20.4.2: Віскозиметр Куетта

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76255

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Циліндрична посудина радіусу\(b\) містить рідину, в'язкість якої необхідно виміряти. Менший, твердий циліндр радіусу\(a\) і довжини\(l\) підвішений на торсіонному дроті, константа кручення якого\(c\) відома, і занурюється в рідину в посудині, причому два циліндри є коаксіальними. Судно, що містить рідину, обертається навколо своєї осі з кутовою швидкістю\( \Omega\), таким чином приводить рідину в рух. Це викликає в'язкий крутний момент на внутрішньому циліндрі, який, таким чином, витягується круглий через кут\( \phi \). Коли відновлювальний крутний момент торсіонного дроту\( c \phi \) дорівнює в'язкому крутному моменту, система буде знаходитися в рівновазі, і потім можна обчислити\( \eta \) в'язкість рідини. Звернемося до малюнка XX.11. У простому аналізі, наданому нижче, ми припускаємо, що кутова та лінійна швидкість та градієнти досить малі, щоб потік був нетурбулентним. Також нехтуємо впливом в'язкого перетягування на плоскі кінці циліндра. При цьому діаметр циліндра, в нашому аналізі, повинен бути набагато менше його довжини.

До речі, довго думав, що слово «couette» має бути французьким для чогось. Це — це французьке означає «пір'ячко» або «косичка». Але віскозиметр Couette насправді названий на честь маловідомого французького вченого дев'ятнадцятого століття Моріса Куета.

альт

Розрахуємо в'язкий крутний момент на рідині в радіусі\( r \). Зверніть увагу, що, оскільки ми маємо стаціонарну ситуацію, цей крутний момент не залежить від\(r\); зокрема крутний момент на рідині в радіусі\(r\) такий же, як крутний момент (який ми можемо виміряти за допомогою торсіонного дроту) на внутрішньому циліндрі. Площа криволінійної поверхні рідини в радіусі\(r\) дорівнює\( 2 \pi lr\). В'язкий крутний момент на цій поверхні в\(r\)\( \eta \) рази перевищує площу поперечного градієнта швидкості. Але ми повинні бути обережними щодо цього останнього терміну. Якби все тіло рідини оберталося як тверде тіло з кутовою швидкістю\( \omega \), швидкість в радіусі\(r\) була б\(r \omega \) і, отже, був би поперечний градієнт швидкості, рівний\( \omega \) - але в'язкого опору немає! Але рідина, звичайно, не обертається як тверда речовина, а\( \omega \) (як і\(v\)) є функцією\(r\). Оскільки градієнт швидкості є\( \frac{dv}{dr} = r \frac{d \omega}{dr} + \omega \) і єдина частина цього\(v = r \omega \), яка переходить у вираз для в'язкого крутного моменту, - це частина\( r \frac{d \omega}{dr} \). Таким чином, вираз для крутного моменту на рідині в радіусі r (а значить, і на внутрішньому циліндрі)

\[ \tau = r. \eta . 2 \pi r l. r \frac{d \omega}{dr}\tag{20.4.5}\label{eq:20.4.5} \]

Тобто,

\[ \frac{d \omega}{dr} = \frac{\tau}{2 \pi \eta l r^3} . \tag{20.4.6}\label{eq:20.4.6} \]

Інтеграція від\( r = a, \omega = 0 \) до\( r = b, \omega = \Omega \) дає

\[ \tau = \frac{4 \pi \eta l \Omega a^2 b^2}{b^2 - a^2} \tag{20.4.7}\label{eq:20.4.7} \]

У рівновазі це дорівнює тому\(c \phi \), де\(c\) знаходиться константа кручення підвіски і\( \phi \) кут, через який розгорнувся внутрішній циліндр, а значить і в'язкість може бути визначена. Ви повинні, як завжди, перевірити розміри Рівняння\(\ref{eq:20.4.7}\).