Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.1: Правило середньої точки

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    79660

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Найпростіший метод числового інтегрування називається правилом середньої точки. Розглянемо певний 1D інтеграл

    \[\mathcal{I} = \int_a^b f(x) \, dx.\]

    Розділимо діапазон\(a \le x \le b\) на набір\(N\) відрізків однакової ширини, як показано на рис. \(\PageIndex{1}\)для випадку з\(N=5\). Середині цих відрізків є сукупністю\(N\) дискретних точок\(\{x_0, \dots x_{N-1}\}\), де

    \[x_n = a + \left(n + \frac{1}{2}\right)\,\Delta x ,\quad \Delta x \equiv \frac{b-a}{N}.\]

    Потім ми оцінюємо інтеграл як

    \[\mathcal{I}^{\mathrm{(mp)}} = \Delta x \; \sum_{n=0}^{N-1} f(x_n) \;\;\;\overset{N\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \;\;\; \mathcal{I}.\]

    clipboard_efc25ecda7ec34a84cb0c9c040453a807.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Обчислення певного інтеграла за допомогою правила середньої точки.

    Принцип, що лежить в основі цієї формули, дуже простий для розуміння. Як показано на рис. \(\PageIndex{1}\),\(I_{N}\) являє собою область, укладену послідовністю прямокутників, де висота кожного прямокутника дорівнює значенню\(f(x)\) в його середній точці. Оскільки\(N \rightarrow \infty\) відстань між прямокутниками йде до нуля; отже, загальна площа, укладена прямокутниками, стає рівною площі під кривою\(f(x)\).

    9.1.1 Чисельна помилка для правила середньої точки

    Оцінимо числову похибку, що виникає в результаті цього наближення. Для цього розглянемо один з окремих відрізків, який відцентрований по центру\(x_n\) з довжиною\(\Delta x = (b-a)/N\). Визначимо інтеграл над цим відрізком як

    \[\Delta \mathcal{I}_n \equiv \int_{x_n - \Delta x/2}^{x_n + \Delta x/2} f(x) dx.\]

    Тепер розглянемо розширення Тейлора\(f(x)\) в околицях\(x_{n}\):

    \[f(x) = f(x_n) + f'(x_n) (x-x_n) + \frac{f''(x_n)}{2} (x-x_n)^2 + \frac{f'''(x_n)}{6} (x-x_n)^3 + \cdots \]

    Якщо ми інтегруємо обидві сторони цього рівняння над відрізком, результат

    \[\begin{align}\Delta\mathcal{I}_n \; = \; f(x_n) \Delta x \;\,&+\; f'(x_n) \int_{x_n - \Delta x/2}^{x_n + \Delta x/2} (x-x_n) dx\\ &+\; \frac{f''(x_n)}{2} \int_{x_n - \Delta x/2}^{x_n + \Delta x/2} (x-x_n)^2 dx\\ &+\; \cdots\end{align}\]

    З правого боку, кожен інший термін включає в себе integrand, який є непарним навколо\(x_{n}\). Такі терміни інтегруються в нуль. З інших членів знаходимо наступний ряд для інтеграла\(f(x)\) над відрізком:

    \[\Delta\mathcal{I}_n \; = \; f(x_n) \Delta x \;+\; \frac{f''(x_n) \Delta x^3}{24} + O(\Delta x^5).\]

    Для порівняння, оцінка, надана правилом середньої точки, просто

    \[\Delta \mathcal{I}^{\mathrm{mp}}_n = f(x_n) \Delta x\]

    Це просто перший термін в точному ряду. Решта терміни складають числову помилку в інтеграції правил середньої точки над цим сегментом. Позначимо цю помилку як

    \[\mathcal{E}_n = \left|\Delta \mathcal{I}_n - \Delta \mathcal{I}_n^{\mathrm{mp}}\right| \;\sim\; \frac{|f''(x_n)|}{24} \Delta x^3 \;\sim\; O\left(\frac{1}{N^3}\right).\]

    Останній крок відбувається тому, що, за нашим визначенням,\(\Delta x \sim O(1/N)\).

    Тепер розглянемо інтеграл по всьому діапазону інтеграції, який складається з\(N\) таких сегментів. Загалом, немає гарантії, що числові помилки кожного сегмента скасуються, тому загальна помилка повинна бути в\(N\) рази більше помилки з кожного сегмента. Отже, для правила середньої точки,

    \[\mathcal{E}_{\mathrm{total}} \sim O\left(\frac{1}{N^2}\right).\]