3.2: Момент сили

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 3.1: Вступ до систем частинок
- 3.3: Момент імпульсу

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Для початку розглянемо звичну двомірну ситуацію. На малюнку III.1 малюю силу $\textbf{F}$ і точку О. Момент сили щодо О можна визначити як

Сила разів перпендикулярна відстань від O до лінії дії $\textbf{F}$ .

альт

Крім того, (рис. III.2) момент можна визначити однаково добре

Поперечна складова сили часу відстані від О до точки прикладання сили.

альт

Так чи інакше, величина моменту сили, також відома як крутний момент, є $rF \sin\theta$ Ми можемо розглядати його як вектор $\boldsymbol\tau$ , перпендикулярний площині паперу:

\ почати {рівняння}\\ напівжирний символ\ тау =\ textbf {r}\ times\ textbf {F}\ тег {3.2.1}\ мітка {eq:3.2.1}\ кінець {рівняння}

Тепер дозвольте мені поставити запитання. Чи правильно говорити момент сили щодо (або «про») точку або щодо (або «про») осі?

У наведеному вище двовимірному прикладі це не має значення, але тепер дозвольте перейти до трьох вимірів, і я постараюся уточнити.

На малюнку III.3 малюю набір прямокутних осей $\textbf{F}$ , і силу, вектор положення якої щодо початку є $\textbf{r}$ .

альт

Момент, або крутний момент, щодо походження є вектором $\textbf{F}$

\ почати {рівняння}\\ напівжирний символ\ тау =\ textbf {r}\ times\ textbf {F}\ тег {3.2.2}\ мітка {eq:3.2.2}\ кінець {рівняння}

$x-, y-$ А $z$ - складовими $\boldsymbol\tau$ є моменти $\textbf{F}$ стосовно $x-, y-$ і z-осей. Ви можете легко знайти компоненти, $\boldsymbol\tau$ розширивши крос-продукт $\ref{eq:3.2.2}$ :

$\boldsymbol\tau = \hat{\textbf{x}}(yF_{z}-zF_{y})+\hat{\textbf{y}}(yF_{x}-xF_{z})+\hat{\textbf{z}}(xF_{y}-yF_{x}) \tag{3.2.3}\label{eq:3.2.3}$

де $\bf \hat{x},\hat{y},\hat{z}$ - одиничні вектори по $x,y,z$ осях. На малюнку III.4, ми дивимося вниз $x$ -вісь, і я намалював компоненти $F_{y}$ і $F_{z}$ , і ви можете бачити, що, дійсно, $\tau_{x} =yF_{z}-zF_{y}$ .

альт

Розміри моменту сили, або крутного моменту, складають ML ² T ^{- 2}, а одиниці СІ - N м. (Найкраще залишити одиниці як N м, а не виражати крутний момент в джоулі.)