9.2: Хаос в динамічних системах

Переходячи до обговорення хаосу в динамічних системах, природніше, на нашому тлі, проілюструвати цю дискусію не з Lorenz Eqs. (1), а системою рівнянь, що описують дисипативний маятник, керований синусоїдальною зовнішньою силою, про яку неодноразово йшлося в главі 5. Вводячи дві нові змінні, нормований імпульс\(p \equiv(d q / d t) / \omega_{0}\) та повну фазу зовнішньої сили\(\psi \equiv \omega t\), ми можемо переписати Eq. (5.42), що описує маятник, у формі, подібній до Eq. (1), тобто як система з трьох звичайних диференціальних рівнянь першого порядку:\[\begin{aligned} &\dot{q}=\omega_{0} p, \\ &\dot{p}=-\omega_{0} \sin q-2 \delta p+\left(f_{0} / \omega_{0}\right) \cos \psi, \\ &\dot{\psi}=\omega . \end{aligned}\] Рисунок 4 кілька результатів a Числове рішення еквалайзера (10). \({ }^{10}\)У всіх випадках параметри\(\delta, \omega_{0}\) і\(f_{0}\) фіксуються, при цьому\(\omega\) зовнішня частота поступово змінюється. Для випадку, показаного на верхній панелі, система все ще прагне до стабільного періодичного рішення, з дуже низьким вмістом вищих гармонік. Якщо частота зовнішньої сили зменшена всього на кілька відсотків,\(3^{\text {rd }}\) субгармоніка може порушуватися. (Цей ефект вже обговорювався в п. \(5.8\)- див., наприклад, рис. 5.15.) Наступна панель показує, що лише невелике подальше зниження частоти\(\omega\) призводить до нового потроєння періоду, тобто генерації складної форми хвилі з\(9^{\text {th }}\) субгармонікою. Нарешті (див. Нижню панель рисунка 4), навіть незначна подальша зміна\(\omega\) призводить до коливань без видимого періоду, наприклад, до хаосу.

Для того, щоб простежити цей перехід, прямий огляд коливальних форм хвиль не\(q(t)\) дуже зручний, і траєкторії на фазовій площині\([q, p]\) також стають безладними, якщо побудовані протягом багатьох періодів зовнішньої частоти. У подібних ситуаціях набагато корисніша площина Пуанкаре (або «стробоскопічна»), вже обговорювана в п. 5.6. Нагадуємо, що це, по суті, просто фазова площина\([q, p]\), але з точками, виділеними лише один раз за період, наприклад\(\psi=2 \pi n\), в, з\(n=1,2, \ldots\) На цій площині періодичні коливання частоти\(\omega\) представляються як одна фіксована точка - див., наприклад, верхню панель у правій колонці Малюнок 4. \(3^{\text {rd }}\)Субгармонічна генерація, показана на наступній панелі, означає потроєння періоду коливань і відбивається на площині Пуанкаре як розщеплення нерухомої точки на три. Очевидно, що цей перехід схожий на роздвоєння періоду в логістичній карті, крім того (вже розглянутого в п. 5.8), що в системах з антисиметричною нелінійністю, таких як маятник (10),\(3^{\text {rd }}\) субгармоніку легше збуджувати. З цього моменту генерацію\(9^{\text {th }}\) гармонік (показано на\(3^{\text {rd }}\) панелі малюнка 4), тобто ще одне розщеплення точок на площині Пуанкаре, можна розуміти як ще один крок на шляху до хаосу, подібного Фейгенбауму - див. Нижню панель цієї фігури.

Малюнок 9.4. Коливання в маятнику зі слабким демпфуванням\(\delta / \omega_{0}=0.1\), що приводяться в рух синусоїдальної зовнішньою силою з фіксованою ефективною амплітудою\(f_{0} / \omega_{0}{ }^{2}=1\), і декількома близькими значеннями частоти\(\omega\) (вказані на панелах). Колонка лівої панелі: форми коливань,\(q(t)\) записані після певних початкових перехідних інтервалів. Права колонка: зображення однакових процесів на площині Пуанкаре змінних\([q, p]\), з\(q\) -віссю, повернутою вертикально, для зручності порівняння з лівими панелями. Так, перехід до хаосу в динамічних системах може бути хоча б якісно подібним, ніж в 1D картах, із законом, аналогічним Eq. (6) для критичних значень якогось параметра системи (на рис. 4, частота\(\omega\)), правда з системним значенням коефіцієнта\(\delta\). Більше того, ми можемо розглядати перші два диференціальних рівняння системи (10) як 2D-карту, яка пов'язує вектор\(\left\{q_{n+1}, p_{n+1}\right\}\) координати та імпульсу, виміряний при\(\psi=2 \pi(n+1)\) попередньому\(\left\{q_{n}, p_{n}\right\}\) значенні цього вектора, досягнутому в\(\psi=2 \pi n\).

На жаль, ця схожість також передбачає, що детермінований хаос в динамічних системах принаймні такий же складний, і настільки ж мало зрозумілий, як на картах. Наприклад, на малюнку 5 показана (частина) фазова діаграма зовнішнього маятника, з червоною смугою, що позначає маршрут до хаосу, промальований на малюнку 4, а стилі затінення/штрихування позначають різні режими коливань. Можна помітити, що візерунок принаймні такий же складний, як показано на рис. 2 і 3, і, крім кількох ознак,\({ }^{11}\) однаково непередбачуваний від форми рівняння.

