10.1: Рівняння Гамільтона

Протягом цього курсу ми бачили, як аналітична механіка у своїй формі Лагранжа є неоціненною для вирішення різних конкретних завдань класичної механіки. Тепер обговоримо кілька альтернативних формулювань\({ }^{1}\), які, можливо, не набагато корисніше для цієї мети, але проливають додаткове світло на можливі розширення класичної механіки, головне на квантову механіку.

Як вже обговорювалося в п. 2.3, часткова похідна, яка\(p_{j} \equiv \partial L / \partial \dot{q}_{j}\) бере участь у рівнянні Лагранжа (2.19),\[\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial L}{\partial q_{j}}=0\] може розглядатися як узагальнений імпульс\(q_{i}\), відповідний узагальненій координаті, і повний набір цих моментів може бути використаний для визначення Гамільтонова функція (2.32):\[H \equiv \sum_{j} p_{j} \dot{q}_{j}-L .\] Тепер перепишемо повний диференціал цієї функції\(^{2}\) в наступному вигляді:\[\begin{aligned} d H &=d\left(\sum_{j} p_{j} \dot{q}_{j}-L\right)=\sum_{j}\left[d\left(p_{j}\right) \dot{q}_{j}+p_{j} d\left(\dot{q}_{j}\right)\right]-d L \\ &=\sum_{j}\left[d\left(p_{j}\right) \dot{q}_{j}+p_{j} d\left(\dot{q}_{j}\right)\right]-\left[\frac{\partial L}{\partial t} d t+\sum_{j}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{j}} d\left(q_{j}\right)+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} d\left(\dot{q}_{j}\right)\right)\right] . \end{aligned}\] Згідно з визначенням узагальненого імпульсу, другі члени кожної суми над\(j\) в останньому виразі скасовують один одного , В той час як згідно з рівнянням Лагранжа (1), похідна\(\partial L / \partial q_{j}\) дорівнює\(\dot{p}_{j}\),\[d H=-\frac{\partial L}{\partial t} d t+\sum_{j}\left(\dot{q}_{j} d p_{j}-\dot{p}_{j} d q_{j}\right)\] так що поки що це всього лише універсальна ідентичність. Тепер настає головна хитрість підходу Гамільтона: розглянемо в\(H\) якості функції наступні незалежні аргументи: час\(t\), узагальнені координати\(q_{j}\) і узагальнені моменти\(p_{j}\) - а не узагальнені швидкості\(\dot{q}_{j}\). При цьому зобов'язанні загальне «ланцюгове правило» диференціації функції декількох аргументів дає\[d H=\frac{\partial H}{\partial t} d t+\sum_{j}\left(\frac{\partial H}{\partial q_{j}} d q_{j}+\frac{\partial H}{\partial p_{j}} d p_{j}\right)\] де\(d t, d q_{j}\), і\(d p_{j}\) є незалежними диференціалами. Оскільки Eq. (5) має бути дійсним для будь-якого вибору цих аргументів диференціалів, він повинен триматися, зокрема, якщо вони відповідають дійсному закону руху, для якого також є дійсним екв. (4). Порівняння Eqs. (4) і (5) дає нам три відносини:\[\begin{gathered} \frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t} . \\ \dot{q}_{j}=\frac{\partial H}{\partial p_{j}}, \quad p_{j}=-\frac{\partial H}{\partial q_{j}} . \end{gathered}\] Порівнюючи перший з них з Eq. (2.35), ми бачимо, що\[\frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t},\] це означає, що функція\(H\left(t, q_{j}, p_{j}\right)\) може змінюватися в часі лише через свою явну залежність від\(t\). Два Eqs. (7) є ще більш суттєвими: за умови, що така функція\(H\left(t, q_{j}, p_{j}\right)\) була розрахована, вони дають нам два диференціальних рівняння першого порядку (звані рівняннями Гамільтона) для еволюції часу узагальненої координати та узагальненого імпульсу кожного ступеня свободи системи. \({ }^{3}\)

