7: Кінцево-різницеві рівняння

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 6.2: Чисельні власні розв'язувачі
- 7.1: Похідні

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Однією з найпоширеніших завдань в наукових обчисленнях є пошук розв'язків диференціальних рівнянь, оскільки більшість фізичних теорій формулюються за допомогою диференціальних рівнянь. У класичній механіці, наприклад, механічна система описується диференціальним рівнянням другого порядку в часі (другий закон Ньютона); а в класичному електромагнетизмі електромагнітні поля описуються рівняннями з частинними похідними першого порядку в просторі і часі (рівняння Максвелла).

Для опису неперервних функцій (і діючих на них диференціальних рівнянь) обчислювальні схеми зазвичай приймають стратегію дискретизації. Розглянемо загальну математичну функцію однієї дійсної змінної $\psi(x)$ , де знаходиться область вхідних даних $\mathbb{R}$ , або якийсь скінченний інтервал. В принципі, щоб повністю вказати функцію, нам доводиться перераховувати її значення для всіх можливих входів $x$ ; але оскільки $x$ може змінюватися безперервно, безліч незліченно нескінченно, тому таке перерахування неможливо на цифровому комп'ютері з кінцевою дискретною пам'яттю. Що ми можемо зробити, замість цього, це перерахувати значення функції в скінченному і дискретному множині точок,

$\{x_n \;|\; n = 0, 1, 2, \dots, N-1\}.$

Визначаємо значення в цих точках як

$\psi_n \equiv \psi(x_n).$

Якщо $x_{n}$ обраний належним чином, набір значень $\{\psi_n\}$ повинен описати $\psi(x)$ досить точно. Однією з причин цього є те, що фізичні теорії зазвичай включають диференціальні рівняння низького порядку (наприклад, першого, другого або третього порядку, а не, скажімо, порядку $1,000,000$ ). Отже, якщо точки дискретизації досить тонко розташовані, значення функції та всіх її похідних вищого порядку буде відрізнятися лише незначно між точками дискретизації.

Як ми побачимо, дискретизація перетворює диференціальні рівняння в дискретні системи рівнянь, звані скінченно-різницевими рівняннями. Потім їх можна вирішити за допомогою стандартних методів числової лінійної алгебри.