6.8: Оптика Фур'є

У цьому розділі ми застосуємо теорію дифракції до лінзи. Розглядається, зокрема, фокусування паралельного променя і зображення об'єкта.

6.8.1 Фокусування паралельного пучка

Лінза індукує локальну зміну фази до падаючого поля, яке пропорційно його місцевій товщині. Нехай плоска хвиля, яка поширюється паралельно оптичній осі, падає на лінзу. Згідно з гауссовой геометричною оптикою, падаючі промені паралельні оптичній осі і всі зосереджені в фокусній точці. Відповідно до Принципу Ферма, всі промені пройшли однакову оптичну відстань, коли вони перетинаються у фокусній точці, де виникають конструктивні перешкоди, а інтенсивність максимальна. У фокальній області хвилефронти - це сфери з центром фокусної точки, які відрізані конусом з фокусною точкою як верхнім і кутом відкриття$2 a / f$, як показано на малюнку$\PageIndex{1}$. Позаду фокусної точки є другий конус, де знову є сферичні хвильові фронти, але там світло, звичайно, поширюється далеко від фокусної точки. Згідно з геометричною оптикою Гаусса, це в просторі зображення повністю темно зовні двох конусів на малюнку$\PageIndex{1}$. Однак, як ми покажемо, в дифракційній оптиці це не відповідає дійсності.

Припускаємо, що лінза тонка і вибираємо як початок системи координат центр тонкої лінзи з позитивною$z$ -віссю уздовж оптичної осі. $f$Дозволяти фокусна відстань відповідно до гаусової геометричної оптики. Потім$(0,0, f)$ знаходиться фокусна точка. $(x, y, z)$Дозволяти бути точкою між об'єктивом і фокусною точкою. Відповідно до геометричної оптики поле в$(x, y, z)$ тому місці $$\begin{array}{cc} \frac{e^{-i k \sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-f)^{2}}-i \omega t}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-f)^{2}}}, & \text { if }(x, y, z) \text { is inside the cone, } \\ 0, & \text { if }(x, y, z) \text { is outside the cone, } \end{array} \nonumber$$ , де ми включили залежність від часу. Дійсно поверхні постійної фази: $$-\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-f)^{2}}-\omega t=\text { constant, } \nonumber$$ це сфери з центром фокусної точки, які для збільшення часу сходяться до фокусної точки, в той час як амплітуда поля збільшується пропорційно зворотній відстані до фокусної точки так, що енергія зберігається.

Зауваження. $(x, y, z)$Для точки праворуч від фокусної точки сферичні хвильові фронти поширюються далеко від фокусної точки і тому для$z>f,-i k$ повинні бути замінені на$+i k$ в експоненті в$\PageIndex{1}$.

Вихідна зіниця лінзи знаходиться в площині,$z=0$ де згідно ($\PageIndex{1}$) поле, $$1_{\odot_{a}}(x, y) \frac{e^{-i k \sqrt{x^{2}+y^{2}+f^{2}}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+f^{2}}}, \nonumber$$ де тимчасова залежність була опущена і$1_{\odot_{a}}(x, y)=$\ begin {cases} 1 &\ text {if} x^ {2} +y^ {2} <a^ {2},\\ 0 &\ text {інакше}\ end {cases} тобто $1_{\odot_{a}}(x, y)=1$бо$(x, y)$ в вихідний зіницю кришталика і$=0$ інше.

У дифракційній оптиці ми обчислюємо поле в фокальній області за допомогою дифракційних інтегралів замість трасування променів. Значить, модифікація, введена дифракційною оптикою, обумовлена більш точним поширенням поля від вихідного зіниці до фокальної області.

