7.1: Похідні

Припустимо, ми дискретизували функцію однієї змінної, отримавши набір,$\psi_n \equiv \psi(x_n)$ як описано вище. Для простоти припустимо, що точки дискретизації розташовані рівномірно і розташовані в порядку зростання (це найпростіша і поширена схема дискретизації). Відстань між точками визначається як

$$h \equiv x_{n+1} - x_n.$$

Обговоримо, яким чином похідні першого і вищого порядку$\psi(x)$ можуть бути представлені при дискретизації.

7.1.1 Перша похідна

Найбільш простим поданням першої похідної є формула різниці вперед:

$$\psi'(x_n) \approx \frac{\psi_{n+1} - \psi_n}{h}$$

Це надихається звичайним визначенням похідної функції, і наближається до істинної похідної як$h \rightarrow 0$. Однак це не дуже гарне наближення. Щоб зрозуміти чому, розберемо похибку в формулі, яка визначається як абсолютне значення різниці між формулою і точним значенням похідної:

$$\mathcal{E} = \left|\psi'(x_n) - \frac{\psi_{n+1} - \psi_n}{h}\right|$$

Ми можемо розширити$\psi_{n+1}$ в серії Тейлора навколо$x_{n}$:

$$\psi_{n+1} = \psi_n + h\, \psi'(x_n) + \frac{h^2}{2}\psi''(x_n) + \frac{h^3}{6}\psi'''(x_n) + O(h^4)$$

Підключивши це до формули помилки, ми виявимо, що помилка зменшується лінійно з інтервалом:

$$\mathcal{E} = \left| \frac{h}{2}\psi''(x_n) + O(h^2)\right| \sim O(h).$$

Є краща альтернатива, звана формулою середньої точки. Це наближає першу похідну шляхом вибірки точок ліворуч і праворуч від потрібної позиції:

$$\psi'(x_n) \approx \frac{\psi_{n+1} - \psi_{n-1}}{2h}.$$

Щоб зрозуміти, чому це краще, запишемо серію Тейлора для$\psi_{n\pm1}$:

$$\psi_{n+1} = \psi_n \,+\, h\, \psi'(x_n) \,+\, \frac{h^2}{2}\psi''(x_n) \,+\, \frac{h^3}{6}\psi'''(x_n) \,+\, \frac{h^4}{24}\psi''''(x_n) + O(h^5)$$

$$\psi_{n-1} = \psi_n \,-\, h\, \psi'(x_n) \,+\, \frac{h^2}{2}\psi''(x_n) \,-\, \frac{h^3}{6}\psi'''(x_n) \,+\, \frac{h^4}{24}\psi''''(x_n) \,+\, O(h^5)$$

Зверніть увагу, що два ряди мають однакові терміни, що включають парні повноваження$h$, тоді як терміни, що включають непарні повноваження$h$ мають протилежні ознаки. Отже, якщо відняти другий ряд з першого, то результат буде

$$\psi_{n+1} - \psi_{n-1} = 2 h\, \psi'(x_n) + 2 \frac{h^3}{6}\psi'''(x_n) + O(h^5)$$

Оскільки$O(h^{2})$ умови рівні в двох рядах, вони скасовуються під відніманням, і виживають лише$O(h^{3})$ і вищі терміни. Після перестановки вищевказаного рівняння отримуємо

$$\psi'(x_n) = \frac{\psi_{n+1} - \psi_{n-1}}{2 h} + O(h^2).$$

Отже, похибка формули середньої точки масштабується як$O(h^2)$, що є хорошим поліпшенням порівняно з$O(h)$ похибкою формули різниці вперед. Що особливо приємно, так це те, що формула середньої точки вимагає такої ж кількості арифметичних операцій для обчислення, як формула різниці вперед, так що це безкоштовний обід!

Можна придумати кращі формули наближення для першої похідної, включивши терміни за участю$\psi_{n\pm 2}$ тощо, з метою скасування$O(h^{3})$ або вищих термінів у серії Тейлора. Однак для більшості практичних цілей достатньо правила середньої точки.

7.1.2 Друга похідна

Дискретизацію другої похідної теж легко розібратися. Ми знову записуємо серіал Тейлора для$\psi_{n\pm1}$:

$$\psi_{n+1} = \psi_n \,+\, h\, \psi'(x_n) \,+\, \frac{h^2}{2}\psi''(x_n) \,+\, \frac{h^3}{6}\psi'''(x_n) \,+\, \frac{h^4}{24}\psi''''(x_n) \,+\, O(h^5)$$

$$\psi_{n-1} = \psi_n \,-\, h\, \psi'(x_n) \,+\, \frac{h^2}{2}\psi''(x_n) \,-\, \frac{h^3}{6}\psi'''(x_n) \,+\, \frac{h^4}{24}\psi''''(x_n) \,+\, O(h^5)$$

Коли ми додаємо два ряди разом, терміни, що включають непарні повноваження$h$ скасування, і результат

$$\psi_{n+1} + \psi_{n-1} = 2\psi_n + h^2 \psi''(x_n) + \frac{h^4}{12}\psi''''(x_n) + O(h^5).$$

Незначна перестановка рівняння потім дає

$$\psi''(x_n) \approx \frac{\psi_{n+1} - 2\psi_n + \psi_{n-1}}{h^2} + O(h^2).$$

Це називається триточковим правилом для другої похідної, оскільки воно передбачає значення функції в трьох точках$x_{n+1}$$x_{n}$, і$x_{n-1}$.