10.2: Адіабатична інваріантність

Ще одним застосуванням гамільтонового формалізму в класичній механіці є розв'язання наступної задачі. \({ }^{9}\)Раніше ми вже вивчали деякі ефекти зміни параметрів одного осцилятора (п. 5.5) та зв'язаних осциляторів (п. 6.5). Однак ці обговорення були зосереджені на тому випадку, коли швидкість зміни параметра порівнянна з власною частотою коливань (або частотами) системи. Інший практично важливий випадок, коли якийсь параметр системи (назвемо його\(\lambda\)) змінюється набагато повільніше (адіабатично\(^{10}\)),\[\left|\frac{\dot{\lambda}}{\lambda}\right|<<\frac{1}{T},\] де\(\tau\) є типовий період коливань в системі. Розглянемо одномерну систему, гамільтоніан якої\(H(q, p, \lambda)\) залежить від часу лише через таку повільну еволюцію такого параметра\(\lambda=\lambda(t)\), і чия початкова енергія обмежує рух системи до кінцевого інтервалу координат - див., наприклад, рис. 3.2c.

Потім, як відомо з п. 3.3, якщо параметр постійний, система\(\lambda\) здійснює періодичне (хоча і не обов'язково синусоїдальне) рух назад і вперед по\(q\) осі -назад, або, на іншій мові, по замкнутій траєкторії на фазовій площині\([q, p]\) - див.\(1 .{ }^{11}\) Рис. 8), в даному випадку\(H\) постійна по траєкторії. (Щоб відрізнити це конкретне значення від гамільтонової функції як такої, я буду називати її\(E\), маючи на увазі, що ця константа збігається з повною механічною енергією,\(E-\) як це робиться для гамільтоніана (10), хоча це припущення не є необхідним для розрахунку, зробленого нижче.)

Період коливань\(T\) може бути обчислений як контурний інтеграл уздовж цієї замкнутої траєкторії:\[\tau \equiv \int_{0}^{\tau} d t=\oint \frac{d t}{d q} d q \equiv \oint \frac{1}{\dot{q}} d q .\] Використовуючи перше з рівнянь Гамільтона (7), ми можемо представити цей інтеграл як\[\tau=\oint \frac{1}{\partial H / \partial p} d q .\] У кожній заданій точці\(q, H=E\) є функція\(p\) поодинці, так що ми може перевернути часткову похідну в знаменнику так само, як повну похідну, і переписати Eq. (30) як\[\tau=\oint \frac{\partial p}{\partial E} d q \text {. }\] Для конкретного гамільтоніана (10) це відношення негайно зводиться до Eq. (3.27), тепер у вигляді контурного інтеграла:\[\tau=\left(\frac{m_{\mathrm{ef}}}{2}\right)^{1 / 2} \oint \frac{1}{\left[E-U_{\mathrm{ef}}(q)\right]^{1 / 2}} d q\]

Мал. 10.1. Фазово-площинне зображення періодичних коливань 1D гамільтонової системи для двох значень енергії (схематично).

Наївно може виглядати, що ці формули також можуть бути використані для пошуку зміни періоду руху, коли\(\lambda\) параметр змінюється адіабатично, наприклад, шляхом підключення заданих функцій\(m_{\mathrm{ef}}(\lambda)\) і\(U_{\mathrm{ef}}(q, \lambda)\) до Eq. (32). Однак немає ніякої гарантії, що енергія\(E\) в цьому інтегралі буде залишатися постійною, як параметр змінюється, і дійсно ми побачимо нижче, що це не обов'язково так. Ще цікавіше, що в найважливішому випадку гармонічного осцилятора\(\left(U_{\mathrm{ef}}=\kappa_{\mathrm{ef}} q^{2} / 2\right)\), період коливань якого\(\tau\) не залежить від\(E\) (див. Ур. (3.29) та його обговорення), його зміна адіабатичної межі (28) може бути легко передбачена:\(\tau(\lambda)=2 \pi / \omega_{0}(\lambda)=2 \pi\left[m_{\mathrm{ef}}(\lambda) / \kappa_{\mathrm{ef}}(\lambda)\right]^{1 / 2}\), але залежність від Енергія коливань\(E\) (а значить, і амплітуда коливань)\(\lambda\) не відразу очевидна.