Якщо$a / f$ достатньо мала, ми можемо замінити відстань$\sqrt{x^{2}+y^{2}+f^{2}}$ між точкою у вихідній зіниці та фокусною точкою в знаменнику ($\PageIndex{2}$) на$f$. Це не допускається в показнику, однак, через множення на велике число хвилі$k$. Тому в експоненті ми використовуємо замість перших двох членів серії Тейлора, 6.5.4: $$\sqrt{x^{2}+y^{2}+f^{2}}=f \sqrt{1+\frac{x^{2}+y^{2}}{f^{2}}} \approx f+\frac{x^{2}+y^{2}}{2 f}, \nonumber$$ що справедливо для$a / f$ досить малих. Тоді ($\PageIndex{2}$) стає: $$1 \odot_{a}(x, y) e^{-i k \frac{x^{2}+y^{2}}{2 f}}, \nonumber$$ де ми скинули постійні фактори$e^{i k f}$ і$1 / f$. Для загального падаючого поля$U_{0}(x, y)$ у вхідній зіниці лінза застосовує таке перетворення, що поле в площині виходу стає: $$U_{0}(x, y) \rightarrow U_{0}(x, y) 1_{\odot_{a}}(x, y) e^{-i k \frac{x^{2}+y^{2}}{2 f}}, \nonumber$$ перетворення, застосоване лінзою між її входом і площиною виходу.

Функція, яка множиться,$U_{0}(x, y)$ - це передавальна функція лінзи: $$\tau_{lens }(x, y)=1\odot_{a}(x, y) e^{-i k \frac{x^{2}+y^{2}}{2 f}} . \nonumber$$

Цей результат має сенс: в центрі лінза$(x, y)=0$ найтовстіша, тому фаза зрушена найбільше (але ми можемо визначити цей зсув фази як нуль, оскільки мають значення лише різниця фаз, а не абсолютна фаза). Як вказує мінус в експоненті, чим далі ви віддаляєтеся від центру лінзи, тим менше зсувається фаза. Для коротших$f$, лінза фокусується сильніше, тому фазовий зсув змінюється швидше в залежності від радіальної координати. Зверніть увагу, що функція передачі ($\PageIndex{7}$) має модуль 1, так що енергія зберігається. Ми використовуємо дифракційний інтеграл Френеля (6.5.6) для поширення поля ($\PageIndex{6}$) на фокальну область: $$U(x, y, z)=\frac{e^{i k z} e^{\frac{i k\left(x^{2}+y^{2}\right)}{2 z}}}{i \lambda z} \mathcal{F}\left\{U_{0}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) 1\odot_{a}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) e^{i k \frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}{2}}\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{f}\right)\right\}\left(\frac{x}{\lambda z}, \frac{y}{\lambda z}\right) . \nonumber$$

Інтенсивність$I=|U|^{2}$ показана в лівому нижньому кутку малюнка$\PageIndex{1}$. Видно, що інтенсивність не монотонно збільшується для зменшення відстані до фокусної точки. Натомість вторинні максимуми видно уздовж оптичної осі. Також межа світлового конуса не різка, як передбачала геометрична оптика, а дифузна. У нижньому правому куті малюнка$\PageIndex{1}$ показана фаза в фокальній області. Хвильові фронти близькі до, але не зовсім сферичні всередині конусів.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Верх: хвильові фронти падаючої площини хвилі та сфокусоване поле відповідно до гаусової геометричної оптики. Зовні двох конусів немає світла. Зліва внизу: амплітуда, прогнозована дифракційною оптикою. Межа шишок дифузна і зовні шишок не зовсім темна. Крім того, інтенсивність не збільшується монотонно зі зменшенням відстані до фокусної точки, як прогнозує геометрична оптика. Справа внизу: фаза сфокусованого поля, передбачена дифракційною оптикою.

Для точок в задній фокальній площині об'єктива$z=f$, тобто маємо $$U(x, y, f)=\frac{e^{i k f} e^{\frac{i k\left(x^{2}+y^{2}\right)}{2 f}}}{i \lambda f} \mathcal{F}\left\{U_{0}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) 1\odot_{a}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\right\}\left(\frac{x}{\lambda f}, \frac{y}{\lambda f}\right), \nonumber$$ яка така ж, як інтеграл Фраунгофера! Таким чином, поле в фокальній площині по Гауссовой геометричній оптиці знаходиться в дифракційній оптиці ідентично дальньому полю поля у вхідній зіниці лінзи, або поставити його по-іншому:

Поле у вхідній зіниці лінзи та поле у фокальній площині пов'язані перетворенням Фур'є (крім квадратичного фазового фактора перед інтегралом).

