15.27: Енергія та імпульс

Рухома частинка має енергію, що виникає з її імпульсу, а також від маси спокою, і нам потрібно знайти вираз, що стосується енергії до маси спокою та імпульсу. Це досить легко і виходить так:

\( E^{2}=m^{2}c^{4}=c^{2}(m^{2}c^{2}-m^{2}u^{2}+m^{2}u^{2})=c^{2}[m^{2}(c^{2}-u^{2})+p^{2}]\)

\( =c^{2}\left(\frac{m_{0}^{2}(c^{2}-u^{2})}{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}+p^{2}\right)=c^{2}(m_{0}^{2}c^{2}+p^{2})\)

Таким чином, ми отримуємо енергію з точки зору спокою, маси і імпульсу.

\[ E^{2}=(m_{0}c^{2})^{2}+(pc)^{2}. \label{15.27.1} \]

Якщо швидкість (а значить, і імпульс) дорівнює нулю, енергія просто\( m_{0}c^{2}\). Якщо маса відпочинку дорівнює нулю (як, наприклад, фотон), а енергія не дорівнює нулю, то\( E\ =\ pc\ =\ muc\). Але також\( E=mc^{2}\), щоб, якщо решта маси частинки дорівнює нулю, а енергія - ні, частинка повинна рухатися зі швидкістю світла. Це можна вважати причиною того, що фотони, які мають нульову масу спокою, рухаються зі швидкістю фотонів. Якщо нейтрино мають нульову масу спокою, вони теж будуть подорожувати зі швидкістю світла; якщо вони не безмасові, вони не будуть.

Крім Рівняння\( \ref{15.27.1}\), яке пов'язує енергію з величиною імпульсу, буде цікаво подивитися, як компоненти імпульсу трансформуються між опорними кадрами. Як завжди, ми розглядаємо кадр,\( \Sigma'\) щоб рухатися по відношенню до\( v\) зі\( \Sigma\) швидкістю по відношенню до\( \Sigma\). Немає ніяких труднощів з\( y\) - і\( z\) - компонентами. У нас є просто\( p'_{y'}=p_{y}\) і\( p'_{z'}=p_{z}\). Однак:

\( p_{x}=mu_{x}=\frac{m_{0}u_{x}}{\left(1-\frac{u_{x}^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}\)і\( p'_{x'}=m'u'_{x'}=\frac{m_{0}u'_{x'}}{\left(1-\frac{u_{x'}^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}\).

Також\( u'_{x'}=\frac{u_{x}-v}{\left(1-\frac{u_{x}^{2}}{c^{2}}\right)}\), з якого\( \left(1-\frac{u'^{2}_{x'}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{\left(1-\frac{u_{x}^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}{1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}}\).

Трохи провівши алгебру, отримуємо

\( p_{x}=\frac{m_{0}(u_{x}-v)}{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}.\)

І це

\[ p'_{x'}=\frac{p_{x}-\frac{vE}{c^{2}}}{\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}=\gamma\left(p_{x}-\frac{vE}{c^{2}}\right) \label{15.27.2} \]

Зворотне зустрічається звичайним способом:

\[ p_{x}=\gamma\left(p'_{x'}+\frac{vE'}{c^{2}}\right) \label{15.27.3} \]

Якщо ми усунемо\( p'_{x'}\) з рівнянь\( \ref{15.27.2}\) і\( \ref{15.27.3}\), ми знайдемо з\( E'\) точки зору\( E\) і\( p_{x}\):

\[ E'=\gamma(E-vp_{x}). \label{15.27.4} \]

Таким чином, перетворення між енергією та трьома просторовими складовими імпульсу аналогічні перетворенню між часом і трьома просторовими координатами і описуються аналогічним 4-вектором:

\[ \begin{pmatrix} p'_{x'} \\ p'_{y'} \\ p'_{z'} \\ \frac{iE'}{c}\end{pmatrix}\ =\ \begin{pmatrix} \gamma&0&0&i\beta\gamma \\\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\-i\beta\gamma&0&0&\gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p_{x} \\ p_{y} \\ p_{z} \\ \frac{iE}{c}\end{pmatrix}. \label{15.27.5} \]

Читач повинен помножити це, щоб переконатися, що він відтворює Рівняння\( \ref{15.27.3}\) і\( \ref{15.27.4}\).