Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.5: Інтеграція Монте-Карло

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    79664

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Остаточна схема числового інтеграції, яку ми обговоримо, - інтеграція Монте-Карло, і вона концептуально повністю відрізняється від попередніх схем. Замість призначення набору точок дискретизації (або явно, як у правилах середньої точки/трапеції/Сімпсона, або за допомогою процедури машинної оптимізації, як у методі адаптивної квадратури), цей метод випадковим чином вибірки точок в області інтеграції. Якщо точки вибірки незалежні і їх досить велика кількість, інтеграл можна оцінити, взявши середньозважене ціле по точках вибірки.

    Якщо бути точним, розглянемо 1D інтеграл над доменом\(x \in [a,b]\). Нехай кожна точка вибірки буде намальована незалежно від розподілу\(p(x)\). Це означає, що ймовірність нанесення зразка\(x_{n}\) в діапазоні\(x_n \in [x, x + dx]\) є\(p(x) dx\). Розподіл нормалізується, так що

    \[\int_a^b p(x) \; dx = 1.\]

    Візьмемо\(N\) зразки і оцінимо цілісність в цих точках: це дає нам набір чисел\(\{f(x_n)\}\). Потім обчислюємо кількість

    \[\mathcal{I}^{\mathrm{mc}} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \frac{f(x_n)}{p(x_n)}.\]

    На відміну від оцінювачів, які ми раніше вивчали,\(\mathcal{I}^{\mathrm{mc}}\) є випадковим числом (тому що\(\{x_n\}\) базові величини всі випадкові). Що найважливіше, його середнє значення дорівнює потрібному інтегралу:

    \[\begin{align} \left\langle\mathcal{I}^{\mathrm{mc}}\right\rangle &= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \left\langle \frac{f(x_n)}{p(x_n)}\right\rangle \\ & = \left\langle \frac{f(x_n)}{p(x_n)}\right\rangle \qquad\mathrm{for}\;\mathrm{each}\; n \\ & = \int_a^b p(x) \, \left[\frac{f(x)}{p(x)}\right]\, dx \\ & = \int_a^b f(x)\, dx \end{align}\]

    Для низьковимірних інтегралів зазвичай немає підстав використовувати метод інтеграції Монте-Карло. Це вимагає набагато більшої кількості зразків, щоб досягти рівня числової точності, порівнянної з іншими методами числового інтегрування. (Для 1D інтегралів інтеграція Монте-Карло зазвичай вимагає мільйонів зразків, тоді як правило Сімпсона вимагає лише сотні або тисячі точок дискретизації.) Однак інтеграція Монте-Карло перевершує схеми інтеграції на основі дискретизації, коли розмірність інтеграції стає надзвичайно великою. Такі інтеграли зустрічаються, наприклад, при квантово-механічних розрахунках за участю систем багатьох тіл, де розмірність гільбертового простору масштабується експоненціально з кількістю частинок.