7.2: Дискретизація рівнянь з частинними
- Page ID
- 79612
З дискретизованими похідними диференціальні рівняння можуть бути сформульовані як дискретні системи рівнянь. Ми обговоримо це на конкретному прикладі: дискретизація незалежного від часу хвильового рівняння Шредінгера в 1D.
7.2.1 Виведення скінченно-різницевого рівняння
Незалежне від часу 1D хвильове рівняння Шредінгера є звичайним диференціальним рівнянням другого порядку
\[-\frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x) \psi(x) = E \psi(x),\]
де\(\hbar\) константа Планка, розділена на\(2\pi\),\(m\) - маса частинки,\(V(x)\) є потенціалом,\(\psi(x)\) є квантовою хвильовою функцією енергетичного власне стану частинки, і\(E\) є відповідною енергією. Диференціальне рівняння зазвичай трактується як власназадача, в тому сенсі, що нам дано\(V(x)\) і прагнемо знайти можливі значення власної функції\(\psi(x)\) і енергії власної величини\(E\). Для зручності візьмемо одиниці, де\(\hbar=m = 1\):
\[-\frac{1}{2}\, \frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x) \psi(x) = E \psi(x).\]
Щоб дискретизувати це диференціальне рівняння, ми просто оцінюємо його за адресою\(x = x_n\):
\[-\frac{1}{2}\, \psi''(x_n) + V_n \psi_n = E \psi_n,\]
де для лаконічності позначаємо
\[V_n \equiv V(x_n).\]
Потім ми замінюємо другу похідну\(\psi''(x_n)\) дискретним наближенням, зокрема правилом трьох точок:
\[-\frac{1}{2h^2}\, \Big[\psi_{n+1} - 2\psi_n + \psi_{n-1} \Big] + V_n \psi_n = E \psi_n.\]
Цей результат називається рівнянням скінченної різниці, і він буде дійсним для всіх,\(n\) якщо кількість точок дискретизації нескінченна. Однак якщо існує скінченна кількість точок дискретизації\(\{x_0, x_1, \dots, x_{N-1}\}\), то скінченно-різницева формула виходить з ладу в граничних точках\(n=N-1\),\(n=0\) причому, де вона передбачає значення функції в «неіснуючих» точках\(x_{-1}\) і\(x_{N}\). Ми побачимо, як впоратися з цією проблемою в наступному розділі.
Границі осторонь, скінченно-різницеве рівняння описує матричне рівняння:
\[\left\{-\frac{1}{2h^2}\begin{bmatrix} \ddots & \ddots \\ \ddots & -2 & 1\\ & 1 & -2 & 1\\ & & 1 & -2 & \ddots \\ & & & \ddots & \ddots & \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} & \ddots & \\ & & V_{n-1} & \\ & & & V_n & \\ & & & & V_{n+1} & \\ & & & & & \ddots \end{bmatrix} \right\}\begin{bmatrix}\vdots \\ \psi_{n-1} \\ \psi_n \\ \psi_{n+1} \\ \vdots\end{bmatrix} = E \begin{bmatrix}\vdots \\ \psi_{n-1} \\ \psi_n \\ \psi_{n+1} \\ \vdots\end{bmatrix}.\]
Друга похідна оператор представлений тридіагональної матрицею з\(-2\) в кожному діагональному елементі, а\(1\) в елементах безпосередньо над і нижче діагоналі. Оператор потенціалу представлений діагональною матрицею, де елементами по діагоналі є значеннями потенціалу в кожній точці дискретизації. Таким чином хвильове рівняння Шредінгера зводиться до дискретної задачі на власні значення.
7.2.2 Граничні умови
Нам тепер належить розібратися, як обробляти кордони. Припустимо\(\psi(x)\), визначено через скінченний інтервал,\(a \le x \le b\). Як ми пам'ятаємо з теорії диференціальних рівнянь, рішення диференціального рівняння не повністю визначається самим диференціальним рівнянням, а й граничними умовами, які накладаються. Таким чином, ми повинні вказати, як\(\psi(x)\) поводиться в кінцевих точках інтервалу. Ми покажемо, як це робиться для кількох найпоширеніших граничних умов; інші варіанти граничних умов можуть бути оброблені за допомогою такого ж роду міркувань.
Крайові умови Діріхле
За граничних умов Діріхле хвильова функція зникає на границях:
\[\psi(a) = \psi(b) = 0.\]
Фізично ці граничні умови застосовуються, якщо ми дозволимо потенційному вибуху в зовнішніх областях,\(x>b\) і\(x<a\), таким чином, змушуючи хвильову функцію бути строго обмежена інтервалом\(a \le x \le b\).
