7: Кінцево-різницеві рівняння

Last updated
Save as PDF

Page ID: 79609

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Однією з найпоширеніших завдань в наукових обчисленнях є пошук розв'язків диференціальних рівнянь, оскільки більшість фізичних теорій формулюються за допомогою диференціальних рівнянь. У класичній механіці, наприклад, механічна система описується диференціальним рівнянням другого порядку в часі (другий закон Ньютона); а в класичному електромагнетизмі електромагнітні поля описуються рівняннями з частинними похідними першого порядку в просторі і часі (рівняння Максвелла).

Для опису неперервних функцій (і діючих на них диференціальних рівнянь) обчислювальні схеми зазвичай приймають стратегію дискретизації. Розглянемо загальну математичну функцію однієї дійсної змінної\(\psi(x)\), де знаходиться область вхідних даних\(\mathbb{R}\), або якийсь скінченний інтервал. В принципі, щоб повністю вказати функцію, нам доводиться перераховувати її значення для всіх можливих входів\(x\); але оскільки\(x\) може змінюватися безперервно, безліч незліченно нескінченно, тому таке перерахування неможливо на цифровому комп'ютері з кінцевою дискретною пам'яттю. Що ми можемо зробити, замість цього, це перерахувати значення функції в скінченному і дискретному множині точок,

\[\{x_n \;|\; n = 0, 1, 2, \dots, N-1\}.\]

Визначаємо значення в цих точках як

\[\psi_n \equiv \psi(x_n).\]

Якщо\(x_{n}\) обраний належним чином, набір значень\(\{\psi_n\}\) повинен описати\(\psi(x)\) досить точно. Однією з причин цього є те, що фізичні теорії зазвичай включають диференціальні рівняння низького порядку (наприклад, першого, другого або третього порядку, а не, скажімо, порядку\(1,000,000\)). Отже, якщо точки дискретизації досить тонко розташовані, значення функції та всіх її похідних вищого порядку буде відрізнятися лише незначно між точками дискретизації.

Як ми побачимо, дискретизація перетворює диференціальні рівняння в дискретні системи рівнянь, звані скінченно-різницевими рівняннями. Потім їх можна вирішити за допомогою стандартних методів числової лінійної алгебри.