаюче світло також має рівні паралельні та сенсорні амплітудні компоненти, так що на наведеному вище графіку також показані коефіцієнти відбиття та пропускання для неполяризованого падаючого світла. Для\( n\) = 1,5 коефіцієнти відбиття і пропускання рівні для кута падіння 82º.82. При будь-якому куті падіння менше 60º передається дуже набагато більше світла, ніж відбитого., але, в межі як\( \theta_{1}\rightarrow90^{\circ}\), все світло відбивається.

Нижче наведені коефіцієнти відбиття і пропускання внутрішнього відбиття для кутів падіння від нуля до критичного кута, який при\( n\) = 1,5 дорівнює 41º.8. Це досягається лише заміною 1.5 на\( \frac{2}{3}\) в розрахунках.