Давайте подивимося на ці рівняння для найпростішого випадку системи з одним ступенем свободи, з функцією Лагранжа (3.3):\[L=\frac{m_{\mathrm{ef}}}{2} \dot{q}^{2}-U_{\mathrm{ef}}(q, t)\] У цьому випадку\(p \equiv \partial L / \partial \dot{q}=m_{\text {ef }} \dot{q}\), і\(H \equiv p \dot{q}-L=m_{\text {ef }} \dot{q}^{2} / 2+U_{\text {ef }}(q, t) .\) Щоб виконати наше нове зобов'язання, нам потрібно виразити Гамільтонову функцію явно через\(t, q\), і \(p\)(а не\(\dot{q}\)). З наведеного вище виразу для\(p\), ми негайно маємо\(\dot{q}=p / m_{\text {ef }}\); підключивши цей вираз назад до Eq. (9), ми отримуємо\[H=\frac{p^{2}}{2 m_{\mathrm{ef}}}+U_{\mathrm{ef}}(q, t) .\] Тепер ми можемо прописати Eqs. (7) для цього конкретного випадку:\[\begin{gathered} \dot{q} \equiv \frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m_{\mathrm{ef}}}, \\ \dot{p} \equiv-\frac{\partial H}{\partial q}=-\frac{\partial U_{\mathrm{ef}}}{\partial q} . \end{gathered}\]  Хоча перше з цих рівнянь просто повторює визначення узагальненого імпульс, відповідний\(q\) координаті, другий дає рівняння зміни імпульсу. Диференціюючи Eq. (11) з плином часу, і включивши Eq. (12) до результату, ми отримуємо:\[\ddot{q}=\frac{\dot{p}}{m_{\mathrm{ef}}}=-\frac{1}{m_{\mathrm{ef}}} \frac{\partial U_{\mathrm{ef}}}{\partial q} .\] Отже, ми повернулися до того ж рівняння (3.4), яке було отримано з підходу Лагранжа. \({ }^{4}\)

Таким чином, гамільтонівський формалізм не дає багато нового для вирішення цієї задачі - та й взагалі більшості проблем класичної механіки. (Ось чому його обговорення було відкладено до самого кінця цього курсу.) Більше того, оскільки функція Гамільтона явно\(H\left(t, q_{j}, p_{j}\right)\) не включає узагальнених швидкостей, феноменологічне введення дисипації в цьому підході менш просте, ніж у рівняннях Лагранжа, форма попередника яких (2.17) справедлива і для дисипативних сил. Однак рівняння Гамільтона (7), які трактують узагальнені координати та моменти явно симетрично, евристично плідні - крім того, що вони дуже привабливі естетично. Особливо це актуально в тих випадках, коли ці аргументи беруть\(H\) участь подібним чином. Наприклад, у дуже важливому випадку лінійного («гармонічного») генератора без дисипації, для якого\(U_{\text {ef }}=\kappa_{\text {ef }} q^{2} / 2\), Eq. (10) дає знамениту симетричну форму\[H=\frac{p^{2}}{2 m_{\mathrm{ef}}}+\frac{\kappa_{\mathrm{ef}} x^{2}}{2} \equiv \frac{p^{2}}{2 m_{\mathrm{ef}}}+\frac{m_{\mathrm{ef}} \omega_{0}^{2} x^{2}}{2}, \quad \text { where } \omega_{0}^{2} \equiv \frac{\kappa_{\mathrm{ef}}}{m_{\mathrm{ef}}} .\] Рівняння Гамільтона (7) для цієї системи зберігають цю симетрію, особливо очевидну, якщо ввести нормований імпульс \(p \equiv p / m_{\text {ef }} \omega_{0}\)(Вже використовується в Secs. \(5.6\)і 9.2):\[\frac{d q}{d t}=\omega_{0} p, \quad \frac{d p}{d t}=-\omega_{0} q .\] Більш практично підхід Гамільтона дає додаткові інструменти для пошуку інтегралів руху. Щоб побачити це, розглянемо повну часову похідну довільної функції\(f\left(t, q_{j}, p_{j}\right)\):\[\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\sum_{j}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{j}} \dot{q}_{j}+\frac{\partial f}{\partial p_{j}} \dot{p}_{j}\right) .\] Plugging in\(\dot{q}_{j}\) і\(\dot{p}_{j}\) від рівнянь Гамільтона (7), отримаємо\[\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\sum_{j}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{j}} \frac{\partial f}{\partial q_{j}}-\frac{\partial H}{\partial q_{j}} \frac{\partial f}{\partial p_{j}}\right) \equiv \frac{\partial f}{\partial t}+\{H, f\} .\] Останній член з правого боку цього виразу так званий Пуассона дужка,\({ }^{5}\) і визначається, для двох довільних функцій\(g\left(t, q_{j}, p_{j}\right)\),\(f\left(t, q_{j}, p_{j}\right)\) і, як\[\{g, f\} \equiv \sum_{j}\left(\frac{\partial g}{\partial p_{j}} \frac{\partial f}{\partial q_{j}}-\frac{\partial f}{\partial p_{j}} \frac{\partial g}{\partial q_{j}}\right)\] З цього визначення, можна легко перевірити\(\{f, g\}=-\{g, f\}\), що крім очевидних відносин\(\{f, f\}=0\) і дужки Пуассона підкоряються наступній важливій ідентичності Якобі: \[\{f,\{g, h\}\}+\{g,\{h, f\}\}+\{h,\{f, g\}\}=0 .\]Тепер скористаємося цими співвідношеннями для пошуку інтегралів руху. По-перше, Eq. (17) показує, що якщо функція\(f\) не залежить від часу явно, а\[\{H, f\}=0,\] потім\(d f f d t=0\), тобто ця функція є інтегралом руху. Більш того, виходить, що якщо ми вже знаємо два інтеграла руху, скажімо\(f\) і\(g\), то наступна функція, також\[F \equiv\{f, g\}\] є інтегралом руху - так звана теорема Пуассона. Для того, щоб довести це, ми можемо використовувати ідентичність Якобі (19) с\(h=H\). Далі, використовуючи Eq. (17) для вираження дужок Пуассона\(\{g, H\},\{H, g\}\)\(\{H,\{f\), і,\(g\}\}=\{H, F\}\) через повний і частковий час похідних функцій\(f, g\), і\(F\), ми отримуємо\[\left\{f, \frac{\partial g}{\partial t}-\frac{d g}{d t}\right\}+\left\{g, \frac{d f}{d t}-\frac{\partial f}{\partial t}\right\}+\frac{d F}{d t}-\frac{\partial F}{\partial t}=0\] так, що if\(f\) і дійсно\(g\) є інтегралами руху, тобто\(d f / d t=d g / d t=0\), потім\[\frac{d F}{d t}=\frac{\partial F}{\partial t}+\left\{g, \frac{\partial f}{\partial t}\right\}-\left\{f, \frac{\partial g}{\partial t}\right\}=\frac{\partial F}{\partial t}-\left[\left\{\frac{\partial f}{\partial t}, g\right\}+\left\{f, \frac{\partial g}{\partial t}\right\}\right] \text {. }\] підключивши Eq. (21) до першого члена правої частини цього рівняння, і диференціюючи його по частинам\(d F / d t=0\), ми отримуємо,\(F\) тобто дійсно є інтегралом руху.