Для того, щоб вирішити цю проблему, давайте використаємо Eq. (8\(E=H\)) (з) для представлення швидкості зміни енергії з\(\lambda(t)\), тобто в часі,\[\frac{d E}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial \lambda} \frac{d \lambda}{d t} .\] оскільки ми зацікавлені в дуже повільному (адіабатичному) еволюції енергії, ми можемо усереднити Eq. (33) над швидкими коливаннями в системі, наприклад, протягом одного періоду коливань\(T\), розглядаючи\(d \lambda / d t\) як константу під час цього усереднення. (Це найбільш критичний момент цієї аргументації, тому що при будь-якій не зникаючій швидкості зміни параметрів коливання є, строго кажучи, неперіодичними. \({ }^{12}\)) Усереднення дає\[\overline{\frac{d E}{d t}}=\frac{d \lambda}{d t} \frac{\overline{\partial H}}{\partial \lambda} \equiv \frac{d \lambda}{d t} \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} \frac{\partial H}{\partial \lambda} d t .\] Трансформація цього часу інтеграла до контуру, так само, як ми робили при переході від Eq. (29) до Eq. (30), а потім за допомогою Eq. (31) для\(\tau\), ми отримуємо\[\frac{\overline{d E}}{d t}=\frac{d \lambda}{d t} \frac{\oint \frac{\partial H / \partial \lambda}{\partial H / \partial p} d q}{\oint \frac{\partial p}{\partial E} d q}\] У кожній точці\(q\) контуру,\(H\) є a функція не тільки\(\lambda\), але і від\(p\), яка може бути також\(\lambda\) залежною, так що якщо\(E\) фіксується, то часткова диференціація відношення\(E=H\) по\(\lambda\)\[\frac{\partial H}{\partial \lambda}+\frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial p}{\partial \lambda}=0, \text { i.e. } \frac{\partial H / \partial \lambda}{\partial H / \partial p}=-\frac{\partial p}{\partial \lambda} .\] видає Підключивши останнє відношення до Eq. (35), отримаємо \[\frac{\overline{d E}}{d t}=-\frac{d \lambda}{d t} \frac{\oint \frac{\partial p}{\partial \lambda} d q}{\oint \frac{\partial p}{\partial E} d q}\]Оскільки ліва сторона Eq. (37) і похідна\(d \lambda / d t\) не залежать від\(q\), ми можемо перемістити їх в інтеграли\(q\) як константи, і переписати Eq. (37) як\[\oint\left(\frac{\partial p}{\partial E} \frac{\overline{d E}}{d t}+\frac{\partial p}{\partial \lambda} \frac{d \lambda}{d t}\right) d q=0 .\] Тепер давайте розглянемо наступний інтеграл над тим же контуром фазової площини, \[J \equiv \frac{1}{2 \pi} \oint p d q,\]називається змінною дії. Просто щоб зрозуміти його фізичний сенс, розрахуємо\(J\) для гармонійного осцилятора (14). Як ми добре знаємо з глави 5, для такого генератора,\(q=A \cos \Psi, p=-\)\(m_{\text {ef }} \omega_{0} A \sin \Psi\) (з\(\Psi=\omega_{0} t+\) const), так що\(J\) може бути легко виражений або через амплітуду коливань\(A\), або через їх енергію\(E=H=m_{\mathrm{ef}} \omega_{0}^{2} A^{2} / 2\):\[J=\frac{1}{2 \pi} \oint p d q=\frac{1}{2 \pi} \int_{\Psi=0}^{\Psi=2 \pi}\left(-m_{\mathrm{ef}} \omega_{0} A \sin \Psi\right) d(A \cos \Psi)=\frac{m_{\mathrm{ef}} \omega_{0}}{2} A^{2}=\frac{E}{\omega_{0}} .\]  Повернення до загальної системи з адіабатично змінений параметр\(\lambda\), скористаємося визначенням\(J\), Eq. (39), для обчислення його похідної за часом, знову ж таки враховуючи, що в кожній точці\(q\) траєкторії\(p\) є функція\(E\) і\(\lambda\):\[\frac{d J}{d t}=\frac{1}{2 \pi} \oint \frac{d p}{d t} d q=\frac{1}{2 \pi} \oint\left(\frac{\partial p}{\partial E} \frac{d E}{d t}+\frac{\partial p}{\partial \lambda} \frac{d \lambda}{d t}\right) d q .\] В межах точність нашого наближення, в якому контурні інтеграли (38) і (41) обчислюються по замкнутій траєкторії, коефіцієнт\(d E / d t\) не відрізняється від його середнього часу, і ці інтеграли збігаються так, що результат (38) застосовний і до Eq. (41). Отже, ми нарешті дійшли до дуже важливого результату: при повільному зміні параметрів\(d J / d t=0\), тобто змінна дії залишається постійною:\[J=\text { const }\] Це знаменита адіабатична інваріантність. \({ }^{13}\)Зокрема, згідно з Eq. (40), в гармонічному осциляторі енергія коливань змінюється пропорційно власній (повільно зміненій) частоті.Перш ніж рухатися далі, дозвольте коротко відзначити, що адіабатична інваріантність не є єдиним застосуванням змінної дії\(J\). Оскільки початковий вибір узагальнених координат і швидкостей (а отже, і узагальнених моментів) в аналітичній механіці є довільним (див. Розділ 2.1), майже очевидно, що\(J\) може бути прийнятий за новий узагальнений імпульс, відповідний певній новій узагальненій координаті\(\Theta,{ }^{14}\) і що пара\(\{J, \Theta\}\) повинна задовольняти рівняння Гамільтона (7), зокрема,\[\frac{d \Theta}{d t}=\frac{\partial H}{\partial J} .\] після зобов'язання Розділу 1 (зроблено там для «старих» аргументів\(q_{j}, p_{j}\)), перед диференціацією на правій стороні Eq. (43),\(H\) повинна бути виражена як функція (крім того \(t\)) «нових» аргументів\(J\) і\(\Theta\). Для незалежних від часу гамільтонових систем однозначно\(H\) визначається\(J-\) див. наприклад, Eq. (40). Отже, у цьому випадку права сторона еквалайзера (43) не залежить ні від того\(\Theta\), ні від одного\(t\) або, так що відповідно до цього рівняння\(\Theta\) (називається змінною кута) є лінійною функцією часу:\[\Theta=\frac{\partial H}{\partial J} t+\text { const } .\] Для гармонічного генератора, відповідно до Eq. (40), похідна \(\partial H / \partial J=\partial E / \partial J\)це просто\(\omega_{0} \equiv 2 \pi / T\), так що\(\Theta=\omega_{0} t+\) const, тобто це просто повна фаза,\(\Psi\) яка була неодноразово використана в цьому курсі,\(-\) особливо в розділі 5. Може бути показано, що більш загальна форма цього відношення дійсна для довільної системи,\[\frac{\partial H}{\partial J}=\frac{2 \pi}{\tau},\] описаної Eq. (10). Таким чином, Eq. (44) стає\[\Theta=2 \pi \frac{t}{\tau}+\text { const } \text {. }\] Це означає, що для довільного (нелінійного) 1D генератора змінна кута\(\Theta\) є зручним узагальненням повної фази\(\Psi\). З цієї причини змінні\(J\) і\(\Theta\) представляють собою зручний інструмент для обговорення певних тонких точок динаміки сильно нелінійних осциляторів - для обговорення яких я, на жаль, не маю часу/простору. \({ }^{15}\)

