22.4: Виведення відносин
- Page ID
- 76140
i. Можна припустити, що період\(P\) простого маятника залежить від його маси\(m\)\(l \), довжини та прискорення гравітації\(g\). Зокрема, ми припускаємо, що період пропорційний\( \alpha \) деякій потужності маси,\( \beta \) деякій потужності довжини та деякій потужності\( \gamma \) гравітаційного прискорення. Тобто
\( p \propto m^\alpha l ^ \beta g ^ \gamma \).
Обидві сторони повинні мати однаковий розмір - а саме Т.
Тобто
\( [ m^\alpha l ^ \beta g ^ \gamma ] = T\)
Тобто
\( \text{M}^\alpha \text{L}^\beta (\text{LT}^{-2}) ^\gamma = T \)
Зрівняємо степені M, L і T, щоб отримати три рівняння в\( \alpha, \beta, \gamma \):
\( \alpha = 0, \beta + \gamma = 0, -2 \gamma = 1, \)
з рішеннями\( \alpha = 0, \beta = \frac{1}{2} , \gamma = - \frac{1}{2}\), які показують, що
\( P \propto m^0l^{\frac{1}{2}} g^{-\frac{1}{2}} \), або\( P \propto \sqrt{\frac{l}{g}}\)
II. Ось ще: Крутний момент,\( \tau \) необхідний для скручування твердого металевого циліндра через кут,\( \theta \) пропорційний\( \theta \):\( \tau = c \theta\). 
\(c\)- постійна кручення. Як\(c\) залежить довжина\(l\) і радіус\(a\) циліндра, його щільність\( \rho \) і модуль зсуву\( \eta\)? Існує безпосередня складність, оскільки ми маємо чотири величини\(\eta \), які слід враховувати -\( l, a, \rho \) і все ж у нас є лише три виміри L, M, T, щоб мати справу. Отже, ми матимемо три рівняння в чотирьох невідомих. Далі дві величини\(l\) і\(a\) мають аналогічні розміри, що додає труднощів.
У подібних випадках нам, можливо, доведеться зробити розумне припущення про одну з величин. Наприклад, нам може бути легко прийняти, що чим довше циліндр, тим легше його крутити, і ми можемо зробити припущення, що константа кручення обернено пропорційна першій потужності його довжини. Тоді ми можемо припустити, що
\( cl \propto a^\alpha \rho^\beta \eta^\gamma \)
в якому випадку
\( [cl] \quad h \quad [ a^\alpha \rho^\beta \eta^\gamma] \)
Тобто
\( \text{ML}^2\text{T}^{-2}L \quad h \quad \text{L}^\alpha ( \text{ML}^{-3}) ^\beta (\text{ML}^{-1} \text {T}^ {-2}) ^\gamma \)
Прирівняйте степені M, L і T:
\( 1 = \beta + \gamma; \qquad 3 = \alpha - 3 \beta - \gamma; \qquad -2 = -2\gamma\)
Це дає\( \alpha = 4, \beta = 0, \gamma = 1, \) і значить\( c \propto \frac{\eta a ^4}{l} \).
iii. Як залежить орбітальний період\(P\) планети від радіуса її орбіти,\(M\) маси Сонця і гравітаційної константи\(G\)?
Припустимо
\( P \propto G^\alpha M^\beta a^\gamma \)
Це залишається читачеві, щоб показати це\( P \propto \sqrt{\frac{a^3}{GM}} \).
IV. Сфера радіусом a повільно рухається зі швидкістю v через рідину щільності\( \rho \) і динамічної в'язкості\(\eta\). Як в'язке перетягування\(F\) залежить від цих чотирьох змінних?
Чотири змінні, але тільки три виміри, а значить і три рівняння! Що робити? Якщо у вас краще розуміння, ніж у мене, або якщо ви вже знаєте відповідь, ви можете припустити, що це не залежить від щільності. Я не отримав такого чіткого розуміння, але я хотів би припустити, що в'язкий опір пропорційний першій потужності динамічної в'язкості. У цьому випадку я був би радий припустити, що
\( \frac{F}{\eta} \propto a^\alpha \rho^\beta v^\gamma \)
Тоді
\(\frac{\text{MLT}^{-2} }{\text{ML}^{-1} \text{T}^{-1}} = \text{L}^\alpha (\text{ML}^{-3})^\beta ( \text{LT}^{-1} ) ^ \gamma \)
Прирівняйте степені M, L і T:
\( 0 = \beta; \qquad 2 = \alpha - 3 \beta + \gamma' \qquad -1 = -\gamma\)
Це дає\( \alpha = 1, \beta = 0, \gamma = 1 \), а значить\( F \propto \eta a v \).