Показано, що поля у передній фокальній площині$U(x, y,-f)$ та задній фокальній площині$U(x, y, f)$ пов'язані саме перетворенням Фур'є, тобто без додаткового квадратичного фазового фактора.

Так лінза виконує перетворення Фур'є. Давайте подивимося, чи це узгоджується з деякими фактами, які ми знаємо з геометричної оптики.

1. З гаусової геометричної оптики ми знаємо, що якщо ми висвітлюємо лінзу променями, паралельними оптичній осі, всі ці промені перетинаються у фокусній точці. Це відповідає тому, що для$U_{0}(x, y)=1$ (тобто плоского хвильового освітлення, нехтування скінченною апертурою лінзи, тобто нехтування дифракційними ефектами через кінцевого розміру зіниці) його перетворення Фур'є є дельта-піком:

$$\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)=\delta\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}\right) \delta\left(\frac{k_{y}}{2 \pi}\right), \nonumber$$ який представляє ідеальне сфокусоване місце (без дифракції).

2. Якщо в гауссовой геометричній оптиці ми висвітлюємо лінзу нахиленими паралельними променями світла (плоска хвиля, що поширюється в косому напрямку), то точка в задній фокальній площині, де перетинаються промені, збоку зміщується. Нахилена плоска хвиля описується$U_{0}(\mathbf{r})=$$\exp \left(i \mathbf{k}_{0} \cdot \mathbf{r}\right)$, а її перетворення$(x, y)$ Фур'є щодо

$$\mathcal{F}\left\{U_{0}\right\}\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}, z\right)=\delta\left(\frac{k_{x}-k_{0, x}}{2 \pi}\right) \delta\left(\frac{k_{y}-k_{0, y}}{2 \pi}\right), \nonumber$$ яка дійсно є зміщеною дельта-піком (тобто зміщеною фокусною плямою).

Здається, що дифракційна модель світла підтверджує те, що ми знаємо з геометричної оптики. Але в попередніх двох прикладах ми відкинули вплив кінцевого розміру зіниці, тобто ми залишили поза увагою функцію при$1_{\odot_{a}}$ обчисленні перетворення Фур'є. Якщо$U_{0}(x, y)=1$ у вхідному зіниці і правильно врахувати кінцевий розмір зіниці, то$\delta$ -піки стають розмитими: сфокусоване поле потім задається перетворенням Фур'є кругового диска з радіусом$a$. оцінюється на просторових частотах $\xi=\frac{x}{\lambda f}, \eta=\frac{y}{\lambda f}$. Це поле називається плямою Ейрі і задається (Див. Додаток E.17): $$U(x, y, z)=\frac{\pi a^{2}}{\lambda f} \frac{2 J_{1}\left(2 \pi \frac{a}{\lambda f} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\frac{2 \pi a}{\lambda f} \sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \quad \text { Airy pattern for focusing, } \nonumber$$ де ми опустили фазові фактори перед перетворенням Фур'є. Візерунок зображений на малюнку$\PageIndex{1}$. Він круглий симетричний і складається з центрального максимуму, оточеного концентричними кільцями чергуються нулів і вторинних максимумів з швидко спадаючими амплітудами. У поперечному перерізі, як функція$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, візерунок Ейрі дуже схожий (але не ідентичний) з sinc-функцією. З принципу невизначеності, показаного на малюнку 6.5.3, випливає, що розмір фокусної плями зменшується зі$a$ збільшенням, а з ($\PageIndex{11}$) ми бачимо, що функція Ейрі є функцією безрозмірної змінної$a r /(\lambda f)$. Отже, вогнищева пляма стає все вужчим у міру$a /(\lambda f)$ збільшення. Чисельна діафрагма$(N A)$ визначається $$\mathrm{NA}=\frac{a}{f}, \quad \text { numerical aperture. } \nonumber$$