 

Малюнок 9.5. Діаграма стану зовнішнього приводу маятника зі слабким демпфуванням\(\left(\delta / \omega_{0}=0.1\right)\). Області коливань з основним періодом не затінені; позначення для інших регіонів такі. Точкова: субгармонічна генерація; перехресна штрихування: хаос; вилуплений: або хаос, або основний період (залежно від початкових умов); штриховий пунктир: або основний період, або субгармоніки. Суцільні лінії показують межі однорежимних областей, тоді як пунктирні - межі областей, де можливі кілька типів руху. (Малюнок люб'язно В.Корнєв.)

Чи є які-небудь цінні загальні результати щодо детермінованого хаосу в динамічних системах? Найважливішим (хоча і майже очевидним) результатом є те, що це явище неможливо в будь-якій системі, описаній одним або двома диференціальними рівняннями першого порядку з незалежними від часу правими сторонами. Дійсно, почнемо з єдиного\(f(q)\) рівняння\[\dot{q}=f(q),\], де будь-яка однозначна функція. Це рівняння може бути безпосередньо інтегровано, щоб\[t=\int^{q} \frac{d q^{\prime}}{f\left(q^{\prime}\right)}+\text { const },\] показати, що зв'язок між\(q\) і\(t\) є унікальним і, отже, не залишає місця для хаосу.

Далі розглянемо систему з двох таких рівнянь:\[\begin{aligned} &\dot{q}_{1}=f_{1}\left(q_{1}, q_{2}\right), \\ &\dot{q}_{2}=f_{2}\left(q_{1}, q_{2}\right) . \end{aligned}\] Розглянемо її фазову площину, схематично зображену на малюнку 6. У «звичайній» системі траєкторії наближаються або до якоїсь фіксованої точки (рис. 6а), що описує статичну рівновагу, або до граничного циклу (рис. 6b), що описує періодичні коливання. (Обидва поняття об'єднані терміном атрактор, оскільки вони «притягують» траєкторії, запущені з різних початкових умов.) З іншого боку, траєкторії фазової площини хаотичної системи рівнянь, що описують фізичні змінні (які не можуть бути нескінченними), повинні бути обмежені обмеженою площею фазової площини і одночасно не можуть почати повторювати один одного. (Цю топологію часто називають дивним атрактором.) Для цього 2D траєкторії потрібно перетинати - див., наприклад, точку А на малюнку\(6 \mathrm{c}\).

Малюнок 9.6. Атрактори в динамічних системах: (а) фіксована точка, (б) граничний цикл і (в) дивний атрактор.

Однак у випадку, описаному Eqs. (13), такий перетин явно неможливий, оскільки згідно з цими рівняннями тангенс траєкторії фазової площини є унікальною функцією координат\(\left\{q_{1}, q_{2}\right\}\):\[\frac{d q_{1}}{d q_{2}}=\frac{f_{1}\left(q_{1}, q_{2}\right)}{f_{2}\left(q_{1}, q_{2}\right)} .\] Таким чином, в цьому випадку детермінований хаос неможливий. \({ }^{12}\)Це стає, однак, легко можливим, якщо праві сторони системи, подібної до Eq. (13) залежать або від інших змінних системи, або від часу. Наприклад, якщо розглядати перші два диференціальних рівняння системи (10), то у випадку, якщо\(f_{0}=0\) вони мають структуру системи (13) і, отже, хаос неможливий, навіть при тому,\(\delta<0\) коли (як відомо з п. 5.4) система допускає самозбудження коливань - що ведуть до межі- атрактор циклу. Однак якщо\(f_{0} \neq 0\) цей аргумент більше не працює, і (як ми вже бачили) система може мати дивний атрактор - який для динамічних систем є синонімом детермінованого хаосу.

Таким чином, хаос можливий тільки в автономних динамічних системах, описаних трьома і більше диференціальними рівняннями першого порядку. \({ }^{13}\)

---

\({ }^{10}\)У фактичному моделюванні до лівої частини\(\varepsilon<1\) цього рівняння додано малий член\(\varepsilon q\), з. Цей термін трохи приборкає тенденцію рішення поширюватися вздовж\(q\) -осі і полегшує представлення результатів, не впливаючи на динаміку системи занадто сильно.

\({ }^{11}\)У деяких випадках можна передбачити область параметрів, де хаос не може статися, через відсутність будь-якого механізму посилення нестабільності. На жаль, зазвичай аналітично прогнозовані межі такої області утворюють досить пухку оболонку фактичних (чисельно змодельованих) хаотичних областей.

\({ }^{12}\)Математично суворе формулювання цього твердження називається теоремою Пуанкаре-Бендіксона, яка була доведена Іваром Бендіксоном ще в\(1901 .\)

\({ }^{13}\)Оскільки типова динамічна система з одним ступенем свободи описується двома такими рівняннями, кількість рівнянь першого порядку, що описують динамічну систему, іноді називають числом її півступенів свободи. Це поняття дуже корисно і популярно в статистичній механіці - див., наприклад, SM Sec. \(2.2\)і далі.