22.4: Виведення відносин

i. Можна припустити, що період$P$ простого маятника залежить від його маси$m$$l$, довжини та прискорення гравітації$g$. Зокрема, ми припускаємо, що період пропорційний$\alpha$ деякій потужності маси,$\beta$ деякій потужності довжини та деякій потужності$\gamma$ гравітаційного прискорення. Тобто

$p \propto m^\alpha l ^ \beta g ^ \gamma$.

Обидві сторони повинні мати однаковий розмір - а саме Т.

Тобто

$[ m^\alpha l ^ \beta g ^ \gamma ] = T$

Тобто

$\text{M}^\alpha \text{L}^\beta (\text{LT}^{-2}) ^\gamma = T$

Зрівняємо степені M, L і T, щоб отримати три рівняння в$\alpha, \beta, \gamma$:

$\alpha = 0, \beta + \gamma = 0, -2 \gamma = 1,$

з рішеннями$\alpha = 0, \beta = \frac{1}{2} , \gamma = - \frac{1}{2}$, які показують, що

$P \propto m^0l^{\frac{1}{2}} g^{-\frac{1}{2}}$, або$P \propto \sqrt{\frac{l}{g}}$

II. Ось ще: Крутний момент,$\tau$ необхідний для скручування твердого металевого циліндра через кут,$\theta$ пропорційний$\theta$:$\tau = c \theta$.

$c$- постійна кручення. Як$c$ залежить довжина$l$ і радіус$a$ циліндра, його щільність$\rho$ і модуль зсуву$\eta$? Існує безпосередня складність, оскільки ми маємо чотири величини$\eta$, які слід враховувати -$l, a, \rho$ і все ж у нас є лише три виміри L, M, T, щоб мати справу. Отже, ми матимемо три рівняння в чотирьох невідомих. Далі дві величини$l$ і$a$ мають аналогічні розміри, що додає труднощів.

У подібних випадках нам, можливо, доведеться зробити розумне припущення про одну з величин. Наприклад, нам може бути легко прийняти, що чим довше циліндр, тим легше його крутити, і ми можемо зробити припущення, що константа кручення обернено пропорційна першій потужності його довжини. Тоді ми можемо припустити, що

$cl \propto a^\alpha \rho^\beta \eta^\gamma$

в якому випадку

$[cl] \quad h \quad [ a^\alpha \rho^\beta \eta^\gamma]$

Тобто

$\text{ML}^2\text{T}^{-2}L \quad h \quad \text{L}^\alpha ( \text{ML}^{-3}) ^\beta (\text{ML}^{-1} \text {T}^ {-2}) ^\gamma$

Прирівняйте степені M, L і T:

$1 = \beta + \gamma; \qquad 3 = \alpha - 3 \beta - \gamma; \qquad -2 = -2\gamma$

Це дає$\alpha = 4, \beta = 0, \gamma = 1,$ і значить$c \propto \frac{\eta a ^4}{l}$.

iii. Як залежить орбітальний період$P$ планети від радіуса її орбіти,$M$ маси Сонця і гравітаційної константи$G$?

Припустимо

$P \propto G^\alpha M^\beta a^\gamma$

Це залишається читачеві, щоб показати це$P \propto \sqrt{\frac{a^3}{GM}}$.

IV. Сфера радіусом a повільно рухається зі швидкістю v через рідину щільності$\rho$ і динамічної в'язкості$\eta$. Як в'язке перетягування$F$ залежить від цих чотирьох змінних?

Чотири змінні, але тільки три виміри, а значить і три рівняння! Що робити? Якщо у вас краще розуміння, ніж у мене, або якщо ви вже знаєте відповідь, ви можете припустити, що це не залежить від щільності. Я не отримав такого чіткого розуміння, але я хотів би припустити, що в'язкий опір пропорційний першій потужності динамічної в'язкості. У цьому випадку я був би радий припустити, що

$\frac{F}{\eta} \propto a^\alpha \rho^\beta v^\gamma$

Тоді

$\frac{\text{MLT}^{-2} }{\text{ML}^{-1} \text{T}^{-1}} = \text{L}^\alpha (\text{ML}^{-3})^\beta ( \text{LT}^{-1} ) ^ \gamma$

Прирівняйте степені M, L і T:

$0 = \beta; \qquad 2 = \alpha - 3 \beta + \gamma' \qquad -1 = -\gamma$

Це дає$\alpha = 1, \beta = 0, \gamma = 1$, а значить$F \propto \eta a v$.