6.2: Рівномірно прискорений рух

Перед вивченням руху в опір середовищі, короткий огляд рівномірно прискорюється руху може бути в порядку. Тобто рух, при якому опір дорівнює нулю. Будь-які формули, які ми розробляємо для руху в опір середовищі, повинні йти до формул для рівномірно прискореного руху, коли опір наближається до нуля.

Можна уявити собі ситуацію, в якій тіло починається зі швидкістю,\( v_{0}\) а потім прискорюється зі швидкістю\( a\). Можна задати три питання:

Як швидко він рухається з часом\( t\)?
Як далеко він просунувся в часі\( t\)?
Як швидко він рухається після того, як він подолав відстань \( x\)?

Відповіді на ці питання добре відомі будь-якому студенту фізики:

\[ \ v= v_{0} +at, \tag{6.2.1}\label{eq:6.2.1} \]

\[ \ v= v_{0}t +\frac{1}{2}at^2, \tag{6.2.2}\label{eq:6.2.2} \]

\[ \ v^2= v_{0}^2 +2ax. \tag{6.2.3}\label{eq:6.2.3} \]

Оскільки прискорення є рівномірним, немає необхідності використовувати обчислення для їх отримання. Перший випливає відразу зі значення прискорення. Пройдена відстань - це область під графіком швидкості: час. На малюнку VI.1 показаний графік швидкості: час для постійного прискорення, а\( \ref{eq:6.2.2}\) Рівняння очевидне з першого погляду на графік. Рівняння\( \ref{eq:6.2.3}\) можна отримати шляхом усунення\( t\) між рівняннями\( \ref{eq:6.2.1}\) і\( \ref{eq:6.2.2}\). (Це також можна вивести з енергетичних міркувань, хоча це скоріше поставити візок перед конем.)

Тим не менш, хоча обчислення не є необхідним, повчально побачити, як обчислення можна використовувати для аналізу рівномірно прискореного руху, оскільки обчислення буде необхідним у менш простих ситуаціях. Ми будемо використовувати обчислення, щоб відповісти на три питання, поставлені раніше в розділі.

Для рівномірно прискореного руху рівняння руху

\[ \ \ddot{x}=a. \tag{6.2.4}\label{eq:6.2.4} \]

Щоб відповісти на перше питання, пишемо\( \ddot{x}\) як \( \frac{dv}{dt}\), а потім інтеграл (з початковою умовою\( x=0\) коли \( t=0\))

\[ \ v = v_{0} + at. \tag{6.2.5}\label{eq:6.2.5} \]

Це перший раз невід'ємний.
Далі пишемо\( v\) як\( \frac{dv}{dt}\) і знову інтегруємо по відношенню до часу, щоб отримати

\[ \ x = v_{0}t + \frac{1}{2}at^2. \tag{6.2.6}\label{eq:6.2.6} \]

Це другий раз невід'ємний.
Щоб отримати відповідь на третє питання, яке буде називатися просторовим інтегралом, треба пам'ятати писати\( \ddot{x} \) як\( v \frac{dv}{dt}\). Таким чином, рівняння руху (Рівняння\( \ref{eq:6.2.4}\))

\[ \ v\frac{dv}{dx}= a. \tag{6.2.7}\label{eq:6.2.7} \]

Коли це інтегровано щодо\( x\) (з початковою умовою,\( v=v_{0}\) коли\( x=0\)) ми отримуємо

\[ \ v^{2} = v^2_{0} +2ax. \tag{6.2.8}\label{eq:6.2.8} \]

Це невід'ємна частина простору.

Приклади.

Ось кілька коротких прикладів проблем в рівномірно прискореному русі. Ймовірно, непогано працювати в алгебрі та отримувати алгебраїчні розв'язки кожної задачі. Тобто, навіть якщо вам кажуть, що початкова швидкість 15 мс ^-1, зателефонуйте\(v_{0}\), або, якщо вам кажуть, що висота 900 футів, назвіть її\( h\). Ви, мабуть, знайдете корисним ескіз графіків або відстані проти часу або швидкості проти часу в більшості проблем. Остання маленька підказка: Пам'ятайте, що два розв'язки квадратного рівняння рівні, якщо\( b^{2}=4ac\).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Тіло скидається з відпочинку. Остання третина відстані перед тим, як вона потрапить на землю, покрита вчасно Т. Показати, що час, прийнятий за все падіння на землю, становить 5.45T.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Готель Lady знаходиться в 8 метрах від автобусної зупинки, коли Автобус, починаючи з відпочинку на зупинці, починає від'їжджати з прискоренням 0,4 м с ^-2. Яка найменша швидкість, з якою Леді повинна бігти, щоб зловити автобус?

Відповідь: 2.53 мс ^-1.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Парашутист спускається з постійною швидкістю 10 футів в секунду. Коли вона знаходиться на висоті 900 футів, її друг, прямо під нею, кидає їй яблуко. Яка найменша швидкість, з якою він повинен кидати яблуко, щоб воно дійшло до неї? Скільки часу потрібно, щоб досягти її, якої висоти вона тоді, і яка відносна швидкість парашутиста і яблука? Припустимо,\( g\) = 32 футів с ^-2. Нехтувати опором повітря для яблука (але не для парашутиста!)

Відповідь: 230 футів ^-1, 7.5 с, 825 футів, 0 футів ^-1.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Місячний дослідник виконує наступний експеримент на Місяці, щоб визначити\( g\) там прискорення гравітації. Він кидає місячну скелю вгору з початковою швидкістю 15 м с ^-1. Через вісім секунд він кидає ще одну скелю вгору з початковою швидкістю 10 м с ^-1. Він зауважує, що скелі стикаються через 16,32 секунди після запуску першої скелі. Обчисліть g, а також висоту зіткнення.

Відповідь: 1,64 мс ^-2, 26.4м

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Пан А і пан Б обговорюють достоїнства своїх автомобілів. Містер А може перейти від 0 до 50 миль/год за десять секунд, а пан Б може перейти від 0 до 60 миль/год за 20 секунд. Пан Б дає містеру А початок однієї секунди. Припускаючи, що кожен водій спочатку рівномірно прискорюється до своєї максимальної швидкості, а потім подорожує з кожною рівномірною швидкістю, скільки часу займає пан Б, щоб зловити пана А, і як далеко автомобілі проїхали до того часу?

Відповідь: 41 с, півмилі.

Я роблю відповіді наступним чином. Дайте мені знати ([e-mail]), якщо ви думаєте, що я отримав будь-який з них неправильно.