15.15: Похідні

Ми зупинимося тут і встановити кілька похідних тільки для довідки і в разі, якщо ми потребуємо їх пізніше.

Нагадаємо, що відносини Лоренца

$$x=\gamma(x'+\nu t') \label{15.15.1}$$

і

$$t=\gamma\left( t' + \frac{\beta x'}{c}\right) \label{15.15.2}$$

З них ми відразу виявляємо, що

$$\left( \frac{\partial x}{\partial x'}\right)_{t'}=\gamma;\quad\left( \frac{\partial x}{\partial t'}\right)_{x'}=\gamma\nu;\quad\left( \frac{\partial t}{\partial x'}\right)_{t'}=\frac{\beta\gamma}{c};\quad\left( \frac{\partial t}{\partial t'}\right)_{x'}=\gamma. \label{15.15.3a,b,c,d}\tag{15.15.3a,b,c,d}$$

Вони нам знадобляться в наступних розділах.

Обережно

Неможливо помилитися з деякими з цих похідних, якщо дозволити своїй увазі блукати. Наприклад, можна припустити, що з тих$\frac{\partial x}{\partial x'}=\gamma$ пір «очевидно»$\frac{\partial x'}{\partial x}=\frac{1}{\gamma}$ - і справді це правильно, якщо$t'$ проводиться постійною. Однак ми повинні бути впевнені, що це дійсно те, чого ми хочемо. Складність, ймовірно, виникне, якщо при написанні часткової похідної ми нехтуємо уточненням того, які змінні утримуються постійними, і ніякої великої шкоди не було б завдано, наполягаючи на тому, щоб вони завжди вказувалися при написанні часткової похідної. Якщо ви хочете зворотні, а не зворотні$\ref{15.15.3a,b,c,d}$ рівняння правило, як ніколи, таке: Обмін загрунтованими і негрунтованими символами і змінити знак$\nu$ або$\beta$. Наприклад, зворотне$\left( \frac{\partial x}{\partial x'} \right)_{t'}$ є$\left( \frac{\partial x'}{\partial x} \right)_{t'}$, в той час як його зворотне є$\left( \frac{\partial x'}{\partial x} \right)_{t}$. Для повноти, і довідки, то, записую всі можливості:

$$\left( \frac{\partial x'}{\partial x}\right)_{t'}=\frac{1}{\gamma};\quad\left( \frac{\partial t'}{\partial x}\right)_{x'}=\frac{1}{\gamma\nu};\quad\left( \frac{\partial x'}{\partial t}\right)_{t'}=\frac{c}{\beta\gamma};\quad\left( \frac{\partial t'}{\partial t}\right)_{x'}=\frac{1}{\gamma}. \label{15.15.3e,f,g,h}\tag{5.15.3e,f,g,h}$$

$$\left( \frac{\partial x'}{\partial x}\right)_{t}=\gamma;\quad\left( \frac{\partial x'}{\partial t}\right)_{x}=-\gamma\nu;\quad\left( \frac{\partial t'}{\partial x}\right)_{t}=-\frac{\beta\gamma}{c};\quad\left( \frac{\partial t'}{\partial t}\right)_{x}=\gamma. \label{15.15.3i,j,k,l}\tag{15.15.3i,j,k,l}$$

$$\left( \frac{\partial x}{\partial x'}\right)_{t}=\frac{1}{\gamma};\quad\left( \frac{\partial t}{\partial x'}\right)_{x}=-\frac{1}{\gamma\nu};\quad\left( \frac{\partial x}{\partial t'}\right)_{t}=-\frac{c}{\beta\gamma};\quad\left( \frac{\partial t}{\partial t'}\right)_{x}=\frac{1}{\gamma}. \label{15.15.3m,n,o,p}\tag{15.15.3m,n,o,p}$$

Тепер давайте припустимо, що$\psi = \psi(x,t)$ де$x$ і$t$ знаходяться в свою чергу функції (Рівняння$\ref{15.15.1}$ і$\ref{15.15.2}$)$x'$ і$t'$. Тоді

$$\frac{\partial \psi}{\partial x'}=\frac{\partial x}{\partial x'}\frac{\partial \psi}{\partial t}+\frac{\partial t}{\partial x'}\frac{\partial \psi}{\partial t}=\gamma\frac{\partial \psi}{\partial x}+\frac{\beta\gamma}{c}\frac{\partial\psi}{\partial t} \label{15.15.4}$$

і

$$\frac{\partial \psi}{\partial t'}=\frac{\partial x}{\partial t'}\frac{\partial \psi}{\partial x}+\frac{\partial t}{\partial t'}\frac{\partial \psi}{\partial t}=\gamma\nu\frac{\partial \psi}{\partial x}+\gamma\frac{\partial\psi}{\partial t}. \label{15.15.5}$$

Читач, безсумнівно, помітить, що я тут проігнорував власну пораду, і я не вказав, які змінні повинні бути постійними. Варто було б витратити тут хвилинку на роздуми про це.

Ми можемо записати рівняння$\ref{15.15.4}$ і$\ref{15.15.5}$ як еквівалентні оператори:

$$\frac{\partial}{\partial x'}=\gamma\left(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\beta}{c}\frac{\partial}{\partial t}\right) \label{15.15.6}$$

і

$$\frac{\partial}{\partial t'}=\gamma\left(\nu\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial t}\right). \label{15.15.7}$$

Ми також можемо, при бажанні, знайти другі похідні. Таким чином

$$\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x'^{2}}=\gamma^{2}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{2\beta}{c}\frac{\partial^{2}}{\partial x\partial t}+\frac{\beta^{2}}{c^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right). \label{15.15.9}$$

Аналогічним способом отримуємо

$$\frac{\partial^{2}}{\partial x'\partial t'}=\gamma^{2}\left(\nu\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+(1+\beta^{2})\frac{\partial^{2}}{\partial x\partial t}+\frac{\beta}{c}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) \label{15.15.10}$$

і

$$\frac{\partial^{2}}{\partial t'^{2}}=\gamma^{2}\left(\nu^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+2\nu\frac{\partial^{2}}{\partial x\partial t}+\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right). \label{15.15.11}$$

Інверси всіх цих відносин слід знайти шляхом зміни заґрунтованих і негрунтованих координат і зміни знаків$\nu$ і$\beta$.