15.15: Похідні

Ми зупинимося тут і встановити кілька похідних тільки для довідки і в разі, якщо ми потребуємо їх пізніше.

Нагадаємо, що відносини Лоренца

\[ x=\gamma(x'+\nu t') \label{15.15.1} \]

і

\[ t=\gamma\left( t' + \frac{\beta x'}{c}\right) \label{15.15.2} \]

З них ми відразу виявляємо, що

\[ \left( \frac{\partial x}{\partial x'}\right)_{t'}=\gamma;\quad\left( \frac{\partial x}{\partial t'}\right)_{x'}=\gamma\nu;\quad\left( \frac{\partial t}{\partial x'}\right)_{t'}=\frac{\beta\gamma}{c};\quad\left( \frac{\partial t}{\partial t'}\right)_{x'}=\gamma. \label{15.15.3a,b,c,d}\tag{15.15.3a,b,c,d} \]

Вони нам знадобляться в наступних розділах.

Обережно

Неможливо помилитися з деякими з цих похідних, якщо дозволити своїй увазі блукати. Наприклад, можна припустити, що з тих\( \frac{\partial x}{\partial x'}=\gamma\) пір «очевидно»\( \frac{\partial x'}{\partial x}=\frac{1}{\gamma}\) - і справді це правильно, якщо\( t'\) проводиться постійною. Однак ми повинні бути впевнені, що це дійсно те, чого ми хочемо. Складність, ймовірно, виникне, якщо при написанні часткової похідної ми нехтуємо уточненням того, які змінні утримуються постійними, і ніякої великої шкоди не було б завдано, наполягаючи на тому, щоб вони завжди вказувалися при написанні часткової похідної. Якщо ви хочете зворотні, а не зворотні\( \ref{15.15.3a,b,c,d}\) рівняння правило, як ніколи, таке: Обмін загрунтованими і негрунтованими символами і змінити знак\( \nu\) або\( \beta\). Наприклад, зворотне\( \left( \frac{\partial x}{\partial x'} \right)_{t'}\) є\( \left( \frac{\partial x'}{\partial x} \right)_{t'}\), в той час як його зворотне є\( \left( \frac{\partial x'}{\partial x} \right)_{t}\). Для повноти, і довідки, то, записую всі можливості:

\[ \left( \frac{\partial x'}{\partial x}\right)_{t'}=\frac{1}{\gamma};\quad\left( \frac{\partial t'}{\partial x}\right)_{x'}=\frac{1}{\gamma\nu};\quad\left( \frac{\partial x'}{\partial t}\right)_{t'}=\frac{c}{\beta\gamma};\quad\left( \frac{\partial t'}{\partial t}\right)_{x'}=\frac{1}{\gamma}. \label{15.15.3e,f,g,h}\tag{5.15.3e,f,g,h} \]

\[ \left( \frac{\partial x'}{\partial x}\right)_{t}=\gamma;\quad\left( \frac{\partial x'}{\partial t}\right)_{x}=-\gamma\nu;\quad\left( \frac{\partial t'}{\partial x}\right)_{t}=-\frac{\beta\gamma}{c};\quad\left( \frac{\partial t'}{\partial t}\right)_{x}=\gamma. \label{15.15.3i,j,k,l}\tag{15.15.3i,j,k,l} \]

\[ \left( \frac{\partial x}{\partial x'}\right)_{t}=\frac{1}{\gamma};\quad\left( \frac{\partial t}{\partial x'}\right)_{x}=-\frac{1}{\gamma\nu};\quad\left( \frac{\partial x}{\partial t'}\right)_{t}=-\frac{c}{\beta\gamma};\quad\left( \frac{\partial t}{\partial t'}\right)_{x}=\frac{1}{\gamma}. \label{15.15.3m,n,o,p}\tag{15.15.3m,n,o,p} \]

Тепер давайте припустимо, що\( \psi = \psi(x,t)\) де\( x\) і\( t\) знаходяться в свою чергу функції (Рівняння\( \ref{15.15.1}\) і\( \ref{15.15.2}\))\( x'\) і\( t'\). Тоді

\[ \frac{\partial \psi}{\partial x'}=\frac{\partial x}{\partial x'}\frac{\partial \psi}{\partial t}+\frac{\partial t}{\partial x'}\frac{\partial \psi}{\partial t}=\gamma\frac{\partial \psi}{\partial x}+\frac{\beta\gamma}{c}\frac{\partial\psi}{\partial t} \label{15.15.4} \]

і

\[ \frac{\partial \psi}{\partial t'}=\frac{\partial x}{\partial t'}\frac{\partial \psi}{\partial x}+\frac{\partial t}{\partial t'}\frac{\partial \psi}{\partial t}=\gamma\nu\frac{\partial \psi}{\partial x}+\gamma\frac{\partial\psi}{\partial t}. \label{15.15.5} \]

Читач, безсумнівно, помітить, що я тут проігнорував власну пораду, і я не вказав, які змінні повинні бути постійними. Варто було б витратити тут хвилинку на роздуми про це.

Ми можемо записати рівняння\( \ref{15.15.4}\) і\( \ref{15.15.5}\) як еквівалентні оператори:

\[ \frac{\partial}{\partial x'}=\gamma\left(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\beta}{c}\frac{\partial}{\partial t}\right) \label{15.15.6} \]

і

\[ \frac{\partial}{\partial t'}=\gamma\left(\nu\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial t}\right). \label{15.15.7} \]

Ми також можемо, при бажанні, знайти другі похідні. Таким чином

\[ \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x'^{2}}=\gamma^{2}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{2\beta}{c}\frac{\partial^{2}}{\partial x\partial t}+\frac{\beta^{2}}{c^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right). \label{15.15.9} \]

Аналогічним способом отримуємо

\[ \frac{\partial^{2}}{\partial x'\partial t'}=\gamma^{2}\left(\nu\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+(1+\beta^{2})\frac{\partial^{2}}{\partial x\partial t}+\frac{\beta}{c}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) \label{15.15.10} \]

і

\[ \frac{\partial^{2}}{\partial t'^{2}}=\gamma^{2}\left(\nu^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+2\nu\frac{\partial^{2}}{\partial x\partial t}+\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right). \label{15.15.11} \]

Інверси всіх цих відносин слід знайти шляхом зміни заґрунтованих і негрунтованих координат і зміни знаків\( \nu\) і\( \beta\).