Нарешті, ще одна важлива роль формалізму Гамільтона полягає в тому, що він дозволяє простежити тісний формальний зв'язок між класичною та квантовою механікою. Дійсно, використовуючи Eq. (18) для обчислення дужок Пуассона узагальнених координат і моментів, ми легко отримуємо\[\left\{q_{j}, q_{j^{\prime}}\right\}=0, \quad\left\{p_{j}, p_{j^{\prime}}\right\}=0, \quad\left\{q_{j}, p_{j^{\prime}}\right\}=-\delta_{j j^{\prime}} .\] У квантовій механіці оператори цих змінних («спостережувані») підкоряються комутаційним відносинам,\(^{6}\)\[\left[\hat{q}_{j}, \hat{q}_{j^{\prime}}\right]=0, \quad\left[\hat{p}_{j}, \hat{p}_{j^{\prime}}\right]=0, \quad\left[\hat{q}_{j}, \hat{p}_{j^{\prime}}\right]=i \hbar \delta_{j j^{\prime}},\] де визначення комутатора, \([\hat{g}, \hat{f}] \equiv \hat{g} \hat{f}-\hat{f} \hat{g}\), певною мірою\(^{7}\) подібний до того (18) дужки Пуассона. Ми бачимо, що класичні відносини (24) схожі на квантово-механічні відносини,\((25)\) якщо була проведена наступна паралель:

\[\{g, f\} \leftrightarrow \frac{i}{\hbar}[\hat{g}, \hat{f}] .\]Ця аналогія поширюється далеко за межі Eqs. (24) - (25). Наприклад, зробивши заміну (26) в ур. (17), ми\[\frac{d \hat{f}}{d t}=\frac{\partial \hat{f}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{f}], \quad \text { i.e. } i \hbar \frac{d \hat{f}}{d t}=i \hbar \frac{\partial \hat{f}}{\partial t}+[\hat{f}, \hat{H}]\] отримаємо правильне рівняння еволюції оператора в картині Гейзенберга квантової механіки. \({ }^{8}\)Паралель (26) може дати важливі підказки в пошуку належного квантово-механічного оператора даної спостережуваної - що не завжди елементарно.

---

\({ }^{1}\)Завдяки не тільки Вільяму Роуену Гамільтону (1805-1865), а й Карлу Густаву Якобі Якобі (1804-1851).

\({ }^{2}\)Власне, цей диференціал вже був прописаний (але частково і неявно) в п. \(2.3\)- див. Еквад. (2.33) - (2.35).

\({ }^{3}\)Звичайно, права частина кожного рівняння (7) може включати координати та моменти інших ступенів свободи, так що рівняння руху для різних, як правило,\(j\) пов'язані між собою.

\({ }^{4}\)Читачеві настійно рекомендується виконати подібну перевірку ще кількох проблем, наприклад, перерахованих в кінці глави, щоб краще відчути, як працює гамільтонівський формалізм.

\({ }^{5}\)Названий на честь Сімеона Дені Пуассона (1781-1840), рівняння Пуассона та популярності статистичного розподілу Пуассона.

\({ }^{6}\)Див., наприклад, QM Sec. \(2.1\)

\({ }^{7}\)Існує, звичайно, концептуальна відмінність між «звичайними» добутками похідних функцій, що беруть участь в дужках Пуассона, і оператором «добуток» (мається на увазі їх послідовну дію на вектор стану), що утворюють комутатор.

\({ }^{8}\)Див., наприклад, QM Sec. \(4.6 .\)