2.5: Імпеданс
- Page ID
- 78853
Нам потрібно нагадати собі ще одну річ з електромагнітної теорії, перш ніж ми зможемо продовжити, а саме значення імпедансу в контексті поширення електромагнітних хвиль. Імпеданс\(Z\) - це всього лише відношення\(E/H\) електричного до магнітного поля. Одиниці СІ\(E\) і\(H\) є В/м і А/м відповідно, тому одиниці СІ\(Z\) є V/A, або Ом,\(\Omega\). Зараз ми побачимо, чи зможемо ми висловити імпеданс з точки зору діелектричної проникності та проникності середовища, в якому рухається електромагнітна хвиля.
\[\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{\text{D}} &= \rho \\ \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{\text{B}} &= 0. \\ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{\text{H}} &= \mathbf{\dot{\text{D}}}+\mathbf{\text{J}}. \\ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{\text{E}} &= -\mathbf{\dot{\text{B}}}. \end{align}\]
В ізотропної, однорідної, непровідної, незарядженої середовищі (наприклад, скло) рівняння стають:
\[\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{\text{E}} &= 0 \\ \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{\text{H}} &= 0 \\ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{\text{H}} &= \epsilon \mathbf{\dot{\text{E}}}. \\ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{\text{H}} &= -\mu \mathbf{\dot{\text{H}}}. \end{align}\]
Якщо виключити\(\mathbf{H}\) з цих рівнянь, то вийде
\[ \nabla^2 \mathbf{\text{E}} = \epsilon\mu \mathbf{\ddot{\text{E}}}, \label{NewEq1}\]
яка описує електричну хвилю швидкості
\[\dfrac{ 1}{ \sqrt{\epsilon\mu}}. \label{Speed1}\]
У вільному просторі це стає
\[\dfrac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}\]
який є\(2.998 \times 10^8 \,m \,s^{−1}\).
Співвідношення швидкостей в двох носіях дорівнює
\[\dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{n_2}{n_1} = \sqrt{\dfrac{\epsilon_2\mu_2}{\epsilon_1\mu_1}},\]
і якщо, як це часто буває, дві проникності рівні (до\(\mu_0\)), то
\[\dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{n_2}{n_1} = \sqrt{\dfrac{\epsilon_2}{\epsilon_1}}.\]
Зокрема, якщо порівняти одне середовище з вакуумом, то вийде:\(n = \sqrt{\dfrac{\epsilon}{\epsilon_0}}\).
Світло - це високочастотна електромагнітна хвиля. Коли діелектричне середовище піддається високочастотному полю, поляризація (а значить\(D\)) не може йти в ногу з електричним полем\(E\). \(D\)відстає\(E\). Це можна описати математично, приписавши комплексне значення діелектричної проникності. Величина відставання залежить, не дивно, від частоти - тобто від кольору - і тому діелектрична проникність і, отже, показник заломлення залежить від довжини хвилі світла. Це дисперсія.
Якщо замість цього ви усунете Е з рівнянь Максвелла, ви отримаєте
\[ \nabla^2 \mathbf{\text{H}} = \epsilon \mu \mathbf{\ddot{\text{H}}}. \label{NewEq2}\]
Це магнітна хвиля однакової швидкості.
Якщо усунути час між\ ref {NewEq1} і\ ref {NewEq2}, ви виявите\(\dfrac{E}{H} = \sqrt{\dfrac{\mu}{\epsilon}}\), що, у вільному просторі, має значення\(\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\epsilon_0}} = 377 \Omega\), яке є імпедансом вільного простору. У відповідному контексті я можу використовувати символ\(Z_0\) для позначення імпедансу вільного простору, а символ\(Z\) для позначення імпедансу якогось іншого середовища.
Співвідношення імпедансів у двох середовищах становить
\[\dfrac{Z_1}{Z_2} = \sqrt{\dfrac{\epsilon_2\mu_1}{\epsilon_1 \mu_2}},\]
і якщо, як це часто буває, дві проникності рівні (до\(\mu_0\)), то
\[\dfrac{Z_1}{Z_2} = \sqrt{\dfrac{\epsilon_2}{\epsilon_1}}= \dfrac{n_2}{n_1}=\dfrac{v_1}{v_2}.\]
Ми будемо використовувати цей результат у наступному.