Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.3: Правило Сімпсона

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    79654

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Наш аналіз правила середньої точки та правила трапеції показав, що обидва методи мають\(O(1/N^2)\) числову похибку. В обох випадках похибка може бути простежена до одного і того ж джерела: той факт, що інтегральна оцінка по кожному сегменту відрізняється від результату ряду Тейлора в другому порядку - термін, пропорційний\(f''(x_n)\). Це пропонує спосіб покращити результат числового інтегрування: ми могли б взяти середньозважене середнє значення правила середньої точки та правила трапеції, таким чином, що числові помилки другого порядку з двох схем скасовують один одного! Це метод числового інтегрування, відомий як правило Сімпсона.

    Якщо бути точним, давайте знову розглянемо пару сусідніх відрізків, які лежать між рівнорозташованими точками дискретизації\(\left\{x_{n-1}, x_n, x_{n+1}\right\}\). Як виведено вище, інтеграл над цими сегментами може бути розширений Тейлором як

    \[\mathcal{I}_n = \; 2 f(x_n) \Delta x \;+\; \frac{f''(x_n)}{3} \Delta x^3 + O(\Delta x^5) \;+\; \cdots \]

    Для порівняння, оцінювачі правила середньої точки та правила трапеції для інтеграла є

    \[\mathcal{I}_n^{\mathrm{mp}} = 2f(x_n) \Delta x\]

    \[\mathcal{I}_n^{\mathrm{trapz}} = 2 f(x_n) \Delta x + \frac{f''(x_n)}{2} \Delta x^3 + O(\Delta x^5).\]

    Отже, ми могли б взяти наступне середньозважене:

    \[\mathcal{I}_n^{\mathrm{simp}} = \frac{1}{3}\mathcal{I}_n^{\mathrm{mp}} + \frac{2}{3}\mathcal{I}_n^{\mathrm{trapz}} = 2 f(x_n) \Delta x + \frac{f''(x_n)}{3} \Delta x^3 + O(\Delta x^5).\]

    Таке середньозважене буде відповідати результату серії Тейлора аж до\(O(\Delta x^4)\)! (Ви можете перевірити самі, чи відрізняються\(O(\Delta x^5)\) умови.) Підводячи підсумок, правило Сімпсона для цього набору з трьох пунктів можна записати як

    \[\begin{align} \mathcal{I}_n^{\mathrm{simp}} &= \frac{1}{3} \Big[2f(x_n) \Delta x\Big] + \frac{2}{3} \, \Delta x \Big[ \frac{f(x_{n-1})}{2} + f(x_n) + \frac{f(x_{n+1})}{2}\Big]\\ &= \frac{\Delta x}{3} \Big[f(x_{n-1}) + 4f(x_n) + f(x_{n+1})\Big]. \end{align}\]

    Загальна числова похибка, над набором\(O(N)\) сегментів, дорівнює\(O(1/N^4)\). Це вдосконалення двох повноважень\(1/N\) над правилами трапцезіуму та середньої точки! Що ще краще, це те, що він включає в себе точно таку ж кількість арифметичних операцій, що і правило трапеції. Це так близько до безкоштовного обіду, як ви можете отримати в обчислювальній науці.

    9.3.1 Реалізація правила Сімпсона на Python

    У Scipy правило Сімпсона реалізовано функцією scipy.integrate.simps, яка визначається у підмодулі scipy.integrate. Подібно до функції trapz, це може бути викликано або simps (y, x) або simps (y, dx=s) для оцінки інтеграла\(\int y \;dx\), використовуючи елементи x як точки дискретизації, при цьому y вказуючи набір значень для integrand.

    Оскільки правило Сімпсона вимагає поділу сегментів на пари, якщо ви вкажете парну кількість точок дискретизації в x (тобто непарну кількість сегментів), функція вирішує це, виконуючи оцінку правила трапеції на першому та останньому сегментах. Зазвичай помилка незначна, тому не турбуйтеся про цю деталь

    Ось приклад симпсів в дії:

    >>> from scipy import *
>>> from scipy.integrate import simps
>>> x = linspace(0,10,25)
>>> y = exp(-x)
>>> t = simps(y,x)
>>> print(t)
1.00011864276

    Для такої ж кількості точок дискретизації дає правило трапеції\(1.01438\); точний результат -\(0.9999546\dots\) Ясно, правило Сімпсона більш точне.