8: Розріджені матриці
- Page ID
- 79558
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Розріджена матриця - це матриця, в якій більшість записів дорівнює нулю. Такі матриці дуже часто зустрічаються в скінченно-різницевих рівняннях. Наприклад, коли ми дискретизували 1D хвильове рівняння Шредінгера з граничними умовами Діріхле, ми побачили, що гамільтонова матриця має тридіагональну форму
\[\mathbf{H} = -\frac{1}{2h^2} \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 & \ddots \\ & \ddots & \ddots & 1 \\ & & 1 & -2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}V_0 \\ & V_1 \\& & \ddots \\ & & & V_{N-1}\end{bmatrix}.\]
Отже, якщо є точки\(N\) діагоналізації, гамільтонова матриця має загальну кількість\(N^{2}\) записів, але тільки\(O(N)\) з цих записів ненульові.