---

\({ }_{9}\)Різні аспекти цієї проблеми та її квантово-механічні розширення вперше обговорювали Л.Ле Корну (1895), Лорд Релі (1902), Х.Лоренц (1911), П.Еренфест (1916) та М. Борн і В.Фок (1928).

\({ }_{10}\)Цей термін також використовується в термодинаміці і статистичній механіці, де він має на увазі не тільки повільне зміна параметрів (якщо є), але і теплоізоляцію системи - див., наприклад, SM Розділ 1.3. Очевидно, що остання умова не має значення в нашому нинішньому контексті.

\({ }^{11}\)У п. 5.6 ми розглянули цю площину для конкретного випадку синусоїдальних коливань - див. Рис.\(5.9\)

\({ }^{12}\)Через неявний характер цієї гіпотези (яка дуже близька до припущень, зроблених при виведенні зменшених рівнянь у п. 5.3), нові, більш суворі (але і набагато більш громіздкі) докази остаточного еквалайзера (42) все ще пропонуються в літературі - див., наприклад, C. Wells і S. Siklos , Євро. J. фіз. 28, 105 (2007) та/або А. Лобо та ін., Євро. Фіз. 33, 1063 (2012).

\({ }^{13}\)Для певних конкретних осциляторів, наприклад, точкового маятника, Eq. (42) також може бути доведено безпосередньо - вправа, настійно рекомендована читачеві.

\({ }_{14}\)Це, знову ж таки, правдоподібний аргумент, але не суворий доказ. Дійсно: хоча, за своїм визначенням (39),\(J\) це не що інше, як сума декількох (формально, нескінченного числа) значень імпульсу\(p\), вони не є незалежними, але повинні вибиратися по одній замкнутій траєкторії на фазовій площині. Для більшої математичної енергійності читач посилається на п. 45 Механіки Ландау і Ліфшица (який неодноразово цитувався вище), де обговорюються загальні правила так званих канонічних перетворень з одного набору гамільтонових аргументів в інший - скажімо від\(\{p, q\}\) до\(\{J, \Theta\}\).

\({ }^{15}\)Зацікавлений читач може бути віднесений, наприклад, до глави 6 в J. Хосе і Е. Saletan, Класична динаміка, Cambridge U. прес,\(1998 .\)