Оскільки перший нуль візерунка Ейрі відбувається для$2 \operatorname{ar} /(\lambda f)=1.22$, розмір фокусної плями можна оцінити як $$Size\space of\space focal\space spot ≈ 0.6\frac{\lambda}{NA} \nonumber$$

Малюнок$\PageIndex{2}$: Зліва: перетин поля візерунка Ейрі. Праворуч: візерунок інтенсивності візерунка Ейрі.

6.8.2 Відображення за допомогою об'єктива

З висновків у попередньому розділі випливає, що візерунок Ейрі - це зображення точкового джерела нескінченно далеко перед лінзою. У цьому розділі ми вивчаємо візуалізацію загального об'єкта. Розглянемо спочатку точковий об'єкт перед об'єктивом з фокусною відстанню$f>0$.$z=s_{o}<0$ Поле в просторі зображення отримано аналогічно сфокусованому полю в попередньому розділі. Постулюється, що лінза перетворює поле, випромінюване точковим об'єктом, в сферичну хвилю у вихідній зіниці, яка сходиться до ідеальної точки зображення гаусової геометричної оптики. Якщо поширювати це сферичне поле в вихідній зіниці на площину зображення за допомогою дифракційного інтеграла Френеля, то для точки об'єкта на оптичній осі ми знайдемо той самий візерунок Ейрі, як і раніше і як показано на малюнку$\PageIndex{2}$, за винятком того, що змінна$a r /(\lambda f)$ повинна бути замінена на $$\frac{a r}{\lambda s_{i}} \nonumber$$ де$s_{i}$ - положення зображення, задане Законом про об'єктив. Це поле називається Функція розвороту точок (стисло PSF). Отже, $$\operatorname{PSF}(x, y)=\frac{\pi a^{2}}{\lambda s_{i}} \frac{J_{1}\left(2 \pi \frac{a}{\lambda s_{i}} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\frac{2 \pi a}{\lambda s_{i}} \sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \quad \text { Airy pattern for imaging. } \nonumber$$

Для точок об'єкта, які не знаходяться на оптичній осі, PSF перекладається таким чином, що він зосереджений на ідеальній точці зображення Гаусса.

Зазвичай ми припускаємо, що нам відомо поле, передане або відбивається об'єктом в так званій площині об'єкта, яка є площиною відразу за об'єктом (на стороні лінзи). Площина об'єкта дискретизується множиною точок, і зображення цих точок приймаються за допомогою перекладених версій PSF: $$\operatorname{PSF}\left(x-x_{i}, y-y_{i}\right) \nonumber$$ де$\left(x_{i}, y_{i}\right)$ поперечні координати точки зображення відповідно до Гауссова геометричної оптики.

Загальне поле зображення отримується шляхом підсумовування (інтеграції) над цими PSF, зважених полем у точках об'єкта: $$U_{i}\left(x, y, s_{i}\right)=\iint \operatorname{PSF}\left(x-M x_{o}, x-M y_{o}\right) U_{o}\left(x_{o}, y_{o}, s_{o}\right) \mathrm{d} x_{o} \mathrm{~d} y_{o} . \nonumber$$ де$x_{o}=x_{i} / M, y_{o}=y_{i} / M$ точка зображення та$M$ збільшення. Якщо збільшення дорівнює одиниці, поле зображення є згорткою між PSF і полем об'єкта. Якщо збільшення відрізняється від одиниці, інтеграл можна перетворити в згортку шляхом зміни масштабу координат у просторі зображення.

Зрозуміло$\PageIndex{15}$, що більший радіус$a$ лінзи і менша довжина хвилі$\lambda$ мають на увазі більш вузький PSF. Це, в свою чергу, означає, що ядро в згортці різкіше пік і, отже, роздільна здатність зображення вище.