Ми ще не констатували, як\(\{x_0, \dots, x_{N-1}\}\) розподіляються точки дискретизації в межах інтервалу, приймемо це рішення в тандемі з реалізацією граничних умов. Розглянемо перший пункт дискретизації\(x_{0}\), де б він не знаходився. Кінцево-різницеве рівняння в цій точці
\[-\frac{1}{2h^2}\, \Big[\psi_{-1} - 2\psi_0 + \psi_{1} \Big] + V_0 \psi_0 = E \psi_0.\]
Це включає хвильову функцію at\(x_{-1}\), яка лежить безпосередньо поза нашим набором точок дискретизації. Але якщо ми виберемо точки дискретизації так\(x_{-1}=a\), що, то за граничних\(\psi_{-1}=0\) умов Діріхле, так що вищевказана формула скінченної різниці зводиться до
\[-\frac{1}{2h^2}\, \Big[- 2\psi_0 + \psi_{1} \Big] + V_0 \psi_0 = E \psi_0.\]
Що стосується іншої межі, то скінченно-різницеве рівняння при\(x_{N-1}\) залучає\(\psi_{N}\). Якщо ми виберемо точки дискретизації так\(x_{N}=b\), то формула скінченно-різницевої стає
\[-\frac{1}{2h^2}\, \Big[ \psi_{N-2} - 2\psi_{N-1} \Big] + V_{N-1} \psi_{N-1} = E \psi_{N-1}.\]
З цього робимо висновок, що точки дискретизації повинні бути однаково розташовані, з\(x_{0}\)\(h\) відстанню праворуч від лівої межі\(a\) і\(x_{N-1}\) відстані\(h\) ліворуч від правої межі\(b\). Це показано на наступному малюнку:
Так як є точки\(N\) дискретизації, інтервал повинен містити\((N+1)\) кратні\(h\). Отже,
\[h = \frac{b - a}{N + 1} \;\; \Rightarrow \;\; x_n \,=\, a + h (n+1) \,=\, \frac{a(N-n)+b(n+1)}{N+1}.\]
Зробивши вищевказані варіанти, матричне рівняння стає
\[\left\{-\frac{1}{2h^2}\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 & \ddots \\ & \ddots & \ddots & 1 \\ & & 1 & -2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} V_0 \\ & V_1 \\ & & \ddots\\ & & & V_{N-1} \end{bmatrix} \right\}\begin{bmatrix}\psi_0 \\ \psi_1 \\ \vdots \\ \psi_{N-1}\end{bmatrix} = E \begin{bmatrix}\psi_0 \\ \psi_1 \\ \vdots \\ \psi_{N-1}\end{bmatrix}.\]
Ви можете самі перевірити, що перший і останній рядки цього рівняння є правильними скінченно-різницевими рівняннями в граничних точках, що відповідають граничним умовам Діріхле.
Граничні умови Неймана
Крайові умови Неймана - ще один поширений вибір крайових умов. Вони стверджують, що перші похідні зникають на кордоні:
\[\psi'(a) = \psi'(b) = 0.\]
Приклад такої граничної умови зустрічається в електростатиці, де перша похідна електричного потенціалу йде в нуль у поверхні зарядженої металевої поверхні.
Дотримуємося тієї ж стратегії, що і раніше, з'ясовуючи точки дискретизації в тандемі з граничними умовами. Розглянемо ще раз скінченно-різницеве рівняння в першій точці дискретизації:
\[-\frac{1}{2h^2}\, \Big[\psi_{-1} - 2\psi_0 + \psi_{1} \Big] + V_0 \psi_0 = E \psi_0.\]
Щоб реалізувати умову, що перша похідна зникає на межі, ми викликаємо правило середньої точки. Припустимо, крайова точка\(x=a\) потрапляє між точками\(x_{-1}\) і\(x_{0}\). Тоді, згідно з правилом середини,
\[\frac{\psi_0 - \psi_{-1}}{h} \approx \psi'(a) = 0.\]
Таким чином, за допомогою цього вибору ми можемо зробити заміну\(\psi_{-1} = \psi_0\) в скінченно-різницевому рівнянні, яке потім стає
\[-\frac{1}{2h^2}\, \Big[- \psi_0 + \psi_{1} \Big] + V_0 \psi_0 = E \psi_0.\]
Аналогічно, щоб застосувати граничну умову Неймана в\(x=b\), ми дозволяємо кордону падати між\(x_{N-1}\) і\(x_{N}\), так що скінченно-різницеве рівняння стає
\[-\frac{1}{2h^2}\, \Big[ \psi_{N-2} - \psi_{N-1} \Big] + V_{N-1} \psi_{N-1} = E \psi_{N-1}.\]
Отриманий розподіл точок дискретизації показано на наступному малюнку:
На відміну від випадку Діріхле, інтервал містить\(N\) кратні\(h\). Значить, отримуємо іншу формулу позицій точок дискретизації.
\[h = \frac{b - a}{N} \;\; \Rightarrow \;\; x_n \,=\, a + h \left(n+\frac{1}{2}\right) \,=\, \frac{a(N-n-\tfrac{1}{2})+b(n+\tfrac{1}{2})}{N}.\]
Матричне рівняння таке:
\[\left\{-\frac{1}{2h^2}\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 & \ddots \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ && \ddots & -2 & 1 \\ & & & 1 & -1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} V_0 \\ & V_1 \\ & & \ddots\\ & & & V_{N-1} \end{bmatrix} \right\}\begin{bmatrix}\psi_0 \\ \psi_1 \\ \vdots \\ \psi_{N-1}\end{bmatrix} = E \begin{bmatrix}\psi_0 \\ \psi_1 \\ \vdots \\ \psi_{N-1}\end{bmatrix}. \]
Завдяки граничним умовам Неймана та правилу середньої точки\(-2\) тридіагональна матриця має\(-1\) замість своїх кутових записів. Знову ж таки, ви можете переконатися, що перший і останній рядки цього матричного рівняння відповідають правильним скінченно-різницевим рівнянням для граничних точок.