Зауваження

1. Якщо для освітлення об'єкта використовується лазерне світло, поле об'єкта в цілому може вважатися абсолютно когерентним. Це означає, що детектор у площині зображення вимірював би квадратний модуль комплексного поля ($\PageIndex{16}$): $$I_{i}\left(x, y, s_{i}\right)=\left|\iint \operatorname{PSF}\left(x-M x_{o}, y-M y_{o}\right) U_{o}\left(x_{o}, y_{o}, s_{o}\right) \mathrm{d} x_{o} \mathrm{~d} y_{o}\right|^{2} . \nonumber$$

У цьому випадку система називається когерентною системою візуалізації.

2. Якщо об'єкт є просторово повністю некогерентним джерелом, зображення точкових джерел, з яких складається джерело (об'єкт), не можуть втручатися в площину зображення. Тому в цьому випадку інтенсивність в площині зображення задається некогерентною сумою: $$I_{i}\left(x, y, s_{i}\right)=\iint\left|\operatorname{PSF}\left(x-M x_{o}, y-M x_{o}\right)\right|^{2} I_{o}\left(x_{o}, y_{o}, s_{o}\right) \mathrm{d} x_{o} \mathrm{~d} y_{o}, \nonumber$$ де$I_{o}=\left|U_{o}\right|^{2}$ - інтенсивність об'єкта. Звідси інтенсивність зображення виражається в інтенсивності об'єкта згорткою з інтенсивністю PSF. Ця система називається некогерентної системою візуалізації.

3. Об'єкт часто висвітлюється просторово некогерентним джерелом світла, а потім знімається. Поле, відображене або передане об'єктом, потім частково когерентне. Ми показали в главі 5, що ступінь взаємної узгодженості в об'єкті збільшується при збільшенні відстані між джерелом і об'єктом. Виявлену інтенсивність в площині зображення можна обчислити шляхом розбивання просторово некогерентного джерела на досить багато взаємно некогерентних точкових джерел і розгляду полів у площині зображення за рахунок освітлення кожним окремим точковим джерелом. Тоді загальна інтенсивність у площині зображення є сумою індивідуальних інтенсивностей.

6.8.3 Просторові модулятори світла та оптична фільтрація Фур'є

• SLM. Поле у вхідній зіниці лінзи може бути змінено просторово за допомогою так званого просторового модулятора світла (SLM). SLM має тисячі пікселів, за допомогою яких можна зробити дуже загальні поля. Застосовуючи три SLM послідовно, можна налаштувати поляризацію, фазу та амплітуду пікселя за пікселем, а отже, можна реалізувати дуже бажані поля зіниць, які після фокусування можуть дати дуже спеціальні сфокусовані поля. Прикладом може служити електричне поле з лише поздовжньою складовою (тобто лише$E_{z}$ -компонентом) у фокусній точці.
• Фільтрація Фур'є. Припустимо, у нас є налаштування, як показано на малюнку$\PageIndex{3}$. За допомогою однієї лінзи ми можемо створити перетворення Фур'є деякого поля$U(x, y)$. Якщо маска ставиться у фокальну площину, а друга лінза використовується для перефокусування світла, виходить зворотне перетворення Фур'є поля після маски. Ця процедура називається фільтрацією Фур'є за допомогою лінз. Фільтрація Фур'є означає, що амплітуда і/або фаза плоских хвиль в кутовому спектрі поля маніпулюються. Застосування цієї ідеї - мікроскоп фазового контрасту.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Налаштування для фільтрації Фур'є. Перша лінза створює перетворення Фур'є$U(x, y)$, до якого ми можемо застосувати певну операцію (наприклад, застосування різних фазових зсувів до різних частин поля). Потім друга лінза застосовує інше перетворення Фур'є (яке є таким же, як зворотне перетворення Фур'є та дзеркальне перетворення).